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2022-2023学年广西北海市合浦县九年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广西北海市合浦县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2023的相反数是( )
A. −12023B. −2023C. 12023D. 2023
2.如图是由6个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.单项式−7a3b4的系数分别是( )
A. −7，7B. 7，7C. −7，8D. 7，8
4.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么由这两个不等式组成的不等式组的解集为( )
A. x>1B. x≥−1C. −3−3
5.下面计算正确的是( )
A. 2a2+3a2=5a4B. (a2)3=a5
C. x2⋅x2=2x2D. −0.25xy+14yx=0
6.全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 80，90B. 90，90C. 86，90D. 90，94
7.已知双曲线y=kx经过点(−3,1)，则k的值等于( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
8.关于二次函数y=2(x−4)2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6
9.某超市过节促销，全场打八折，一种书包标价80元，打折出售后获利15元，设这种书包的成本为x元，则可列方程是( )
A. 80×0.08−15=xB. 80×0.8−x=15
C. 80×8−x=15D. 80−15=x
10.如图，在平面直角坐标中，已知A(1,0)，D(3,0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心.若AB=1.5，则DE长为( )
A. 4.5B. 6C. 7.5D. 9
11.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为( )
A. (15+25sinα)米
B. (15+25⋅sinα)米
C. (15+25tanα)米
D. (15+25⋅tanα)米
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c与反比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.计算： 32− 8= ______．
14.因式分解：3a2−27= ．
15.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
16.如图，正方形ABCD的边长为6.则图中阴影部分的面积为______．
17.如图是一把折扇，它完全打开时是一个扇形，张角∠AOB=120°，若OA=20cm，则此时扇形的弧长为______cm(结果保留π)．
18.如图所示，A(0,4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF.则线段OF的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算： 4+(−1)2023+|− 2|.
20.(本小题6分)
用公式法解方程：x2−x−7=0．
21.(本小题10分)
如图，一次函数y=43x+b的图象与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点D(m,n).以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上(点A在点C的右边)，BD与AC交于点E．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求点A的坐标．
22.(本小题10分)
为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
(1)分别求m，n的值；
(2)若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替(如60～70的中间值为65)估计全校学生的平均成绩；
(3)从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
23.(本小题10分)
在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．
(1)过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；(尺规作图，保留痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，连接AF，若BF=DF，证明：四边形AECF为菱形．
24.(本小题10分)
金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
25.(本小题10分)
如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且PF=PG．
(1)求证：PF为⊙O切线；
(2)若OB=10，BF=16，BE=8，求PF的长．
26.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：
(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右正方体个数分别是2，2，1，下面3个．
故选：B．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的的图形即可．
此题考查了简单组合体的三视图−主视图，掌握主视图的含义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：单项式−7a3b4的系数是−7，次数是3+4=7．
故选：A．
根据单项式的系数以及次数即可求解．
本题考查单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．本题也可用口诀来求解．求不等式组解的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】
解：由图示可知，两个不等式分别是：x≥−1，x>−3；
根据数轴上线的条数有2条的部分是x≥−1．
∴这两个不等式组成的不等式组的解集是x≥−1．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：A、2a2+3a2=5a2，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B不符合题意；
C、x2⋅x2=x4，故C不符合题意；
D、−0.25xy+14yx=0，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，
所以这组数据的中位数是90，众数为90，
故选：B．
先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】D
【解析】解：∵双曲线y=kx经过点(−3,1)，
∴k=−3×1=−3；
故选：D．
把点(−3,1)代入函数解析式求解即可．
