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2022-2023学年湖南省郴州市永兴县树德中学教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省郴州市永兴县树德中学教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是二元一次方程的是( )
A. −y+xy=2B. 3x−11=5xC. 3x=2+yD. 2x−6y=12
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (2a2)3=2a6C. 3a8−a8=2D. a2+2a2=3a2
3.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. (x+1)(x−1)=x2−1B. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
C. m2−2m−3=m(m−2)−3D. m(a+b+c)=ma+mb+mc
4.下列选项图形中，已知∠1=∠2，能判定AB//CD的是( )
A. B.
C. D.
5.如果(x−2)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的值是( )
A. p=5，q=6B. p=1，q=−6C. p=1，q=6D. p=5，q=−6
6.若ax=2，ay=3，则a2x+3y=( )
A. 108B. 54C. 36D. 31
7.等式(−x−y)_____=y2−x2成立，横线内应填入下式中的( )
A. x−yB. y−xC. −x−yD. x+y
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到△DEF，连接AD.给出下列结论：①AC//DF，AC=DF；②ED⊥DF；③AD：EC=2：3；其中，结论正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：2x⋅(−3xy2)= ______．
10.已知多项式x2−mx+8是完全平方式，则m的值为______．
11.已知x、y满足方程组2x+y=5x+2y=4，则x+y的值为______．
12.因式分解：3m(a−b)−9n(a−b)的公因式是______．
13.(23)2023×1.52023×(−1)2023的结果是______．
14.若|x+y−4|+(xy−3)2=0，则x2+y2= ______．
15.如图，直线l1//l2//l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上．若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC=______度．
16.若a=1b=−2是关于字母a，b的二元一方程ax+ay−b=7的一个解，代数式3x2+6xy+3y2−1的值是______．
三、解答题：本题共10小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程组3x−2y=102x+y=2．
18.(本小题6分)
因式分解：
(1)3x−12x3；
(2)4a2−12ab+9b2．
19.(本小题6分)
推理填空：如图，已知∠A+∠2=180°，∠A=∠C，将说明∠E=∠3成立的推理过程及依据填写完整．
解：因为∠A+∠2=180°(已知)，
所以AB//CD．
所以∠A= ______．
又因为∠A=∠C(已知)，
所以∠C= ______(等量代换)．
所以BC//AE(______).
所以∠E=∠3(______).
20.(本小题8分)
计算：
(1)(2x−3y+4)(2x+3y−4)；
(2)(−a2)3+(−2a3)2−3a2⋅a4．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x−2y)2−(x−y)(x+y)−5y2，其中x=14，y=−3．
22.(本小题8分)
已知x+2与x2+ax+b的积中不含x的二次项和一次项，求常数a，b的值．
23.(本小题8分)
如图，已知AD//FE，∠1=∠2．
(1)试说明DG//AC；
(2)若∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
24.(本小题10分)
已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次各运多少吨？
(2)某公司有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车都装满货物，共有哪几种租车方案．
25.(本小题10分)
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
解原式=a2+6a+8+1−1=a2+6a+9−1
=(a+3)2−12=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)．
②M=a2−2a−1，利用配方法求M的最小值．
解：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2．
∵(a−1)2≥0，∴当a=1时，M有最小值−2．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：x2+2x−3；
(2)若M=2x2−8x，求M的最小值；
(3)已知x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，求x+y+z的值．
26.(本小题12分)
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动．
操作发现：
(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用：
(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于______(用含α的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、−y+xy=2，含有两个未知数，不合题意；
B、3x−11=5x，是一元一次方程，不合题意；
C、3x=2+y，是二元一次方程，符合题意；
D、2x−6y=12，分母中含有未知数，不合题意；
故选：C．
直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确掌握“元”和“次”的确定方法是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项错误；
B、(2a2)3=8a6，故此选项错误；
C、3a8−a8=2a8，故此选项错误；
D、a2+2a2=3a2，故此选项正确．
故选：D．
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，熟记运算法则是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、不是因式分解，故本选不项符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】B
