2022-2023学年四川省绵阳市江油市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省绵阳市江油市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中属于最简二次根式的是( )
A. 8B. 23C. 32D. 14
2.下列计算正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 2+ 3= 5C. 8=4 2D. (−9)2=−9
3.若 x 1−x在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )
A. 0≤x<1B. 0≤x≤1C. x≥0且x≠1D. x>1
4.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列一定成立的是( )
A. AD=ABB. AD=BC
C. ∠DAC=∠ACDD. AO=BO
5.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对边平行且相等的四边形
B. 两组对边分别相等的四边形
C. 对角线互相平分的四边形
D. 一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
6.以下命题的逆命题为真命题的是( )
A. 全等的两个三角形的面积相等B. 对顶角相等
C. 直角三角形两锐角互余D. 若a=b，则a2=b2
7.在《九章算术》中有一个问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面尺．( )
A. 4
B. 3.6
C. 4.5
D. 4.55
8.如图，已知：平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE=AB，∠DAB=60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF.则∠EFA的度数等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
9.下列说法中不正确的是( )
A. 三个角度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
B. 三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C. 三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形
D. 三边之比为1：2： 3的三角形是直角三角形
10.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=2 3，CD=2，BC=3，AB=5，则四边形ABCD的面积为( )
A. 12 3
B. 4 3+12
C. 2 3+6
D. 2 3+10
11.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EP2+PF2的最小值为( )
A. 1
B. 169100
C. 14425
D. 94
12.如图，在▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，延长BF⊥CD于点F，DE，BF交于H，延长BF与AD的延长线交于点G，下面给出四个结论：①BD= 2BE；
②∠A=∠BHE；
③AB=BH；
④△BCF≌△DCE；
⑤线段BG与CD互相平分．
其中正确的结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若 54a是整数，则正整数a的最小值是______．
14.已知直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边的长为______．
15.已知实数a，b，c在数轴上的对应点，如图所示，化简 a2−|c−a|+ (b−c)2=______．
16.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，若AD=10，AB=7，则DF的长为______．
17.已知 x− 1x=2，代数式 x2+1x2−14的值是______．
18.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=18cm，点P在AD边上以每秒4cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时．点P运动了______秒．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1) 13× 27+(2+ 3)×(2− 3)．
(2)某校有一块空地，如图，为了绿化环境，学校打算利用这块空地种植花草.已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB=14CD= 6m,BC=3 2m，试求AD长．
20.(本小题10分)
(1)如图1，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM/​/CN，AN//CM.若BM=DN，求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)如图2，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
①边AC，AB，BC的长；
②点C到AB边的距离．
21.(本小题6分)
如图所示，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方沿AC折叠，使点D落在点D′，求重叠部分△AFC的面积．
22.(本小题6分)
著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列)，这个数列的第n个数为1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n](n为正整数)，例如这个数列的第8个数可以表示为1 5[(1+ 52)8−(1− 52)8].根据以上材料，写出并计算：
(1)这个数列的第一个数；
(2)这个数列的第四个数．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连结CF．
(1)求证：四边形BCFE是平行四边形；
(2)若CE=4，∠BCF=120°，求AB的长．
24.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°。
⑴直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)；
⑵以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF。
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】
解：A、 8=2 2，故A不符合题意；
B、 23= 63，故B不符合题意；
C、32不是二次根式，故C不符合题意；
D、 14是最简二次根式，故D符合题意，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解： 2× 3= 6，故A选项正确，符合题意；
2+ 3不能相加减，故B选项错误，不符合题意；
8=2 2≠4 2，故C选项错误，不符合题意；
(−9)2=9≠−9，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的加减法计算法则、乘法计算法则、化简方法以及乘法公式分别计算判断．
此题考查二次根式的计算法则，正确掌握二次根式的加减法计算法则、乘法计算法则、化简方法以及乘法公式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x≥01−x≥01−x≠0，
解得：0≤x<1．
故选：A．
根据分式和二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，即可求解．
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