本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，属于基础题型，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的最值．
根据题目中的函数解析式得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】
解：∵二次函数y=2(x−4)2+6，2>0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x=4时，y取得最小值6．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意得：80×0.8−x=15．
故选：B．
利用利润=售价−进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵A(1,0)，D(3,0)，
∴OA=1，OD=3
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴ABDE=OAOD=13，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5，
故选：A．
由A(1,0)，D(3,0)得出OA=1，OD=3，由位似图形的性质可得ABDE=OAOD=13，即可求出DE长．
本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出ABDE=OAOD=13是解此题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则AB=DE=15米，AE=BD=25米，
设CD=x米，
∴CE=CD−DE=(x−15)米，
在Rt△ACE中，∠CAE=α，
∴tanα=CEAE=x−1525，
∴x=15+25⋅tanα，即CD=(15+25⋅tanα)米，
故选：D．
过点A作AE⊥CD，垂足为E，AB=DE=15米，AE=BD=25米，从而求出CE=(x−15)米，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴反比例函数y=ax的图象必在二、四象限，故A、C错误；
∵二次函数的图象经过原点，
∴c=0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a、b符号相同，
∴b<0，
∴y=bx+c经过原点且呈下降趋势，
∴故B错误．
故选：D．
先根据二次函数的图象开口向下可知a<0，再由函数图象经过原点可知c=0，利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
13.【答案】2 2
【解析】解： 32− 8=4 2−2 2=2 2．
故答案为：2 2．
首先化简各二次根式，进而合并同类项得出即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】3(a+3)(a−3)
【解析】解：3a2−27
=3(a2−9)
=3(a+3)(a−3)．
故答案为：3(a+3)(a−3)．
直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
15.【答案】23
【解析】解：因为袋中共有9个球，红球有6个，
∴摸出的球是红球的概率为=69=23．
故答案为：23．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
16.【答案】18
【解析】解：根据题意，得S阴影部分=12S正方形ABCD=12×62=18．
故答案为：18．
根据正方形的对称性质得到图中的面积=12正方形的面积．
本题主要考查了轴对称的性质，正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】403π
【解析】解：这把扇子打开到最大时的扇形的弧长=120π⋅20180=403π(cm)．
故答案为：403π．
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】2
【解析】解：连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，
∴AO=AC=4，∠OAC=60°
APF=60°，AP=FP，
∴△APF为等边三角形，
∴AF=AP，∠PAF=60°=∠OAC，
∴∠OAP=∠CAF，
在△AOP和△ACF中，
AC=AO∠OAP=∠CAFAF=AP，
∴△AOP≌△ACF(SAS)，
∴∠ACF=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，
作OF′⊥FC交直线FC于F′，OE⊥AC于E，
∵∠OAC=60°，AO=AC=4，
∴∠AOE=∠COE=30°，OE⊥AC，
∴AE=EC=12AC=OF′=2，
∴显然，当F在直线FC上运动到点F′位置时，线段OF的最小值为OF′=2，
故答案为：2．
连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，可得到△APF为等边三角形，通过△AOP≌△ACF得到∠ACF=∠AOP=90°，即当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，作OF′⊥FC交直线FC于F′，OE⊥AC于E，得到当F在直线FC上运动到点F′位置时，线段OF的最小值为OF′=2．
本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，作出恰当的辅助线，是解题的关键．
19.【答案】解： 4+(−1)2023+|− 2|
=2−1+ 2
= 2+1．
【解析】先计算二次根式、立方和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
20.【答案】解：这里a=1，b=−1，c=−7，
∵Δ=(−1)2−4×1×(−7)
=1+28
=29>0，
∴x=1± 292，
解得：x1=1+ 292，x2=1− 292．
【解析】方程利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=43x+b的图象与y轴交于点B(0,2)，
∴b=2，
∴一次函数的解析式为y=43x+2．
∵B(0,2)，
∴OB=2，
作DF⊥OB于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BE=ED，
∵OE//DF，
∴OB=OF=2，
∴n=−2，
∵D(m,−2)在y=43x+2上，
∴m=−3，
∴D(−3,−2)，
∵点D在y=kx上，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x．
(2)由(1)可知：OE=12DF=32，
在Rt△BOE中，BE= 22+(32)2=52，
在矩形ABCD中，AE=BE=52，
∴OA=AE−EO=52−32=1，
∴A(1,0)．
【解析】(1)根据点B坐标可以确定b的值，作DF⊥OB于F，由BE=DE，OE//DF，推出OF=OB=2，推出点D(−3,−2)即可解决问题；
(2)求出BE的值，利用矩形的性质EA=EB，求出OA即可解决问题；
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由题意得：n=20×20%=4，
则m=20−2−9−4=5，
(2)120(65×2+75×5+85×9+95×4)=82.5(分)，