【解析】解：A.∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故不符合题意；
B.∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
故符合题意；
C.由∠1=∠2不能得到AB//CD，
故不符合题意；
D.由∠1=∠2不能得到任何两条直线平行，
故不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定方法逐项分析即可．
本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
5.【答案】B
【解析】【分析】
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+px+q，
∴p=1，q=−6，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：∵ax=2，ay=3，
∴a2x+3y=a2x⋅a3y=(ax)2⋅(ay)3=22×33=4×27=108，
故选：A．
利用同底数幂的乘法和幂的乘方的计算性质进行计算即可．
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是掌握计算公式并能熟练应用．
7.【答案】A
【解析】解：∵(−x−y)(x−y)=y2−x2，
∴括号内应填入x−y，
故选：A．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，熟记公式结构是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=CF=2，AC//DF，AB//DE，AB=DE=3，AC=DF=4，BC=EF=5，∠BAC=∠EDF=90°，
∴BF=5+2=7，EC=5−2=3，DE⊥DF，故①和②正确；
∴AD：EC=2：3，故③正确，
故选：D．
利用平移的性质依次判断可求解．
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
9.【答案】−6x2y2
【解析】解：2x⋅(−3xy2)=−6x2y2．
故答案为：−6x2y2．
根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
10.【答案】±4 2
【解析】解：∵(x± 8)2=x2±2 8x+8，
∴m=±4 2．
故答案为：±4 2．
根据完全平方公式进行运算即可．
本题考查了完全平方公式，灵活掌握完全平方公式是解答本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：2x+y=5①x+2y=4②，
①+②得：3(x+y)=9，即x+y=3．
故答案为：3．
由2x+y=5，x+2y=4，两式相加化简即可得出．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】3(a−b)
【解析】解：∵多项式3m(a−b)−9n(a−b)中各项都含有的因式为3(a−b)，
∴3m(a−b)−9n(a−b)的公因式是3(a−b)．
故答案为：3(a−b)．
根据多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式即可判断．
本题考查公因式的定义．掌握多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式是解题关键．
13.【答案】−1
【解析】解：(23)2023×1.52023×(−1)2023
=[23×1.5×(−1)]2023
=(−1)2023
=−1．
故答案为：−1．
根据积的乘方的运算方法，求出(23)2023×1.52023×(−1)2023的结果即可．
此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)．
14.【答案】10
【解析】解：∵|x+y−4|+(xy−3)2=0，
∴x+y−4=0，xy−3=0，即x+y=4，xy=3，
则x2+y2=(x+y)2−2xy=16−6=10．
故答案为：10．
利用非负数的性质求出x+y与xy的值，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．
15.【答案】120
【解析】【解答】
解：如图，∵l1//l2//l3，∠1=70°，∠2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°．
故答案为：120．
【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然后相加即可得解．
本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】74
【解析】解：∵a=1b=−2是关于字母a，b的二元一方程ax+ay−b=7的一个解，
∴x+y−(−2)=7，
∴x+y=5，
∴3x2+6xy+3y2−1
=3(x+y)2−1
=3×25−1
=74．
故答案为：74．
把a=1，b=−2代入原方程可得x+y的值，把代数式3x2+6xy+3y2−1变形为3(x+y)2−1，然后计算即可．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
17.【答案】解：3x−2y=10①2x+y=2②，
②×2得，4x+2y=4③，
①+③得，7x=14，
解得x=2，
把x=2代入②得，2×2+y=2，
解得y=−2，
∴方程组的解是x=2y=−2．
故答案为：x=2y=−2．
【解析】先把第二个方程乘以2，再与第一个方程相加，消掉未知数y，求出x的值，然后代入第二个方程即可求出未知数y的值．
本题主要考查了解二元一次方程组，常用的方法有代入消元法与加减消元法两种，有可以写成y=ax+b的形式的方程通常用代入消元法求解，同一个未知数的系数相同或互为相反数是用加减消元法求解，未知数的系数是倍数关系时也利用加减消元法进行求解．
18.【答案】解：(1)原式=3x(1−4x2)
=3x[1−(2x)2)]
=3x(1+2x)(1−2x)；
(2)原式=(2a)2−2×2a×3b+(3b)2
=(2a−3b)2．
【解析】(1)先提公因式法，再用平方差公式进行解题，即可得到答案；
(2)直接利用乘法公式分解因式得出答案．
此题考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
19.【答案】解：∠1 ;
∠1 ;
内错角相等，两直线平行 ;
两直线平行，内错角相等．
【解析】解：因为∠A+∠2=180°(已知)，
所以AB//CD．
所以∠A=∠1，
又因为∠A=∠C(已知)，
所以∠C=∠1(等量代换)．
所以BC//AE(内错角相等，两直线平行)，
所以∠E=∠3(两直线平行，内错角相等 )．
故答案为：∠1；∠1；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
