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2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果一个角是30°，那么这个角的余角是( )
A. 150°B. 40°C. 50°D. 60°
2.下列计算正确的是( )
A. (−2a)2=−4a2B. a3b2÷(a2b)=ab
C. (b2)5=b7D. m2⋅m5=m10
3.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是( )
A. 160°B. 150°C. 140°D. 130°
4.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (−x−y)(x−y)B. (−x+y)(−x−y)
C. (x+y)(−x+y)D. (x−y)(−x+y)
5.如图，直线l1//l2，∠2+∠3=210°，则∠1=( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
6.游学期间，两名老师带领x名学生到展览馆参观，已知教师参观门票每张40元，学生参观门票每张20元.设参观门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为( )
A. y=20x+80B. y=80xC. y=40+20xD. y=40x+40
7.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )
A. 17B. 15C. 13D. 13或17
8.如图，不能判定AB//CD的条件是( )
A. ∠B+∠BCD=180°
B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4
D. ∠B=∠5
9.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(2a+b)的大长方形，则需要C类卡片张数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 乙用16分钟追上甲
B. 乙追上甲后，再走1500米才到达终点
C. 甲乙两人之间的最远距离是300米
D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若am=2，an=6，则am+n= ______．
12.如图AB//CD，AD⊥AC，若∠1=55°，则∠2的度数为______．
13.数据0.000326用科学记数法表示为______．
14.如图，在△ABC中，O是三条角平分线的交点，过O作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，若AB=9，AC=6，则△ADE的周长为______．
15.已知x2−kx+9是一个完全平方式，那么k=______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，AC=5，P是AB边上一动点，将△PBC沿PC折叠，点B落在B′处，B′C交AB于D，则B′D的最大值为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(12)−1+(π−2021)0−(−1)2021；
(2)(−3ab2)3÷a3b3×(−2ab3c)．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，点E是边BC上一点，请在边AC上找一点F，连接EF，使得EF//AB.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
19.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x−2y)2−(2x−y)(2x+y)−5y2]÷(−12x)，其中x=1,y=−12，
20.(本小题6分)
填空完成推理过程：
已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，A、F、E三点在一条直线上，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4.试说明：AD//BE．
解：∵AB//CD(已知)，
∴∠4=∠BAE(______)，
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠3=∠ ______(等量代换)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE(______)，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠ ______(______)，
∴AD//BE(______).
21.(本小题8分)
如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，表格中是通过运算得到的几组x与y的对应值.根据图表信息回答下列问题：
(1)直接写出：k= ______，b= ______，m= ______；
(2)当输出y的值为12时，求输入x的值．
22.(本小题9分)
(1)图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：______.方法2：______
(2)利用等量关系解决下面的问题：
①a−b=5，ab=−6，求(a+b)2和a2+b2的值；
②已知x−1x=3，求x2+1x2的值．
23.(本小题10分)
发现问题：
(1)如图①，小明在一张纸上画了一条线段PO，他把PO绕点O顺时针方向旋转60°得到线段OQ，连接PQ，通过查资料学习知道了△OPQ为等边三角形，然后他找到OP上一点H，把△OPQ沿QH折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
PH ______OH；PQ ______QH.(填=，>，<)；
探究问题：
(2)如图②，在四边形ABCD中，连接AC，E为AD上一点，AC与BE互相平分，且交于点F，已知△ACD的面积为80，AD=10，求BE的最小值；
解决问题：
(3)如图③，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园ABCD，AB=13km，点E为AB上一个休息驿站，BE=3km，F为BC上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边△EFG的停车区域，A为入口，让车辆沿AG驶入到停车区，F为出口，若修建一定宽度的公路每公里10万元，请问修建AG路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：90°−30°=60°，
故选：D．
根据余角的概念：若两个角的和为90°，则这两个角互余，计算即可．
本题考查的是余角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、(−2a)2=4a2，故此选项错误；
B、a3b2÷(a2b)=ab，正确；
C、(b2)5=b10，故此选项错误；
