2022-2023学年安徽省宿州市萧县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省宿州市萧县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知点P(a−3,2−a)在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，作边AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E，且AB=8，BC=6，则△BEC的周长是( )
A. 14B. 16C. 18D. 22
4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x2+2x+3=x(x+2)+3B. (x+y)(x−2y)=x2−xy−2y2
C. 3x2−12y2=3(x+2y)(x−2y)D. 2(x+y)=2x+2y
5.如图，把△ABC绕着点C顺时针方向旋转32°，得到△A′B′C，点B刚好落在边A′B′上，则∠B′的度数为( )
A. 74°B. 72°C. 68°D. 66°
6.下列说法错误的是( )
A. 若a−4>b−4，则a>bB. 若a1+m2>b1+m2，则a>b
C. 若ab，则a+5>b+3
7.若多项式2x2+ax−6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x−3，则a的值为( )
A. 1B. 5C. −1D. −5
8.一次函数y1=mx+n与y2=kx+a的图象如图所示，则mx+n>kx+a的解集为( )
A. x<2B. x>2C. x>1D. x<1
9.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③S四边形AEDF=12S△ABC；④BE+CF=EF，其中正确结论是( )
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
10.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60度得到FC，连接DF，则在点E运动的过程中，DF最小值是( )
A. 3
B. 2
C. 32
D. 32
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.已知m2−n2=21，m−n=3，则m+n= ______．
12.如图，△ABC沿AB平移后得到△DEF，点D是点A的对应点.如果AE=10，BD=2，那么△ABC平移的距离是______．
13.一元一次不等式组x>2x>m+1的解集是x>2，则m的取值范围是______．
14.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP/​/OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=18，则PD等于______．
15.如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=______°.
16.如图，现有边长为a的正方形1个，边长为b的正方形3个，边长为(a,b(a>b)的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式：a2+4ab+3b2= ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=______时，△ABC和△PQA全等．
18.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，则△ACB的面积是______．
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)因式分解：−4+12(a−b)−9(a−b)2；
(2)解不等式：12(x−1)−1>2x．
20.(本小题10分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(4,2)，(2,3)．
(1)画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
(3)求△ABC面积．
21.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.求证：AE=BD．
22.(本小题12分)
某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．
(1)求A、B两种商品的进价分别是多少元？
(2)若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？
23.(本小题14分)
在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED= °；
(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并说明理由；
②如图3，F是△CDE内一点，连接CF，DF，EF.若△CDF是等边三角形，试猜想EF与AB之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵点P(a−3,2−a)在第二象限，
∴a−3<02−a>0，
解得a<2，
故选：C．
根据点P(a−3,2−a)在第二象限，可以得到a−3<02−a>0，然后求解即可．
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第二象限内点的坐标的符号是(−,+)，列出相应的不等式组．
3.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
AC= AB2+BC2=10，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴△BEC的周长为BE+EC+CB=AE+EC+CB=AC+CB=10+6=16，
故选：B．
勾股定理求得AC=10，根据垂直平分线的性质得出EA=EB，即可求解．
本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BC=B′C，
∵把△ABC绕着点C顺时针方向旋转32°，得到△A′B′C，
∴∠BCB′=32°，
∴∠B′=12×(180°−∠BCB′)=12×(180°−32°)=74°．
故选：A．
利用旋转的性质得出BC=B′C，以及∠BCB′=32°，再利用等腰三角形的性质得出答案．
本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出BC=B′C是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、不等式两边都加上4，不等号的方向不变，即a>b，原变形正确，故该选项不符合题意；
B、不等式两边都乘1+m2，不等号的方向不变，即a>b，原变形正确，故该选项不符合题意；
C、不等式两边都乘m，必须规定m≠0，才有amD、不等式两边都加上5，不等号的方向不变，即a+5>b+5，所以a+5>b+3，原变形正确，故该选项不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵多项式2x2+ax−6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x−3，−6=−3×2．
∴2x2+ax−6=(2x−3)(x+2)=2x2+x−6．
∴a=1．
故选A．
先分解，再对比求出a．
本题考查因式分解的应用，根据条件确定另一个因式是求解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵y1=mx+n与y2=kx+a的图象交点为(2,1)，且mx+n>kx+a，
∴x<2．
故选：A．
以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图象写出解集即可．
本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
∠CAD=∠BAD=BD∠ADF=∠BDE，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴S△BDE=S△ADF，
∴S△BDE+S△ADE=S△ADF+S△ADE，
∴S△ABD=S四边形AEDF，
在△ABD和△ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴S△ABD=S△ACD，
∴S△ABD=12S△ABC，
∴S四边形AEDF=12S△ABC，故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
又∵∠MDN是直角，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB−BE，CF=AC−AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵BE+CF=AF+AE>EF，
∴BE+CF>EF，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．
根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE≌△ADF，即可判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF>EF，判断出④错误．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=12AB=3，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