依据平行线的性质，即可得到∠A=∠1，进而得出∠1=∠C，再根据平行线的判定，即可得到AE//BC．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
20.【答案】解：(1)(2x−3y+4)(2x+3y−4)
=[2x−(3y−4)][2x+(3y−4)]
=(2x)2−(3y−4)2
=4x2−(9y2−24y+16)
=4x2−9y2+24y−16；
(2)(−a2)3+(−2a3)2−3a2⋅a4
=−a6+4a6−3a6
=0．
【解析】(1)先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算；
(2)先根据幂的乘方，积的乘方，单项式与单项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：原式=x2−4xy+4y2−x2+y2−5y2
=−4xy．
当x=14，y=−3时，
原式=−4×14×(−3)=3．
【解析】根据整式的四则运算顺序(先乘除，后加减)及整式的运算法则对代数式进行化简，然后将x、y的值代入．
本题考查整式的混合运算，关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则．
22.【答案】解：原式=(x+2)(x2+ax+b)
=x3+ax2+bx+2x2+2ax+2b
=x3+(a+2)x2+(b+2a)x+2b
∵(x+2)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，
∴a+2=0，b+2a=0，
∴a=−2，b=4．
【解析】先将原式相乘，然后将二次项与一次项分别进行合并，最后令其系数为0即可求出a与b的值．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
23.【答案】解：(1)∵AD//EF，
∴∠1=∠DAC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴DG//AC．
(2)∵DG//AC，
∴∠AGD+∠BAC=180°，
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°
【解析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)只要证明∠2=∠DAC即可．
(2)利用平行线的性质解决问题即可．
24.【答案】解：(1)设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4，
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
(2)依题意得：3a+4b=31，
∵a，b均为正整数，
∴a=1b=7或a=5b=4或a=9b=1，
∴该公司共有3种租车方案：
方案1：租1辆A型车，7辆B型车；
方案2：租5辆A型车，4辆B型车．
方案3：租9辆A型车，1辆B型车．
【解析】(1)设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据租用的车辆可一次运载货物31吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】解：(1)x2+2x−3
=x2+2x+1−4
=(x+1)2−4
=(x+1+2)(x+1−2)
=(x+3)(x−1)；
(2)∵(x−2)2≥0，
∴M=2x2−8x
=2(x2−4x)
=2(x2−4x+4)−8
=2(x−2)2−8≥−8，
则M的最小值为−8；
(3)x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，
整理得：(x2+y2−2xy)+(y2−2y+1)+(z2−4z+4)=0，
即(x−y)2+(y−1)2+(z−2)2=0，
∵(x−y)2≥0，(y−1)2≥0，(z−2)2≥0，
∴x−y=0，y−1=0，z−2=0，
解得：x=y=1，z=2，
则x+y+z=1+1+2=4．
【解析】(1)原式配方后，利用平方差公式分解即可；
(2)M配方后，利用非负数的性质求出最小值即可；
(3)已知等式配方后，利用非负数的性质求出x，y，z的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，因式分解−运用公式法，以及十字相乘法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26.【答案】(1)如图(1)，∵AB//CD，
∴∠1=∠EGD，
又∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD，
又∵∠FGE=60°，
∴∠EGD=13(180°−60°)=40°，
∴∠1=40°；
(2)如图(2)，∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°，
又∵∠FEG+∠EGF=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3)(60°−α)．
【解析】解：
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图(3)，∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°，
又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，
∴∠GFC=180°−90°−30°−α=60°−α．
故答案为：(60°−α)．
【分析】
(1)依据AB//CD，可得∠1=∠EGD，再根据∠2=2∠1，∠FGE=60°，即可得出∠EGD=13(180°−60°)=40°，进而得到∠1=40°；
(2)根据AB//CD，可得∠AEG+∠CGE=180°，再根据∠FEG+∠EGF=90°，即可得到∠AEF+∠FGC=90°；
(3)依据AB//CD，可得∠AEF+∠CFE=180°，再根据∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，即可得到∠GFC=180°−90°−30°−α=60°−α．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
1.下列方程是二元一次方程的是( )
A. −y+xy=2B. 3x−11=5xC. 3x=2+yD. 2x−6y=12
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (2a2)3=2a6C. 3a8−a8=2D. a2+2a2=3a2
3.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. (x+1)(x−1)=x2−1B. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
C. m2−2m−3=m(m−2)−3D. m(a+b+c)=ma+mb+mc
4.下列选项图形中，已知∠1=∠2，能判定AB//CD的是( )