D、m2⋅m5=m7，故此选项错误；
故选：B．
直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC//BD，
∴∠B=∠A=130°．
故选：D．
由平行线的性质，即可得到∠B=∠A=130°．
本题考查平行线的性质，关键是由题意得到AC//BD．
4.【答案】D
【解析】解：A、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D、含y的项符号相反，含x的项符号相反，不能用平方差公式计算．
故选：D．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：过点E作EF//11，
∵11//12，EF//11，
∴EF//11//12，
∴∠1=∠AEF，∠FEC+∠3=180°，
∵∠AEC+∠3=∠AEF+∠FEC+∠3=210°，
∴∠AEF=210°−180°=30°，
∴∠1=30°．
故选：A．
过点E作EF//11，利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，得y=40×2+20x
=20x+80，
故选：A．
根据题意列出函数解析式，整理成一般式．
本题考查一次函数的应用，掌握题目中的等量关系式是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3<7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：(1)当等腰三角形的腰为3；(2)当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直线平行的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
根据同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行分别对四个选项进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：A、∠B+∠BCD=180°，则AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以A选项不符合题意；
B、∠1=∠2，则AD//BC(内错角相等，两直线平行)，不能判定AB//CD，所以B选项符合题意；
C、∠3=∠4，则AB//CD(内错角相等，两直线平行)，所以C选项不符合题意；
D、∠B=∠5，则AB//CD(同位角相等，两直线平行)，所以D选项不符合题意．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：大长方形面积=(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2
所以大长方形是由2个A类正方形、5个C类长方形、2个B类正方形组成，
故选：D．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
本题考查了多项式乘以多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
10.【答案】D
【解析】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
∴甲步行的速度为240÷4=60(米/分钟)，
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16−4=12(分钟)追上甲，故A不符合题意；
∴乙的速度为16×60÷12=80(米/分钟)，
则乙走完全程的时间为2400÷80=30(分钟)，
乙追上甲剩下的路程为：80×18=1440(米)，
∴乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了60×(30+4)=2040(米)，
∴甲离终点还有2400−2040=360(米)，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故C不符合题意．
乙休息的时间为360÷60=6(分钟)，
故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D符合题意．
故选：D．
根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．
11.【答案】12
【解析】解：∵am=2，an=6，
∴am+n=am⋅an=2×6=12．
故答案为：12．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】35°
【解析】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∵∠1=55°，
∴∠ADC=90°−55°=35°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠ADC=35°，
故答案为：35°．
先求出∠ADC=90°−55°=35°，再根据平行线的性质即可得出答案．
本题考查平行线的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
13.【答案】3.26×10−4
【解析】解：0.000326=3.26×10−4．
故答案为：3.26×10−4．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是关键．
14.【答案】15
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
同理：OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=15．
故答案为：15．
根据两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线定义，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．
15.【答案】±6
【解析】解：∵x2−kx+9是一个完全平方式，
∴kx=±2⋅x⋅3，
解得：k=±6，
故答案为：±6．
根据完全平方式得出kx=±2⋅x⋅3，再求出k即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2．
16.【答案】9613
【解析】解：当DG⊥AB时，DG最小，B′D最大，
∵DG⊥AB，BC=12，AB=13，AC=5，
∴12AB×DG=12AC×BC，即12×13×DG=12×12×5，
∴DG=6013，
根据折叠得：BC=B′C，
∴B′D=B′C−DG=12−6013=9613
故答案为：9613．
根据题意得出当DG⊥AB时，DG最小，B′D最大，再根据面积法求出DG=6013，根据折叠得：BC=B′C，进而可得出答案．
本题考查勾股定理，折叠问题，掌握勾股定理是关键．
17.【答案】解：(1)(12)−1+(π−2021)0−(−1)2021
=2+1+1
=4；
(2)(−3ab2)3÷a3b3×(−2ab3c)
=−27a3b6÷a3b3×(−2ab3c)
=−27b3×(−2ab3c)
=54ab6c.