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
(3)A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为1230=25．
【解析】(1)由抽取的人数乘以D所占的百分比求出n=4，即可求出m的值；
(2)求出样本平均数，即可得出答案；
(3)画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】(1)解：如图所示，过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F，
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，即CF=AE，
∵BC//AD，即AE//CF且AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
由(1)可得AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
【解析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法画图即可；
(2)由四边形ABCD是平行四边形可得BC=AD，从而得到CF=AE，再由AE//CF即可推出四边形AECF为平行四边形，最后由AC⊥EF即可推出四边形AECF为菱形．
本题主要考查了尺规作图—作垂线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线的作法以及平行四边形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a(元)，
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x km，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【解析】(1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
(2)①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
25.【答案】
(1)证明：如图，连接OF，
∵PF=PG，
∴∠PFG=∠PGF，
∵∠BGE=∠PGF，
∴∠PFG=∠BGE，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵CD⊥AB，
∴∠BGE+∠OBF=90°，
∴∠PFG+∠OFB=90°，
∵OF是⊙O半径，
∴PF为⊙O切线；
(2)解：如图，连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB2=AF2+BF2，
∵OB=10，
∴AB=20，
∵BF=16，
∴AF=12，
在Rt△ABF中，tanB=34，csB=45，
在Rt△BEG中，GE8=34，8GB=45，
∴GE=6，GB=10，
∵BF=16，
∴FG=6，
∵PM⊥FG，PF=PG，
∴MG=12FG=3，
∵∠BGE=∠PFM，∠PMF=∠BEG=90°，
∴△PFM∽△BGE，
∴FMGE=PFGB，即36=PF10，
解得：PF=5，
∴PF的长为5．
【解析】(1)连接OF，由CD⊥AB，PF=PG，OF=OB得到∠PFG+∠OFB=90°，即可证明；
(2)连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，由OB=10，BF=16，求得AF的长度，继而利用三角函数求得tanB=34，csB=45，求出GE，GB，再利用△PFM∽△BGE，即可求出PF的长．
本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
26.【答案】解：(1)根据表格可得出A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,3)代入，得：3=a(0+1)(0−3)，
解得：a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴该抛物线解析式为y=−x2+2x+3，顶点坐标为M(1,4)；
(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2)，连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′，
过点C作CP′//BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，
∵A、B关于直线x=1对称，
∴AQ′=BQ′，
∵CP′//BC′，P′Q′//CC′，
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，
∴CP′=C′Q′，Q′P′=CC′=1，
在Rt△BOC′中，BC′= OC′2+OB2= 22+32= 13，
∴AQ′+Q′P′+P′C=BQ′+C′Q′+Q′P′=BC′+Q′P′= 13+1，
此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值为 13+1；
(3)线段EF的长为定值1．
如图2，连接BE，
设D(t,−t2+2t+3)，且t>3，
∵EF⊥x轴，
∴DF=−(−t2+2t+3)=t2−2t−3，
∵F(t,0)，
∴BF=OF−OB=t−3，AF=t−(−1)=t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED=180°，
∵∠BEF+∠BED=180°，
∴∠DAF=∠BEF，
∵∠AFD=∠EFB=90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴EFBF=AFDF，
∴EFt−3=t+1t2−2t−3，
∴EF=(t+1)(t−3)t2−2t−3=t2−2t−3t2−2t−3=1，
∴线段EF的长为定值1．
【解析】(1)运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；
(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2)，连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′，过点C作CP′//BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；
(3)如图2，连接BE，设D(t,−t2+2t+3)，且t>3，可得DF=t2−2t−3，BF=t−3，AF=t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF=∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用EFBF=AFDF，即可求得答案．
本题是二次函数与圆的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，配方法，轴对称的应用，平行四边形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大；第(2)小题难度不小，解决该问时，利用轴对称加平移找出AQ+QP+PC最小时点P、Q的位置是解题关键．第(3)小题运用圆内接四边形性质得出△AFD∽△EFB是解题关键．组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