A. B.
C. D.
5.如果(x−2)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的值是( )
A. p=5，q=6B. p=1，q=−6C. p=1，q=6D. p=5，q=−6
6.若ax=2，ay=3，则a2x+3y=( )
A. 108B. 54C. 36D. 31
7.等式(−x−y)_____=y2−x2成立，横线内应填入下式中的( )
A. x−yB. y−xC. −x−yD. x+y
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到△DEF，连接AD.给出下列结论：①AC//DF，AC=DF；②ED⊥DF；③AD：EC=2：3；其中，结论正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：2x⋅(−3xy2)= ______．
10.已知多项式x2−mx+8是完全平方式，则m的值为______．
11.已知x、y满足方程组2x+y=5x+2y=4，则x+y的值为______．
12.因式分解：3m(a−b)−9n(a−b)的公因式是______．
13.(23)2023×1.52023×(−1)2023的结果是______．
14.若|x+y−4|+(xy−3)2=0，则x2+y2= ______．
15.如图，直线l1//l2//l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上．若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC=______度．
16.若a=1b=−2是关于字母a，b的二元一方程ax+ay−b=7的一个解，代数式3x2+6xy+3y2−1的值是______．
三、解答题：本题共10小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程组3x−2y=102x+y=2．
18.(本小题6分)
因式分解：
(1)3x−12x3；
(2)4a2−12ab+9b2．
19.(本小题6分)
推理填空：如图，已知∠A+∠2=180°，∠A=∠C，将说明∠E=∠3成立的推理过程及依据填写完整．
解：因为∠A+∠2=180°(已知)，
所以AB//CD．
所以∠A= ______．
又因为∠A=∠C(已知)，
所以∠C= ______(等量代换)．
所以BC//AE(______).
所以∠E=∠3(______).
20.(本小题8分)
计算：
(1)(2x−3y+4)(2x+3y−4)；
(2)(−a2)3+(−2a3)2−3a2⋅a4．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x−2y)2−(x−y)(x+y)−5y2，其中x=14，y=−3．
22.(本小题8分)
已知x+2与x2+ax+b的积中不含x的二次项和一次项，求常数a，b的值．
23.(本小题8分)
如图，已知AD//FE，∠1=∠2．
(1)试说明DG//AC；
(2)若∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
24.(本小题10分)
已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次各运多少吨？
(2)某公司有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车都装满货物，共有哪几种租车方案．
25.(本小题10分)
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
解原式=a2+6a+8+1−1=a2+6a+9−1
=(a+3)2−12=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)．
②M=a2−2a−1，利用配方法求M的最小值．
解：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2．
∵(a−1)2≥0，∴当a=1时，M有最小值−2．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：x2+2x−3；
(2)若M=2x2−8x，求M的最小值；
(3)已知x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，求x+y+z的值．
26.(本小题12分)
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动．
操作发现：
(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用：
(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于______(用含α的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、−y+xy=2，含有两个未知数，不合题意；
B、3x−11=5x，是一元一次方程，不合题意；
C、3x=2+y，是二元一次方程，符合题意；
D、2x−6y=12，分母中含有未知数，不合题意；
故选：C．
直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确掌握“元”和“次”的确定方法是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项错误；
B、(2a2)3=8a6，故此选项错误；
C、3a8−a8=2a8，故此选项错误；
D、a2+2a2=3a2，故此选项正确．
故选：D．
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，熟记运算法则是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、不是因式分解，故本选不项符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】B
【解析】解：A.∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故不符合题意；
B.∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
故符合题意；
C.由∠1=∠2不能得到AB//CD，
故不符合题意；
D.由∠1=∠2不能得到任何两条直线平行，