【解析】(1)根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可；
(2)根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算法则计算即可．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，正确计算是解题的关键．
18.【答案】解：如图，直线EF即为所求．
【解析】根据要求作出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：原式=[x2−4xy+4y2−(4x2−y2)−5y2]÷(−12x)，
=(x2−4xy+4y2−4x2+y2−5y2)÷(−12x)，
=(−3x2−4xy)÷(−12x)，
=6x+8y，
当x=1,y=−12时，
原式=6×1+8×(−12)，
=6−4，
=2．
【解析】先利用完全平方公式及平方差公式化简去括号合并，后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】两直线平行，同位角相等 BAE 等式的性质1 CAD 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵AB//CD(已知)，
∴∠4=∠CAE(两直线平行，同位角相等)，
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠3=∠BAE(等量代换)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE(等式的性质1)，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠CAD(等量代换)，
∴AD//BE(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：两直线平行，同位角相等；BAE；等式的性质1；CAD，等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的性质可得∠4=∠CAE，根据等量关系可得∠3=∠CAD，再根据平行线的判定可得AD//BE．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
21.【答案】9 6 6
【解析】解：(1)把x=−2，y=2代入y=2x+b得2=−4+b，
解得b=6；
把x=2，y=18代入y=kx得18=2k，
解得k=9；
把x=0，y=m代入y=2x+6得m=0+6，
解得m=6．
故答案为：k=9，b=6，m=6；
(2)当y=12，x<1时，2x+6=12，解得x=3>1，不符合题意，舍去；
当y=12时，x≥1时，9x=12，解得x=43>1，符合题意．
∴当输出的y值为12时，输入的x值为43．
(1)根据x=−2<1，把x=−2，y=2代入y=2x+b可得b的值；根据x=2>1，把x=2，y=18代入y=kx可得k的值；根据x=0<1，把x=0，y=m代入y=2x+6可得m的值；
(2)分x<1或x≥1两种情况，把y=12分别代入y=2x+6和y=9x，求得x的值，再根据x的取值范围判断可得结果．
此题主要是考查了根据自变量的取值范围求相应的函数值，能够分情况考虑问题是解题的关键．
22.【答案】(m+n)2−4mn (m−n)2
【解析】解：(1)方法1，
∵图②中大正方形的边长为(m+n)，
∴图②中大正方形的面积为：(m+n)2，
∵图①中长方形的为2m、宽为2n，
∴图①中长方形的面积为：2m⋅2n=4mn，
又∵S阴影=图②中大正方形的面积−图①中长方形的面积，
∴S阴影=(m+n)2−4mn，
方法2：
∵图②中小正方形的边长为(m+n)，
∴S阴影=小长方形的面积=(m−n)2，
故答案为：(m+n)2−4mn；(m−n)2．
(2)由(1)得：(m+n)2−4mn=(m−n)2，
①∴(a+b)2−4ab=(a−b)2，
即(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∵a−b=5，ab=−6，
∴(a+b)2=52+4×(−6)=1，
∵(a+b)2=1，
∴a2+b2+2ab=1，
∴a2+b2=49−2ab=1−2×(−6)=13；
②∵x−1x=3，
∴(x−1x)2=9，
∴x2+1x2−2=9，
∴x2+1x2=11．
(1)方法1，根据“S阴影=图②中大正方形的面积−图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为(m+n)，S阴影=小长方形的面积即可得出答案；
(2)①由(1)中所得的等量关系得(a+b)2−4ab=(a−b)2，将a−b=5，ab=−6，代入即可得(a+b)2的值；再根据(a+b)2=49，得a2+b2+2ab=49，据此可得a2+b2的值；
②将x−1x=3平方得(x−1x)2=9，展开得出x2+1x2−2=9，即可得出答案．
此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
23.【答案】= >
【解析】解：(1)由旋转性质可知，OP=OQ，∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
由折叠性质可知，QH⊥OP
∴PH=OH，
根据垂线段最短可知PQ>QH，
故答案为：=，>；
(2)如图②，过E作EH⊥BC于点H，
∵AC与BE互相平分，
∴AF=CF，BF=EF，
∵∠BFC=∠EFA，
∴△BFC≌△EFA(SAS)，
∴∠BCF=∠EAF，
∴BC//AD，
∴S△ACD=12AD×EH=80，
∴12×10×EH=80，
∴EH=16，
∵BE≥EH，
∴BE的最小值为16；
(3)AG路段的费用有最小值，理由如下：
如图③，BE绕点E逆时针旋转60°得到EH，连接GH，过A作AN⊥GH于点N，过E作EM⊥AN于点M，
∴△BEH是等边三角形，∠EMN=∠MNH=90°，
∴EH=BE=3，∠BEH=60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，GE=EF，
