山东省济南市历城区2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市历城区2023-2024学年九年级下册3月月考数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列实数，，0， 中，最小的是（ ）
A．B．C．0D．
2．2023年济南(泉城)马拉松于10月29日成功举办．图①是此次泉城马拉松男子组颁奖现场示意图．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分，大约10分钟后成功进入预定轨道．把“450000”用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则的结果可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
7．春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（ ）
原式

A．①B．②C．③D．④
9．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点于点，则以下结论错误的是（ ）
A．是等边三角形B．
C．D．
10．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．有下列结论：
①一次函数的图象上的“半分点”是；
②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为；
③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为；
④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．分解因式：a2﹣4b2= ．
12．如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．

13．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根 ．
14．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以 小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为 ．
15．如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成．如果小明同学乘坐出租车5km付车费14元，那么张老师乘坐出租车里程是11km．他应该付的车费是 元．

16．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．计算：．
18．解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．
19．如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
20．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩达到75分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．
21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
22．如图，是的直径，点C，E在上，过点E作的切线与的延长线交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．山东省某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，其中A种图书每本20元，B种图书每本30元．
(1)若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A，B两种图书分别购买了多少本？
(2)若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用．
24．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
(1)求的值及直线的解析式；
(2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标；
(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
25．（1）【问题发现】
如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段，之间的数量关系为 ；② ．
（2）【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明．
（3）【解决问题】如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当点，，三点在同一直线上时，求点到直线的距离．
26．如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点，过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线与交于点Q，当时，求点P的坐标；
(3)坐标轴上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0大于负数，绝对值越大的负数反而越小，即可作答．
【解答】解：∵，
，
∴最小的是，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形，运用数形结合思想，即可作答．
【解答】解：依题意，则此领奖台的主视图是，
故选：A
3．A
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．确定本题中的，，从而可得答案．
【解答】解：，
故选A．
4．B
【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
【解答】∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的知识求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了实数与数轴以及在数轴上两点间的距离，结合数轴，得 ，再结合进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：根据数轴，得
∵分别靠近和的中点
∴
故
故选：C
7．B
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，
∴琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为，
故选：B．
8．D
【分析】根据分式的加法法则计算，判断即可．
【解答】解：原式


，
小明开始出现错误的那一步是第步，
故选：D．
【点拨】本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
9．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明；利用等边三角形的性质结合三角形面积可判定选项D．
【解答】解：A．∵，，
∴是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
B．由作图知：射线是的平分线，且，，
∴，故选项B成立，不符合题意；
C．由作图知：，又，
∴(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
D．设与交于点G，由题意可得，但无法证明，
∴无法确定，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定、菱形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
10．B
【分析】结合题中定义及一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式对题中结论进行逐一判断即可求解．
【解答】解：根据题中定义对结论进行判断：
①在一次函数中，时，，即在函数图像上；
且满足，符合“半分点”定义，
①正确；
②根据“半分点”定义可得，，
，
在双曲线上，
，
双曲线解析式为，
又也在双曲线上，且与不是同一点，
，
解得或，
此时或，
或，
②错误；
③在二次函数图像上的满足，
，
即，
点是图像上唯一的“半分点”，
，
解得，
③正确；
④将代入可得，
，
，
，
，
，
④错误．
综上，正确结论的个数是．
故选：．
【点拨】本题考查的知识点是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的情况，解题关键是充分理解题意并综合运用一次函数、反比例函数及二次函数的性质．
11．（a+2b）（a﹣2b）
【解答】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b），
故答案为（a+2b）（a－2b）．
12．
【分析】先设一个小三角形的面积是x，可得整个阴影面积为，整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：设一个小三角形的面积是x，