FC=EC∠FCD=∠ECGDC=GC，
∴△FCD≌△ECG(SAS)，
∴DF=GE．
当EG⊥AD时，EG最短，即DF最短．
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=12CD=32．
故选：C．
取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
11.【答案】7
【解析】解：由题意得，m2−n2=(m+n)(m−n)=21，
∵m−n=3，
∴m+n=7．
故答案为：7．
利用平方差公式将m2−n2分解，然后整体代入可得出m+n的值．
此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是关键，另外本题涉及了整体代入思想．
12.【答案】4
【解析】解：设平移的距离为x，则EB=AD=x，
则BE+BD+AD=10，
故x+2+x=10，
解得：x=4，
即△ABC平移的距离是：4．
故答案为：4．
直接利用平移的性质得出方程进而得出答案．
此题主要考查了平移的性质，正确得出等式是解题关键．
13.【答案】m≤1
【解析】解：∵一元一次不等式组x>2x>m+1的解集是x>2，
∴m+1≤2，
m≤2−1，
m≤1，
故答案为：m≤1．
根据判断不等式解集的口诀”同大取大“和不等式的解集判断m+1的取值范围，列出关于m的不等式，解不等式即可．
本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式解集的口诀．
14.【答案】9
【解析】解：如图，作PE⊥OA交OA于E，
，
∵CP/​/OB，∠AOB=30°，
∴∠PCE=∠AOB=30°．
∵PE⊥OA，
∴∠PEC=90°，
∵PC=18，
∴PE=12PC=9，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD=PE=9，
故答案为：9．
作PE⊥OA交OA于E，由平行线的性质可得∠PCE=∠AOB=30°，由含有30°的直角三角形的性质可得PE=12CP，由角平分线的性质定理可得PD=PE=9．
本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、含30°的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、含30°的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
15.【答案】45
【解析】解：如图，∠2、∠3为两个全等三角形的对应角，
所以，∠2=∠3，
△ABC是等腰直角三角形，
所以，∠1+∠3=45°，
所以，∠1+∠2=45°．
故答案为：45．
根据网格结构以∠1的顶点为顶点作出与∠2所在的直角三角形全等的三角形，再连接另两个顶点得到等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
本题考查了全等三角形，熟练掌握网格结构，作出与∠2所在的直角三角形全等的三角形是解题的关键．
16.【答案】(a+b)(a+3b)
【解析】解：拼图前6个图形的面积为：a2+4ab+3b2，
拼图后，得到长方形，边长为a+b，a+3b的长方形，面积为(a+b)(a+3b)．
∵拼图前后面积不变，
∴a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)．
故答案为：(a+b)(a+3b)．
根据边长为a的正方形纸片1张、边长为b的正方形纸片3张，边长分别为a，b的长方形纸片4张，他们的面积之和为a2+4ab+3b2，拼图得出的图形是边长分别为a+b，a+3b的长方形，面积为(a+b)(a+3b)．
本题主要考查了分解因式与几何图形之间的联系，从几何的图形来解释分解因式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
17.【答案】5或10
【解析】解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
AB=QPBC=PA
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)，
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
AB=PQAC=PA
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，
故答案为：5或10．
当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
18.【答案】6
【解析】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
在△ADC与△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=AC=5，∠CAD=∠E，
又∵AE=2AD=4，AB=3，
∴BE2=AE2+AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°，
则S△ACB=2S△ABD=2×12×2×3=6，
故答案为：6．
延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证△ADC≌△EDB(SAS)，得BE=AC=5，∠CAD=∠E，再由勾股定理的逆定理证∠EAB=90°，即可解决问题．
此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=−{22−12(a−b)+[3(a−b)]2}
=−[2−(3a−3b)]2
=−(2−3a+3b)2．
(2)12(x−1)−1>2x，
去括号得：12x−12−1>2x，
整理得：12x−2x>32，
合并同类项得：−32x>32，
∴x<−1；
【解析】(1)先把原式化为−{22−12(a−b)+[3(a−b)]2}，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可．
本题考查的是利用完全平方公式分解因式，一元一次不等式的解法，熟记完全平方公式与解不等式的步骤与方法是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；
(3)△ABC面积=2×3−12×1×3−12×1×2−12×1×2=52，
答：△ABC面积为52．
【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用割补法求解即可．
此题主要考查了中对称变换以及平移变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD．
【解析】根据旋转的性质得到∠DCE=60°，CD=DE，根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，AC=BC，进一步由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD．
本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A商品的进价是a元，B商品的进价是b元，
根据题意得：20a+15b=38015a+10b=280，
解得：a=16b=4，
答：A商品的进价是16元，B商品的进价是4元；
(2)设购进A种商品x件，则购进B种商品(100−x)件，
根据题意得：16x+4(100−x)≤900，
解得：x≤4123，∵x为整数，
∴x的最大整数解为41，
∴最多能购进A种商品41件
【解析】(1)设A种商品的进价是a元，B种商品的进价是b元，根据题意列方程组即可得到结论
(2)设购进A种商品x件，则购进B种商品(100−x)件，根据题意列不等式即可得到结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
23.【答案】100
【解析】解：(1)如图1中，∵∠B=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°−40°=50°，
∴∠ACD=180°−50°=130°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=130°，
∴∠AEC=360°−∠ACD−∠EAC=360°−130°−130°=100°．
故答案为：100；
(2)①结论：△ADE是等边三角形．
理由：如图2中，，∵∠B=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=150°，
∴∠AEC=360°−∠ACD−∠EAC=360°−150°−150°=60°，
∵EA=ED，
∴△AED是等边三角形；
②结论：EF=2AB．
理由：如图3中，连接AD．
∵△ADE，△CDF是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠CDF=∠ADE=60°，
∴∠CDA=∠FDE，
∴△CDA≌△FDE(SAS)，
∴AC=EF，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴EF=2AB．
(1)利用等腰三角形的性质，四边形内角和定理求解即可；
(2)①证明∠AED=60°，可得结论；
②结论；EF=2AB.连接AD，证明EF=AC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．