由条件可知AB/​/CD，AD//BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC．
本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
【解答】
解：由题意可知：AB/​/CD，AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
根据平行四边形的判定方法逐一分析判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定)；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6.【答案】C
【解析】解：A、全等的两个三角形的面积相等的逆命题为若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等，故逆命题为假命题，该选项不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题为若两个角相等，则它们是对顶角，结合对顶角定义，相等角不一定是对顶角，故逆命题为假命题，该选项不符合题意；
C、直角三角形中两锐角互余的逆命题为在三角形中，若两个锐角互余，则该三角形为直角三角形，根据直角三角形的判定可知，该命题正确，是真命题，符合题意；
D、若a=b，则a2=b2的逆命题为若a2=b2，则a=b，显然可以举出一个反例，当a与b互为相反数时a2=b2，但a=−b，故逆命题为假命题，该选项不符合题意；
故选：C．
先根据四个选项的命题写出各自的逆命题，然后再逐一判定各个逆命题的真假即可得到答案．
本题考查逆命题的书写，以及命题真假的判断，涉及不等式性质、对顶角、直角三角形的判定和等式的性质等知识，熟练掌握相关定义与性质是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，由题意得：∠ACB=90°，BC=3尺，AC+AB=10尺，
设折断处离地面x尺，则AB=(10−x)尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32=(10−x)2，
解得：x=4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
画出图形，设折断处离地面x尺，则AB=(10−x)尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF=12∠DAB=30°，
∴∠BAF=∠AFB=30°，
∴AB=BF，
∵BE=AB，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵DAB=60°，
∴∠C=∠DAB=60°，
∴∠EBF=30°，
∴∠BFE=12(180°−30°)=75°，
∴∠EFA=∠BFE−∠BFA=45°，
故选：C．
9.【答案】A
【解析】解：A不正确，因为根据三角形内角和定理求得各角的度数，其中没有直角；
B正确，因为其三边符合勾股定理的逆定理；
C正确，根据内角和公式求得三角的度数，有直角；
D正确，因为其三边符合勾股定理的逆定理；
故选：A．
根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
判定直角三角形可用勾股定理的逆定理或用求角中是否有角等于90度来判定．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接AC，
∵∠D=90°，AD=2 3，CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 12+4=4，
又∵BC=3，AB=5，
∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴四边形ABCD的面积=12AD×CD+12AC×CB=12×2 3×2+12×4×3=2 3+6．
故选：C．
连接AC，依据勾股定理即可得到AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠ACB=90°，最后根据四边形ABCD的面积等于△ACD和△ABC的面积之和进行计算即可．
本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
11.【答案】C
【解析】解：连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∴当AP的值最小时，EF的最小值，
∵当AP为直角三角形ABC斜边上的高时，AP的值最小，
∴EF的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
设直角三角形ABC斜边上的高为h，
∵S△ABC=12BA×AC=12BC×h，
∴12×3×4=12×5×h，
解得：h=125，
∴EF的最小值为125，
∴EP2+PF2的最小值为14425．
故选：C．
连接AP，先根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，可得到四边形AEPF是矩形，从而得到EF=AP，进而得到当AP的值最小时，EF的最小值，即EF的最小值为直角三角形ABC斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算可得EF=125，根据勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到EF=AP是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵∠DBC=45° DE⊥BC，
∴∠DBE=∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∴BD= BE2+DE2= 2BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=90°，
∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C，
∴∠C=∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
∠HBE=∠EDCBE=DE∠BEH=∠DEC=90°，
∴△BHE≌△DCE(ASA)，
∴BH=CD=AB，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：C．
①由等腰直角三角形的性质可求BD= 2BE；②由余角的性质和平行四边形的性质可求∠A=∠C=∠BHE；③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH=CD；④在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，则△BCF与△DCE不全等．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵54=6×9，
∴ 54a=3 6a，
∵ 54a是整数，且a是整数，
∴a的最小值为：6，
故答案为：6．
根据 54a=3 6a，且 54a是整数，a是整数，即可得出结果．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
14.【答案】2 34或8
【解析】解：设第三边长为a，
当a为斜边时，a= 62+102=2 34；
当10为斜边时，10= 62+a2，解得a=8．
综上所述，第三边的长为2 34或8．
故答案为：2 34或8．
设第三边长为a，再根据a为斜边或10为斜边两种情况进行分类讨论．
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
15.【答案】−b
【解析】解：∵a<0，c−a>0，b−c<0，
∴原式=|a|−|c−a|+|b−c|
=−a−c+a+c−b
=−b．
故答案为：−b．
根据 a2=|a|化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 a2=|a|是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：∵在▱ABCD中，AD=10，AB=7，
