2024七年级数学下册第3章因式分解练素养1因式分解的方法习题课件新版湘教版

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练素养　1. 因式分解的方法集训课堂因式分解时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式.若前两个步骤不能实施，则可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解.若上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)法等解决问题.名师点金方法1 提公因式法1.[2023·株洲景弘中学模拟]若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为 ⁠.3　(1)－3ma3＋6ma2－12ma；【解】原式＝－3ma(a2－2a＋4).(2)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a).原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)＝(x－y)·(a－b)(x－y)＝(x－y)2(a－b).2.把下列各式因式分解：  方法2 公式法4.把下列各式因式分解：(1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2；【解】原式＝＝(－a－2b)2＝(2b＋a)2.(2)(x2＋1)2－4x2；原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.(3)(m＋n)2－4(m＋n－1).原式＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(m＋n－2)2.【解】原式＝[2(a－b)－3a]2＝(－a－2b)2＝(2b＋a)2.5.利用因式分解计算：662－6 600＋2 500.【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256.方法3 分组分解法6. [新考法 阅读类比法]观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)＝(x－y)(x＋4).乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)＝a2－(b－c)2(直接运用公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c).请你在他们的解法的启发下，把下列各式因式分解：(1)m3－2m2－4m＋8；(2)x2－2xy＋y2－9.【解】m3－2m2－4m＋8＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4)＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2.x2－2xy＋y2－9＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3).方法4 十字相乘法7. [新考法 阅读定义法]阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：2x2－x－3.(1)二次项系数2＝1×2.(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算“交叉相乘之和”：1×3＋2×(－1)＝1，1×(－1)＋2×3＝5，1×(－3)＋2×1＝－1，1×1＋2×(－3)＝－5.(3)发现③的“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3).像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，因式分解：3x2＋5x－12＝ ⁠. 根据“十字相乘法”分解因式得出3x2＋5x－12＝(x＋3)(3x－4).(x＋3)·(3x－4)　【点拨】8.[2023·济宁]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　C　)C方法5 换元法9. [新考法 阅读类比法]下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程.解：设x2－4x＝y，则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)＝y2＋8y＋16(第二步)＝(y＋4)2(第三步)＝(x2－4x＋4)2.(第四步)回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ .(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ⁠.不彻底　(x－2)4　(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(m2－2m)(m2－2m＋2)＋1 进行因式分解.【解】设m2－2m＝n，则原式＝n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.方法6 拆项法10.阅读并解答.在因式分解x2－5x＋6时，李老师是这样做的：x2－5x＋6＝x2－4x＋4－x＋2(第一步)＝(x－2)2－(x－2)(第二步)＝(x－2)(x－2－1)(第三步)＝(x－2)(x－3).(第四步)(1)从第一步到第二步运用了 ⁠公式；(2)从第二步到第三步运用了 ⁠；(3)仿照上面的方法因式分解：x2＋2x－3.【解】x2＋2x－3＝x2＋3x－x－3＝x(x＋3)－(x＋3)＝(x－1)(x＋3).完全平方　提公因式法　方法7 配方法11. [新考法 阅读类比法]阅读下面文字内容：对于形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式.但对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了.对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1).像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的式子的方法，叫做配方法.请用配方法来解下列问题：(1)已知x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)2的值；【解】由x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，得(x2－8x＋16)＋(y2＋12y＋36)＝0，则(x－4)2＋(y＋6)2＝0.所以x－4＝0，y＋6＝0，解得x＝4，y＝－6.所以(x＋y)2＝[4＋(－6)]2＝(－2)2＝4.(2)求x2＋8x＋7的最小值.【解】x2＋8x＋7＝(x2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.因为(x＋4)2大于等于0，所以(x＋4)2－9大于等于－9，所以x2＋8x＋7的最小值是－9.