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(新高考)高考数学一轮复习基础提升讲义 平面向量 3课时 (2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习基础提升讲义 平面向量 3课时 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习平面向量3课时原卷版doc、新高考高考数学一轮复习平面向量3课时教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为eq \f(a,|a|).
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有 ①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
二、教材衍化
1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
2．在平行四边形ABCD中，若|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) B．－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) C．eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) D．eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
考点一 平面向量的有关概念(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
核心素养：数学抽象
1．给出下列命题：
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
3．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为________．
eq \a\vs4\al()
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
考点二 平面向量的线性运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．
(2)掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，点E是线段eq \(BC,\s\up6(→))的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________．
eq \a\vs4\al()
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．下列四个结论：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0； ②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝0；
③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝0； ④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝0.
其中一定正确的结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
考点三 平面向量共线定理的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义．
核心素养：逻辑推理
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
eq \a\vs4\al()
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
1．已知向量a与b不共线，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
2.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AK,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＝________．
[基础题组练]
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
2．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
3．已知平面内一点P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
4．已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．－eq \r(2) D．eq \r(2)
5．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，eq \(QR,\s\up6(→))＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(7π,6) D．eq \f(11π,6)
6．已知平面内四点A，B，C，D，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为________．
7．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是________．
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
其中正确命题的个数为________．
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→)).
10．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).
(1)用a，b表示eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)证明：A，M，C三点共线．
[综合题组练]
1.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数t的值为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(2,5) C．eq \f(1,6) D．eq \f(3,4)
2．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积的比值是________．
3．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)的值．
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒] 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
2．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
二、教材衍化
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－2 D．2
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为∠ABC．( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( )
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；
(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4)
考点一 平面向量基本定理的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解平面向量的基本定理及其意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B．eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________．
eq \a\vs4\al()
运算遵法则 基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝eq \f(1,3)AB，BQ＝eq \f(1,3)BC，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b B．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b C．eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b D．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b
考点二 平面向量的坐标运算(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．
核心素养：数学运算
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
eq \a\vs4\al()
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
2．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，则向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是________．
3．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________．
考点三 平面向量共线的坐标表示(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
核心素养：数学运算
角度一 利用向量共线求向量或点的坐标
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
角度二 利用两向量共线求参数
已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
eq \a\vs4\al()
(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4 C．－3 D．－1
2．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．－3 D．3
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若点E满足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．3 D．2eq \r(3)
5．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) C．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
6．在△AOB中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，D为OB的中点，若eq \(DC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则λμ的值为________．
7．已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则|eq \(OP,\s\up6(→))|＝________.
8．已知A(－3，0)，B(0，eq \r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
3．已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
考点一 平面向量数量积的运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
核心素养：数学运算、数学抽象
在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________．
eq \a\vs4\al()
求向量a，b的数量积a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．
1．已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
3．在直角三角形ABC中，∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．－18 B．－6eq \r(3)
C．18 D．6eq \r(3)
考点二 平面向量数量积的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
核心素养：数学运算、逻辑推理
角度一 求两平面向量的夹角
(1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，1)(x＞0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
eq \a\vs4\al()
求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))) .
角度二 求平面向量的模
(1)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________．
(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－eq \r(3)，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
eq \a\vs4\al()
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(a·a)，|a±b|＝eq \r(（a±b）2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
[提醒] (1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算．
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．
角度三 两平面向量垂直问题
已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
eq \a\vs4\al()
两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
[注意] 若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，则|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．eq \r(17) D．eq \r(15)
2．已知在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
3．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，设向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
考点三 向量数量积的综合应用(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量数量积的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
eq \a\vs4\al()
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求边c的长．
[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,2)
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A．eq \r(6) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(3)
3．a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
4．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4) C．6 D．4
5．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
6．已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，
λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为eq \f(a,|a|).
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有 ①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
二、教材衍化
1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
2．在平行四边形ABCD中，若|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) B．－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) C．eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) D．eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
考点一 平面向量的有关概念(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
核心素养：数学抽象
1．给出下列命题：
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
3．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为________．
eq \a\vs4\al()
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
考点二 平面向量的线性运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．
(2)掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，点E是线段eq \(BC,\s\up6(→))的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________．
eq \a\vs4\al()
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．下列四个结论：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0； ②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝0；
③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝0； ④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝0.
其中一定正确的结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
考点三 平面向量共线定理的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义．
核心素养：逻辑推理
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
eq \a\vs4\al()
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
1．已知向量a与b不共线，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
2.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AK,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＝________．
[基础题组练]
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
2．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
3．已知平面内一点P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
4．已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．－eq \r(2) D．eq \r(2)
5．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，eq \(QR,\s\up6(→))＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(7π,6) D．eq \f(11π,6)
6．已知平面内四点A，B，C，D，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为________．
7．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是________．
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
其中正确命题的个数为________．
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→)).
10．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).
(1)用a，b表示eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)证明：A，M，C三点共线．
[综合题组练]
1.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数t的值为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(2,5) C．eq \f(1,6) D．eq \f(3,4)
2．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积的比值是________．
3．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)的值．
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒] 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
2．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
二、教材衍化
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－2 D．2
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为∠ABC．( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( )
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；
(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4)
考点一 平面向量基本定理的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解平面向量的基本定理及其意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B．eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________．
eq \a\vs4\al()
运算遵法则 基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝eq \f(1,3)AB，BQ＝eq \f(1,3)BC，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b B．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b C．eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b D．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b
考点二 平面向量的坐标运算(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．
核心素养：数学运算
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
eq \a\vs4\al()
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
2．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，则向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是________．
3．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________．
考点三 平面向量共线的坐标表示(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
核心素养：数学运算
角度一 利用向量共线求向量或点的坐标
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
角度二 利用两向量共线求参数
已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
eq \a\vs4\al()
(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4 C．－3 D．－1
2．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．－3 D．3
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若点E满足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．3 D．2eq \r(3)
5．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) C．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
6．在△AOB中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，D为OB的中点，若eq \(DC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则λμ的值为________．
7．已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则|eq \(OP,\s\up6(→))|＝________.
8．已知A(－3，0)，B(0，eq \r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
3．已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
考点一 平面向量数量积的运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
核心素养：数学运算、数学抽象
在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________．
eq \a\vs4\al()
求向量a，b的数量积a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．
1．已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
2．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
3．在直角三角形ABC中，∠C＝eq \f(π,2)，AB＝4，AC＝2，若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．－18 B．－6eq \r(3)
C．18 D．6eq \r(3)
考点二 平面向量数量积的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
核心素养：数学运算、逻辑推理
角度一 求两平面向量的夹角
(1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，1)(x＞0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
eq \a\vs4\al()
求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))) .
角度二 求平面向量的模
(1)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________．
(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－eq \r(3)，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
eq \a\vs4\al()
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(a·a)，|a±b|＝eq \r(（a±b）2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
[提醒] (1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算．
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．
角度三 两平面向量垂直问题
已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
eq \a\vs4\al()
两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
[注意] 若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，则|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．eq \r(17) D．eq \r(15)
2．已知在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
3．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，设向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
考点三 向量数量积的综合应用(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量数量积的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
eq \a\vs4\al()
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求边c的长．
[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,2)
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A．eq \r(6) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(3)
3．a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
4．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4) C．6 D．4
5．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
6．已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，
λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
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