∴整个阴影面积为，整个图形的面积是，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点拨】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．2
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根和的公式即可得解．
【解答】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出，即可作答．
【解答】解：∵，
∴，
∴是的小数部分，
故答案为：．
15．27
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的一次函数解析式是解题的关键．先求出的解析式为，得出，再利用待定系数法求出段的函数解析式，再把代入求解即可．
【解答】解：设的解析式为
则把代入
得
解得
∴
当时，则
∴的解析式为
设段的函数解析式为，
把，代入得：，
解得，
段的函数解析式为，
当时，．
张老师应该付的车费是27元．
故答案为：27．
16．3
【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形与折叠问题，勾股定理，三角形中位数定理，取中点H，连接，先由矩形的性质得到，再由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动，故当在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图所示，取中点H，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∵点G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动，
∴当在线段上时，有最小值，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：3．
17．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质、二次根式的性质的性质分别代入化简即可．
【解答】解：
．
【点拨】此题主要考查了实数运算、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
18．1、2、3．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
∴所有正整数解有：1、2、3．
19．见解析
【分析】解法一：由菱形的性质可得，结合可证，再证明即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明即可．
【解答】证明：解法一： ∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
解法二： 连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在△ACE和△CAF中，
D
∴，
∴．
【点拨】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
20．(1)72.5；；乙；
(2)甲；
(3)240（人）．
【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数，方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到的值；根据乙校成绩在这一组的频数所占比例即可求解；根据方差的意义即可求解．
（2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数72.5分可得．
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
【解答】（1）解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，73，故中位数．
乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是．
由于甲校的成绩的方差乙校的成绩的方差23.6，
所以本次测试成绩更整齐的是乙校．
故答案为：72.5；；乙．
（2）（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生．
理由：甲校的中位数是72.5，乙校的中位数是．
故答案为：甲．
（3）估计甲校能参加第二轮比赛的人有：（人．
21．(1)登山缆车上升的高度；
(2)从山底A处到达山顶处大约需要.
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【解答】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据，， 得出，求出结果即可；
（2）设半径为r，即，则，根据，求出，根据，，求出，根据勾股定理求出结果即可．
【解答】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：在中，设半径为r，即，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，利用数形结合的思想求解．
23．(1)购买了A种图书100本，B种图书200本；
(2)当购买A、B两种图书各150本时，所需总费用最小，为7500元．
【分析】（1）设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意列方程求解即可．
（2）设购买A种图书a本，则购买B种图书本，先求得a的范围，再设购买总费用为w，列出w关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【解答】（1）解：设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买了A种图书100本，B种图书200本；
（2）解：设购买A种图书a本，则购买B种图书本，
根据题意，得，
解得，
∴，且a为整数，
设购买两种图书的总费用为w元，
则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w取最小值，最小值为7500元，此时
答：当购买A、B两种图书各150本时，所需总费用最小，为7500元．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解；
（3）根据题意分析出是平行于的动直线，求出与切于点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解．
【解答】（1）解： 点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，
直线的解析式为；
（2）解：直线为，
．
，
，
设，
如图，在射线上，此时可得必在轴负半轴，，
．
，
．
∴；
（3）解：依据题意，直线平行于直线，且与轴交于点E，则
与封闭图形有交点，下端与相切于点，上端相切于翻折后的曲线于点，
由题意，，
．
相切，
判别式．
（负数舍去）．
此时．与轴的交点为，，
，
，
，，
此时．与轴的交点为，
．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，平行线的性质，公式法解一元二次方程，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
25．（1），60
（2），，证明见解答
（3）到直线的距离为或
【分析】（1）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出，然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；
（2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）分两种情形：，，共线，，，共线，分别求解即可解决问题．
【解答】（1）①和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上，可得的度数为；线段与之间的数量关系是：．
②；
故答案为：；60；
（2），．证明如下：
和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
，
，
，
；
（3）分两种情况：
情况一：如图1，由题意可知在直角和直角 中，，
，
，
，
，，共线，
为直角三角形，
由勾股定理得：，
，
由（1）（2）得：，
，，
；，，， 四点共圆，
作垂足为，
，
在直角三角形中，，，
，即点到直线的距离为；
情况二：如图2，，，共线时，
同理可得，即点到直线的距离为；
综上可得：到直线的距离为或．
【点拨】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．(1)；
(2)P；
(3)F的坐标为或．
【分析】（1）由题意得到①，②，联立得到方组组，解方程组得到，，即可得到抛物线的解析式；
（2）设交y轴于G，过P作交于H，求出，，则，设，则，得到，证明，利用相似的性质列方程解方程得到或1，即可得到点P的坐标；
（3）分F在x轴上和在y轴上两种情况，利用数形结合进行求解即可．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴交x轴于点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴①，
∵点在抛物线上，
∴②，
由①②联立方程组，
，
解得：，，
∴抛物线的解析式为；
（2）设交y轴于G，过P作交于H，如图：
在中，令得，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线函数表达式为，把，代入得到，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
在中，令得；
解得或，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
设，则
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或1，
经检验，或1都是分式方程解，
又∵P为第四象限抛物线上的点，
∴；
（3）坐标轴上存在点F，使得，理由如下：
当F在x轴上时，如图：
由（2）知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当F在y轴上时，过E作轴于T，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，F的坐标为或．
【点拨】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
组别
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
74.5
86
m
47.5
乙
73.1
84
76
23.6