∴∠GEF+∠HEF=∠BEH+∠HEF，即∠GEH=∠FEB，
∴△GEH≌△FEB(SAS)，
∴∠GHE=∠FBE=90°，
∴∠EMN=∠MNH=∠NHE=90°，
∴四边形MNHE是矩形，
∴MN=EH=3，∠MEH=90°，
∴∠AEM=30°，
∴AM=12AE=12(AB−BE)=12×10=5，
则AN=AM+MN=5+3=8，
∴当AG⊥GH时，AG有最小值AN=8，
∴修建AG路段的费用最小值是10×8=80(万元)．
(1)根据旋转和折叠性质，垂线段最短即可求解；
(2)过E作EH⊥BC于点H，证明△BFC≌△EFA(SAS)得∠BCF=∠EAF，从而证明BC//AD，根据△ACD的面积为80，AD=10，求出EH=16，最后由垂线段最短即可求解；
(3)BE绕点E逆时针旋转60°得到EH，连接GH，过A作AN⊥GH于点N，过E作EM⊥AN于点M，从而有四边形MNHE是矩形，最后由垂线段最短即可求解．
本题考查了旋转和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，30度所对直角边是斜边的一半和垂线段最短，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．输入x
…
−2
0
2
…
输出y
…
2
m
18
…
1.如果一个角是30°，那么这个角的余角是( )
A. 150°B. 40°C. 50°D. 60°
2.下列计算正确的是( )
A. (−2a)2=−4a2B. a3b2÷(a2b)=ab
C. (b2)5=b7D. m2⋅m5=m10
3.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是( )
A. 160°B. 150°C. 140°D. 130°
4.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (−x−y)(x−y)B. (−x+y)(−x−y)
C. (x+y)(−x+y)D. (x−y)(−x+y)
5.如图，直线l1//l2，∠2+∠3=210°，则∠1=( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
6.游学期间，两名老师带领x名学生到展览馆参观，已知教师参观门票每张40元，学生参观门票每张20元.设参观门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为( )
A. y=20x+80B. y=80xC. y=40+20xD. y=40x+40
7.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )
A. 17B. 15C. 13D. 13或17
8.如图，不能判定AB//CD的条件是( )
A. ∠B+∠BCD=180°
B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4
D. ∠B=∠5
9.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(2a+b)的大长方形，则需要C类卡片张数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 乙用16分钟追上甲
B. 乙追上甲后，再走1500米才到达终点
C. 甲乙两人之间的最远距离是300米
D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若am=2，an=6，则am+n= ______．
12.如图AB//CD，AD⊥AC，若∠1=55°，则∠2的度数为______．
13.数据0.000326用科学记数法表示为______．
14.如图，在△ABC中，O是三条角平分线的交点，过O作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，若AB=9，AC=6，则△ADE的周长为______．
15.已知x2−kx+9是一个完全平方式，那么k=______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，AC=5，P是AB边上一动点，将△PBC沿PC折叠，点B落在B′处，B′C交AB于D，则B′D的最大值为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(12)−1+(π−2021)0−(−1)2021；
(2)(−3ab2)3÷a3b3×(−2ab3c)．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，点E是边BC上一点，请在边AC上找一点F，连接EF，使得EF//AB.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
19.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x−2y)2−(2x−y)(2x+y)−5y2]÷(−12x)，其中x=1,y=−12，
20.(本小题6分)
填空完成推理过程：
已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，A、F、E三点在一条直线上，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4.试说明：AD//BE．
解：∵AB//CD(已知)，
∴∠4=∠BAE(______)，
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠3=∠ ______(等量代换)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE(______)，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠ ______(______)，
∴AD//BE(______).