故不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定方法逐项分析即可．
本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
5.【答案】B
【解析】【分析】
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+px+q，
∴p=1，q=−6，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：∵ax=2，ay=3，
∴a2x+3y=a2x⋅a3y=(ax)2⋅(ay)3=22×33=4×27=108，
故选：A．
利用同底数幂的乘法和幂的乘方的计算性质进行计算即可．
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是掌握计算公式并能熟练应用．
7.【答案】A
【解析】解：∵(−x−y)(x−y)=y2−x2，
∴括号内应填入x−y，
故选：A．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，熟记公式结构是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=CF=2，AC//DF，AB//DE，AB=DE=3，AC=DF=4，BC=EF=5，∠BAC=∠EDF=90°，
∴BF=5+2=7，EC=5−2=3，DE⊥DF，故①和②正确；
∴AD：EC=2：3，故③正确，
故选：D．
利用平移的性质依次判断可求解．
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
9.【答案】−6x2y2
【解析】解：2x⋅(−3xy2)=−6x2y2．
故答案为：−6x2y2．
根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
10.【答案】±4 2
【解析】解：∵(x± 8)2=x2±2 8x+8，
∴m=±4 2．
故答案为：±4 2．
根据完全平方公式进行运算即可．
本题考查了完全平方公式，灵活掌握完全平方公式是解答本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：2x+y=5①x+2y=4②，
①+②得：3(x+y)=9，即x+y=3．
故答案为：3．
由2x+y=5，x+2y=4，两式相加化简即可得出．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】3(a−b)
【解析】解：∵多项式3m(a−b)−9n(a−b)中各项都含有的因式为3(a−b)，
∴3m(a−b)−9n(a−b)的公因式是3(a−b)．
故答案为：3(a−b)．
根据多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式即可判断．
本题考查公因式的定义．掌握多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式是解题关键．
13.【答案】−1
【解析】解：(23)2023×1.52023×(−1)2023
=[23×1.5×(−1)]2023
=(−1)2023
=−1．
故答案为：−1．
根据积的乘方的运算方法，求出(23)2023×1.52023×(−1)2023的结果即可．
此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)．
14.【答案】10
【解析】解：∵|x+y−4|+(xy−3)2=0，
∴x+y−4=0，xy−3=0，即x+y=4，xy=3，
则x2+y2=(x+y)2−2xy=16−6=10．
故答案为：10．
利用非负数的性质求出x+y与xy的值，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．
15.【答案】120
【解析】【解答】
解：如图，∵l1//l2//l3，∠1=70°，∠2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°．
故答案为：120．
【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然后相加即可得解．
本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】74
【解析】解：∵a=1b=−2是关于字母a，b的二元一方程ax+ay−b=7的一个解，
∴x+y−(−2)=7，
∴x+y=5，
∴3x2+6xy+3y2−1
=3(x+y)2−1
=3×25−1
=74．
故答案为：74．
把a=1，b=−2代入原方程可得x+y的值，把代数式3x2+6xy+3y2−1变形为3(x+y)2−1，然后计算即可．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
17.【答案】解：3x−2y=10①2x+y=2②，
②×2得，4x+2y=4③，
①+③得，7x=14，
解得x=2，
把x=2代入②得，2×2+y=2，
解得y=−2，
∴方程组的解是x=2y=−2．
故答案为：x=2y=−2．
【解析】先把第二个方程乘以2，再与第一个方程相加，消掉未知数y，求出x的值，然后代入第二个方程即可求出未知数y的值．
本题主要考查了解二元一次方程组，常用的方法有代入消元法与加减消元法两种，有可以写成y=ax+b的形式的方程通常用代入消元法求解，同一个未知数的系数相同或互为相反数是用加减消元法求解，未知数的系数是倍数关系时也利用加减消元法进行求解．
18.【答案】解：(1)原式=3x(1−4x2)
=3x[1−(2x)2)]
=3x(1+2x)(1−2x)；
(2)原式=(2a)2−2×2a×3b+(3b)2
=(2a−3b)2．
【解析】(1)先提公因式法，再用平方差公式进行解题，即可得到答案；
(2)直接利用乘法公式分解因式得出答案．
此题考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
19.【答案】解：∠1 ;
∠1 ;
内错角相等，两直线平行 ;
两直线平行，内错角相等．
【解析】解：因为∠A+∠2=180°(已知)，
所以AB//CD．
所以∠A=∠1，
又因为∠A=∠C(已知)，
所以∠C=∠1(等量代换)．
所以BC//AE(内错角相等，两直线平行)，
所以∠E=∠3(两直线平行，内错角相等 )．
故答案为：∠1；∠1；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