∴BC=AD=10，CD=AB=7，AB/​/CD，
∴∠ABF=∠F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠F=∠FBC，
∴CF=BC=10，
∴DF=CF−CD=10−7=3，
故答案为：3．
先根据平行四边形的性质可得BC=AD=10，CD=AB=7，AB/​/CD，再根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得∠F=∠FBC，然后根据等腰三角形的判定可得CF=BC=10，最后根据DF=CF−CD即可得．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
17.【答案】2 5
【解析】解：∵ x−1 x=2
∴( x−1 x)2=4
∴x+1x=6
∴(x+1x)2=36，
∴x2+1x2=34，
∴ x2+1x2−14= 34−14=2 5
故答案为：2 5．
将 x−1 x=2，等号两边进行两次平方，即可得到x2+1x2的值，进而代入求出即可．
本题考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，重点先找到已知和求解的根式之间的联系，利用x⋅1x=1，将等式两边同时平方是解题的关键．
18.【答案】2或3
【解析】解：设点P运动了t秒，
∴CQ=2t cm，AP=4t cm，BQ=(18−2t)cm，PD=(12−4t)cm，
①当BQ=AP时，且AD//BC，则四边形APQB是平行四边形，
即18−2t=4t，
∴t=3；
②当CQ=PD时，且AD//BC，则四边形CQPD是平行四边形，
即2t=12−4t，
∴t=2，
综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了2秒或3秒，
故答案为：2或3．
由题意可得AD//BC，分BQ=AP或CQ=PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
19.【答案】解：(1) 13× 27+(2+ 3)×(2− 3)
=3+4−3
=4．
(2)过点A作AE⊥CD，
∵AB⊥BC，
则AE=BC=3 2m，
又∵CD⊥BC，
AB=14CD= 6m，
∴CD=4AB=4× 6=4 6m，
DE=CD−CE=CD−AB=4 6− 6=3 6m，
AD= AE2+DE2= (3 2)2+(3 6)2=6 2m.
【解析】(1)根据二次根式的计算方法和平方差公式进行计算；
(2)根据勾股定理和线段间的数量关系来解答．
本题考查了二次根式的计算和应用，解题的关键是根据计算法则来勾股定理来解答．
20.【答案】(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，

∵AM/​/CN，AN/​/CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴OM=ON，OA=OC，
∵BM=DN，
∴OM+BM=ON+DN，
即OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：①由勾股定理得：AC= 22+12= 5，BC= 12+32= 10，AB= 22+32= 13；
②S△ABC=3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=3.5，
设点C到AB边的距离为h，
∴12× 13h=3.5，
∴h=7 1313，
答：点C到AB边的距离为7 1313．
【解析】(1)连接AC交BD于点O，先证四边形AMCN是平行四边形，得OM=ON，OA=OC，再证OB=OD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)①由勾股定理可解答；
②根据割补法可计算△ABC的面积，从而可得结论．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB/​/CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，
∴△ACD≌△ACE，
∴∠DCA=∠ECA，
∴∠BAC=∠ECA，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，则BF=8−x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2=CF2，
即42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5，
∴S△ACF=12AF⋅BC=12×5×4=10；
【解析】根据矩形的性质和翻折变换的性质得到AF=CF，设AF=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出AF，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
22.【答案】解：(1)第一个数为1 5[1+ 52−1− 52]
=1 5× 5
=1；
(2)第四个数为
1 5[(1+ 52)4−(1− 52)4]
1 5[(1+ 52)4−(1− 52)4]=1 5[(1+ 52)2+(1− 52)2]×[(1+ 52)2−(1− 52)2]
=1 5×3× 5
=3．
【解析】(1)根据题意，将n=1代入，即可求解．
(2)根据题意，将n=4代入，根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE/​/BC，2DE=BC，
∴EF/​/BC，
∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
(2)解：∵EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形，∠BCF=120°，
∴∠ACB=60°，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠A=90°．
∵AC=2CE=8，BC=CE=4，
∴AB= AC2−BC2= 82−42=4 3．
【解析】(1)利用三角形的中位线定理，推出DE//BC,DE=12BC，进而推出EF=BC，即可得证；
(2)先证明四边形BCFE为菱形，得到△BCE为等边三角形，进而推出△ABC为含30°的直角三角形，利用勾股定理求解即可．
本题考查三角形的中位线，平行四边形的判定，菱形的判定和性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°−2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°−α；
(2)①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB/​/EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由(1)知，∠ADE=90°−α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE/​/BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由(1)知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【解析】(1)由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°−2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
(2)①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；
②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE/​/BF，AE=BF.即可证得：∠EAC=∠C=α，又由(1)可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意(2)①中证得AD⊥BC是关键，(2)②中证得AD=CD是关键．