21.(本小题8分)
如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，表格中是通过运算得到的几组x与y的对应值.根据图表信息回答下列问题：
(1)直接写出：k= ______，b= ______，m= ______；
(2)当输出y的值为12时，求输入x的值．
22.(本小题9分)
(1)图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：______.方法2：______
(2)利用等量关系解决下面的问题：
①a−b=5，ab=−6，求(a+b)2和a2+b2的值；
②已知x−1x=3，求x2+1x2的值．
23.(本小题10分)
发现问题：
(1)如图①，小明在一张纸上画了一条线段PO，他把PO绕点O顺时针方向旋转60°得到线段OQ，连接PQ，通过查资料学习知道了△OPQ为等边三角形，然后他找到OP上一点H，把△OPQ沿QH折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
PH ______OH；PQ ______QH.(填=，>，<)；
探究问题：
(2)如图②，在四边形ABCD中，连接AC，E为AD上一点，AC与BE互相平分，且交于点F，已知△ACD的面积为80，AD=10，求BE的最小值；
解决问题：
(3)如图③，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园ABCD，AB=13km，点E为AB上一个休息驿站，BE=3km，F为BC上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边△EFG的停车区域，A为入口，让车辆沿AG驶入到停车区，F为出口，若修建一定宽度的公路每公里10万元，请问修建AG路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：90°−30°=60°，
故选：D．
根据余角的概念：若两个角的和为90°，则这两个角互余，计算即可．
本题考查的是余角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、(−2a)2=4a2，故此选项错误；
B、a3b2÷(a2b)=ab，正确；
C、(b2)5=b10，故此选项错误；
D、m2⋅m5=m7，故此选项错误；
故选：B．
直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC//BD，
∴∠B=∠A=130°．
故选：D．
由平行线的性质，即可得到∠B=∠A=130°．
本题考查平行线的性质，关键是由题意得到AC//BD．
4.【答案】D
【解析】解：A、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D、含y的项符号相反，含x的项符号相反，不能用平方差公式计算．
故选：D．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：过点E作EF//11，
∵11//12，EF//11，
∴EF//11//12，
∴∠1=∠AEF，∠FEC+∠3=180°，
∵∠AEC+∠3=∠AEF+∠FEC+∠3=210°，
∴∠AEF=210°−180°=30°，
∴∠1=30°．
故选：A．
过点E作EF//11，利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，得y=40×2+20x
=20x+80，
故选：A．
根据题意列出函数解析式，整理成一般式．
本题考查一次函数的应用，掌握题目中的等量关系式是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3<7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：(1)当等腰三角形的腰为3；(2)当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直线平行的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
根据同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行分别对四个选项进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：A、∠B+∠BCD=180°，则AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以A选项不符合题意；
B、∠1=∠2，则AD//BC(内错角相等，两直线平行)，不能判定AB//CD，所以B选项符合题意；
C、∠3=∠4，则AB//CD(内错角相等，两直线平行)，所以C选项不符合题意；
D、∠B=∠5，则AB//CD(同位角相等，两直线平行)，所以D选项不符合题意．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：大长方形面积=(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2
所以大长方形是由2个A类正方形、5个C类长方形、2个B类正方形组成，
故选：D．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
本题考查了多项式乘以多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
10.【答案】D
【解析】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
∴甲步行的速度为240÷4=60(米/分钟)，
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16−4=12(分钟)追上甲，故A不符合题意；
∴乙的速度为16×60÷12=80(米/分钟)，
则乙走完全程的时间为2400÷80=30(分钟)，
乙追上甲剩下的路程为：80×18=1440(米)，
∴乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了60×(30+4)=2040(米)，
∴甲离终点还有2400−2040=360(米)，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故C不符合题意．
乙休息的时间为360÷60=6(分钟)，
故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D符合题意．
故选：D．
根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．
11.【答案】12
【解析】解：∵am=2，an=6，
∴am+n=am⋅an=2×6=12．
故答案为：12．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】35°
【解析】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∵∠1=55°，
∴∠ADC=90°−55°=35°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠ADC=35°，
故答案为：35°．
先求出∠ADC=90°−55°=35°，再根据平行线的性质即可得出答案．
本题考查平行线的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
13.【答案】3.26×10−4
【解析】解：0.000326=3.26×10−4．
故答案为：3.26×10−4．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是关键．
14.【答案】15
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
同理：OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=15．
故答案为：15．
根据两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线定义，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．
15.【答案】±6
【解析】解：∵x2−kx+9是一个完全平方式，
∴kx=±2⋅x⋅3，
解得：k=±6，
故答案为：±6．
根据完全平方式得出kx=±2⋅x⋅3，再求出k即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2．
16.【答案】9613
【解析】解：当DG⊥AB时，DG最小，B′D最大，
∵DG⊥AB，BC=12，AB=13，AC=5，
∴12AB×DG=12AC×BC，即12×13×DG=12×12×5，
∴DG=6013，
根据折叠得：BC=B′C，
∴B′D=B′C−DG=12−6013=9613
故答案为：9613．
根据题意得出当DG⊥AB时，DG最小，B′D最大，再根据面积法求出DG=6013，根据折叠得：BC=B′C，进而可得出答案．
本题考查勾股定理，折叠问题，掌握勾股定理是关键．
17.【答案】解：(1)(12)−1+(π−2021)0−(−1)2021
=2+1+1
=4；
(2)(−3ab2)3÷a3b3×(−2ab3c)
=−27a3b6÷a3b3×(−2ab3c)
=−27b3×(−2ab3c)
=54ab6c.