依据平行线的性质，即可得到∠A=∠1，进而得出∠1=∠C，再根据平行线的判定，即可得到AE//BC．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
20.【答案】解：(1)(2x−3y+4)(2x+3y−4)
=[2x−(3y−4)][2x+(3y−4)]
=(2x)2−(3y−4)2
=4x2−(9y2−24y+16)
=4x2−9y2+24y−16；
(2)(−a2)3+(−2a3)2−3a2⋅a4
=−a6+4a6−3a6
=0．
【解析】(1)先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算；
(2)先根据幂的乘方，积的乘方，单项式与单项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：原式=x2−4xy+4y2−x2+y2−5y2
=−4xy．
当x=14，y=−3时，
原式=−4×14×(−3)=3．
【解析】根据整式的四则运算顺序(先乘除，后加减)及整式的运算法则对代数式进行化简，然后将x、y的值代入．
本题考查整式的混合运算，关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则．
22.【答案】解：原式=(x+2)(x2+ax+b)
=x3+ax2+bx+2x2+2ax+2b
=x3+(a+2)x2+(b+2a)x+2b
∵(x+2)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，
∴a+2=0，b+2a=0，
∴a=−2，b=4．
【解析】先将原式相乘，然后将二次项与一次项分别进行合并，最后令其系数为0即可求出a与b的值．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
23.【答案】解：(1)∵AD//EF，
∴∠1=∠DAC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴DG//AC．
(2)∵DG//AC，
∴∠AGD+∠BAC=180°，
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°
【解析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)只要证明∠2=∠DAC即可．
(2)利用平行线的性质解决问题即可．
24.【答案】解：(1)设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4，
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
(2)依题意得：3a+4b=31，
∵a，b均为正整数，
∴a=1b=7或a=5b=4或a=9b=1，
∴该公司共有3种租车方案：
方案1：租1辆A型车，7辆B型车；
方案2：租5辆A型车，4辆B型车．
方案3：租9辆A型车，1辆B型车．
【解析】(1)设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据租用的车辆可一次运载货物31吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】解：(1)x2+2x−3
=x2+2x+1−4
=(x+1)2−4
=(x+1+2)(x+1−2)
=(x+3)(x−1)；
(2)∵(x−2)2≥0，
∴M=2x2−8x
=2(x2−4x)
=2(x2−4x+4)−8
=2(x−2)2−8≥−8，
则M的最小值为−8；
(3)x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，
整理得：(x2+y2−2xy)+(y2−2y+1)+(z2−4z+4)=0，
即(x−y)2+(y−1)2+(z−2)2=0，
∵(x−y)2≥0，(y−1)2≥0，(z−2)2≥0，
∴x−y=0，y−1=0，z−2=0，
解得：x=y=1，z=2，
则x+y+z=1+1+2=4．
【解析】(1)原式配方后，利用平方差公式分解即可；
(2)M配方后，利用非负数的性质求出最小值即可；
(3)已知等式配方后，利用非负数的性质求出x，y，z的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，因式分解−运用公式法，以及十字相乘法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
26.【答案】(1)如图(1)，∵AB//CD，
∴∠1=∠EGD，
又∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD，
又∵∠FGE=60°，
∴∠EGD=13(180°−60°)=40°，
∴∠1=40°；
(2)如图(2)，∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°，
又∵∠FEG+∠EGF=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3)(60°−α)．
【解析】解：
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图(3)，∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°，
又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，
∴∠GFC=180°−90°−30°−α=60°−α．
故答案为：(60°−α)．
【分析】
(1)依据AB//CD，可得∠1=∠EGD，再根据∠2=2∠1，∠FGE=60°，即可得出∠EGD=13(180°−60°)=40°，进而得到∠1=40°；
(2)根据AB//CD，可得∠AEG+∠CGE=180°，再根据∠FEG+∠EGF=90°，即可得到∠AEF+∠FGC=90°；
(3)依据AB//CD，可得∠AEF+∠CFE=180°，再根据∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，即可得到∠GFC=180°−90°−30°−α=60°−α．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
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