1.−2023的相反数是( )
A. −12023B. −2023C. 12023D. 2023
2.如图是由6个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.单项式−7a3b4的系数分别是( )
A. −7，7B. 7，7C. −7，8D. 7，8
4.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么由这两个不等式组成的不等式组的解集为( )
A. x>1B. x≥−1C. −3
5.下面计算正确的是( )
A. 2a2+3a2=5a4B. (a2)3=a5
C. x2⋅x2=2x2D. −0.25xy+14yx=0
6.全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 80，90B. 90，90C. 86，90D. 90，94
7.已知双曲线y=kx经过点(−3,1)，则k的值等于( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
8.关于二次函数y=2(x−4)2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6
9.某超市过节促销，全场打八折，一种书包标价80元，打折出售后获利15元，设这种书包的成本为x元，则可列方程是( )
A. 80×0.08−15=xB. 80×0.8−x=15
C. 80×8−x=15D. 80−15=x
10.如图，在平面直角坐标中，已知A(1,0)，D(3,0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心.若AB=1.5，则DE长为( )
A. 4.5B. 6C. 7.5D. 9
11.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为( )
A. (15+25sinα)米
B. (15+25⋅sinα)米
C. (15+25tanα)米
D. (15+25⋅tanα)米
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c与反比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.计算： 32− 8= ______．
14.因式分解：3a2−27= ．
15.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
16.如图，正方形ABCD的边长为6.则图中阴影部分的面积为______．
17.如图是一把折扇，它完全打开时是一个扇形，张角∠AOB=120°，若OA=20cm，则此时扇形的弧长为______cm(结果保留π)．
18.如图所示，A(0,4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF.则线段OF的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算： 4+(−1)2023+|− 2|.
20.(本小题6分)
用公式法解方程：x2−x−7=0．
21.(本小题10分)
如图，一次函数y=43x+b的图象与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点D(m,n).以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上(点A在点C的右边)，BD与AC交于点E．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求点A的坐标．
22.(本小题10分)
为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
(1)分别求m，n的值；
(2)若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替(如60～70的中间值为65)估计全校学生的平均成绩；
(3)从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
23.(本小题10分)
在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．
(1)过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；(尺规作图，保留痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，连接AF，若BF=DF，证明：四边形AECF为菱形．
24.(本小题10分)
金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
25.(本小题10分)
如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且PF=PG．
(1)求证：PF为⊙O切线；
(2)若OB=10，BF=16，BE=8，求PF的长．
26.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：
(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右正方体个数分别是2，2，1，下面3个．
故选：B．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的的图形即可．
此题考查了简单组合体的三视图−主视图，掌握主视图的含义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：单项式−7a3b4的系数是−7，次数是3+4=7．
故选：A．
根据单项式的系数以及次数即可求解．
本题考查单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．本题也可用口诀来求解．求不等式组解的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】
解：由图示可知，两个不等式分别是：x≥−1，x>−3；
根据数轴上线的条数有2条的部分是x≥−1．
∴这两个不等式组成的不等式组的解集是x≥−1．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：A、2a2+3a2=5a2，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B不符合题意；
C、x2⋅x2=x4，故C不符合题意；
D、−0.25xy+14yx=0，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，
所以这组数据的中位数是90，众数为90，
故选：B．
先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】D
【解析】解：∵双曲线y=kx经过点(−3,1)，
∴k=−3×1=−3；
故选：D．
把点(−3,1)代入函数解析式求解即可．
本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，属于基础题型，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的最值．
根据题目中的函数解析式得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】
解：∵二次函数y=2(x−4)2+6，2>0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x=4时，y取得最小值6．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意得：80×0.8−x=15．
故选：B．
利用利润=售价−进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵A(1,0)，D(3,0)，
∴OA=1，OD=3
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴ABDE=OAOD=13，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5，
故选：A．
由A(1,0)，D(3,0)得出OA=1，OD=3，由位似图形的性质可得ABDE=OAOD=13，即可求出DE长．
本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出ABDE=OAOD=13是解此题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则AB=DE=15米，AE=BD=25米，
设CD=x米，
∴CE=CD−DE=(x−15)米，
在Rt△ACE中，∠CAE=α，
∴tanα=CEAE=x−1525，
∴x=15+25⋅tanα，即CD=(15+25⋅tanα)米，
故选：D．
过点A作AE⊥CD，垂足为E，AB=DE=15米，AE=BD=25米，从而求出CE=(x−15)米，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴反比例函数y=ax的图象必在二、四象限，故A、C错误；
∵二次函数的图象经过原点，
∴c=0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a、b符号相同，
∴b<0，
∴y=bx+c经过原点且呈下降趋势，
∴故B错误．
故选：D．
先根据二次函数的图象开口向下可知a<0，再由函数图象经过原点可知c=0，利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
13.【答案】2 2
【解析】解： 32− 8=4 2−2 2=2 2．
故答案为：2 2．
首先化简各二次根式，进而合并同类项得出即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】3(a+3)(a−3)
【解析】解：3a2−27
=3(a2−9)
=3(a+3)(a−3)．
故答案为：3(a+3)(a−3)．
直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
15.【答案】23
【解析】解：因为袋中共有9个球，红球有6个，
∴摸出的球是红球的概率为=69=23．
故答案为：23．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
16.【答案】18
【解析】解：根据题意，得S阴影部分=12S正方形ABCD=12×62=18．
故答案为：18．
根据正方形的对称性质得到图中的面积=12正方形的面积．
本题主要考查了轴对称的性质，正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】403π
【解析】解：这把扇子打开到最大时的扇形的弧长=120π⋅20180=403π(cm)．
故答案为：403π．
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】2
【解析】解：连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，
∴AO=AC=4，∠OAC=60°
APF=60°，AP=FP，
∴△APF为等边三角形，
∴AF=AP，∠PAF=60°=∠OAC，
∴∠OAP=∠CAF，
在△AOP和△ACF中，
AC=AO∠OAP=∠CAFAF=AP，
∴△AOP≌△ACF(SAS)，
∴∠ACF=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，
作OF′⊥FC交直线FC于F′，OE⊥AC于E，
∵∠OAC=60°，AO=AC=4，
∴∠AOE=∠COE=30°，OE⊥AC，
∴AE=EC=12AC=OF′=2，
∴显然，当F在直线FC上运动到点F′位置时，线段OF的最小值为OF′=2，
故答案为：2．
连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，可得到△APF为等边三角形，通过△AOP≌△ACF得到∠ACF=∠AOP=90°，即当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，作OF′⊥FC交直线FC于F′，OE⊥AC于E，得到当F在直线FC上运动到点F′位置时，线段OF的最小值为OF′=2．
本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，作出恰当的辅助线，是解题的关键．
19.【答案】解： 4+(−1)2023+|− 2|
=2−1+ 2
= 2+1．
【解析】先计算二次根式、立方和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
20.【答案】解：这里a=1，b=−1，c=−7，
∵Δ=(−1)2−4×1×(−7)
=1+28
=29>0，
∴x=1± 292，
解得：x1=1+ 292，x2=1− 292．
【解析】方程利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=43x+b的图象与y轴交于点B(0,2)，
∴b=2，
∴一次函数的解析式为y=43x+2．
∵B(0,2)，
∴OB=2，
作DF⊥OB于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BE=ED，
∵OE//DF，
∴OB=OF=2，
∴n=−2，
∵D(m,−2)在y=43x+2上，
∴m=−3，
∴D(−3,−2)，
∵点D在y=kx上，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x．
(2)由(1)可知：OE=12DF=32，
在Rt△BOE中，BE= 22+(32)2=52，
在矩形ABCD中，AE=BE=52，
∴OA=AE−EO=52−32=1，
∴A(1,0)．
【解析】(1)根据点B坐标可以确定b的值，作DF⊥OB于F，由BE=DE，OE//DF，推出OF=OB=2，推出点D(−3,−2)即可解决问题；
(2)求出BE的值，利用矩形的性质EA=EB，求出OA即可解决问题；
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由题意得：n=20×20%=4，
则m=20−2−9−4=5，
(2)120(65×2+75×5+85×9+95×4)=82.5(分)，
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
(3)A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为1230=25．
【解析】(1)由抽取的人数乘以D所占的百分比求出n=4，即可求出m的值；
(2)求出样本平均数，即可得出答案；
(3)画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】(1)解：如图所示，过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F，
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，即CF=AE，
∵BC//AD，即AE//CF且AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
由(1)可得AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
【解析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法画图即可；
(2)由四边形ABCD是平行四边形可得BC=AD，从而得到CF=AE，再由AE//CF即可推出四边形AECF为平行四边形，最后由AC⊥EF即可推出四边形AECF为菱形．
本题主要考查了尺规作图—作垂线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线的作法以及平行四边形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a(元)，
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x km，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【解析】(1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
(2)①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
25.【答案】
(1)证明：如图，连接OF，
∵PF=PG，
∴∠PFG=∠PGF，
∵∠BGE=∠PGF，
∴∠PFG=∠BGE，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵CD⊥AB，
∴∠BGE+∠OBF=90°，
∴∠PFG+∠OFB=90°，
∵OF是⊙O半径，
∴PF为⊙O切线；
(2)解：如图，连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB2=AF2+BF2，
∵OB=10，
∴AB=20，
∵BF=16，
∴AF=12，
在Rt△ABF中，tanB=34，csB=45，
在Rt△BEG中，GE8=34，8GB=45，
∴GE=6，GB=10，
∵BF=16，
∴FG=6，
∵PM⊥FG，PF=PG，
∴MG=12FG=3，
∵∠BGE=∠PFM，∠PMF=∠BEG=90°，
∴△PFM∽△BGE，
∴FMGE=PFGB，即36=PF10，
解得：PF=5，
∴PF的长为5．
【解析】(1)连接OF，由CD⊥AB，PF=PG，OF=OB得到∠PFG+∠OFB=90°，即可证明；
(2)连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，由OB=10，BF=16，求得AF的长度，继而利用三角函数求得tanB=34，csB=45，求出GE，GB，再利用△PFM∽△BGE，即可求出PF的长．
本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
26.【答案】解：(1)根据表格可得出A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,3)代入，得：3=a(0+1)(0−3)，
解得：a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴该抛物线解析式为y=−x2+2x+3，顶点坐标为M(1,4)；
(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2)，连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′，
过点C作CP′//BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，
∵A、B关于直线x=1对称，
∴AQ′=BQ′，
∵CP′//BC′，P′Q′//CC′，
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，
∴CP′=C′Q′，Q′P′=CC′=1，
在Rt△BOC′中，BC′= OC′2+OB2= 22+32= 13，
∴AQ′+Q′P′+P′C=BQ′+C′Q′+Q′P′=BC′+Q′P′= 13+1，
此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值为 13+1；
(3)线段EF的长为定值1．
如图2，连接BE，
设D(t,−t2+2t+3)，且t>3，
∵EF⊥x轴，
∴DF=−(−t2+2t+3)=t2−2t−3，
∵F(t,0)，
∴BF=OF−OB=t−3，AF=t−(−1)=t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED=180°，
∵∠BEF+∠BED=180°，
∴∠DAF=∠BEF，
∵∠AFD=∠EFB=90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴EFBF=AFDF，
∴EFt−3=t+1t2−2t−3，
∴EF=(t+1)(t−3)t2−2t−3=t2−2t−3t2−2t−3=1，
∴线段EF的长为定值1．
【解析】(1)运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；
(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2)，连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′，过点C作CP′//BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；
(3)如图2，连接BE，设D(t,−t2+2t+3)，且t>3，可得DF=t2−2t−3，BF=t−3，AF=t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF=∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用EFBF=AFDF，即可求得答案．
本题是二次函数与圆的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，配方法，轴对称的应用，平行四边形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大；第(2)小题难度不小，解决该问时，利用轴对称加平移找出AQ+QP+PC最小时点P、Q的位置是解题关键．第(3)小题运用圆内接四边形性质得出△AFD∽△EFB是解题关键．组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
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