【解析】(1)根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可；
(2)根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算法则计算即可．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，正确计算是解题的关键．
18.【答案】解：如图，直线EF即为所求．
【解析】根据要求作出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：原式=[x2−4xy+4y2−(4x2−y2)−5y2]÷(−12x)，
=(x2−4xy+4y2−4x2+y2−5y2)÷(−12x)，
=(−3x2−4xy)÷(−12x)，
=6x+8y，
当x=1,y=−12时，
原式=6×1+8×(−12)，
=6−4，
=2．
【解析】先利用完全平方公式及平方差公式化简去括号合并，后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】两直线平行，同位角相等 BAE 等式的性质1 CAD 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵AB//CD(已知)，
∴∠4=∠CAE(两直线平行，同位角相等)，
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠3=∠BAE(等量代换)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE(等式的性质1)，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠CAD(等量代换)，
∴AD//BE(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：两直线平行，同位角相等；BAE；等式的性质1；CAD，等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的性质可得∠4=∠CAE，根据等量关系可得∠3=∠CAD，再根据平行线的判定可得AD//BE．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
21.【答案】9 6 6
【解析】解：(1)把x=−2，y=2代入y=2x+b得2=−4+b，
解得b=6；
把x=2，y=18代入y=kx得18=2k，
解得k=9；
把x=0，y=m代入y=2x+6得m=0+6，
解得m=6．
故答案为：k=9，b=6，m=6；
(2)当y=12，x<1时，2x+6=12，解得x=3>1，不符合题意，舍去；
当y=12时，x≥1时，9x=12，解得x=43>1，符合题意．
∴当输出的y值为12时，输入的x值为43．
(1)根据x=−2<1，把x=−2，y=2代入y=2x+b可得b的值；根据x=2>1，把x=2，y=18代入y=kx可得k的值；根据x=0<1，把x=0，y=m代入y=2x+6可得m的值；
(2)分x<1或x≥1两种情况，把y=12分别代入y=2x+6和y=9x，求得x的值，再根据x的取值范围判断可得结果．
此题主要是考查了根据自变量的取值范围求相应的函数值，能够分情况考虑问题是解题的关键．
22.【答案】(m+n)2−4mn (m−n)2
【解析】解：(1)方法1，
∵图②中大正方形的边长为(m+n)，
∴图②中大正方形的面积为：(m+n)2，
∵图①中长方形的为2m、宽为2n，
∴图①中长方形的面积为：2m⋅2n=4mn，
又∵S阴影=图②中大正方形的面积−图①中长方形的面积，
∴S阴影=(m+n)2−4mn，
方法2：
∵图②中小正方形的边长为(m+n)，
∴S阴影=小长方形的面积=(m−n)2，
故答案为：(m+n)2−4mn；(m−n)2．
(2)由(1)得：(m+n)2−4mn=(m−n)2，
①∴(a+b)2−4ab=(a−b)2，
即(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∵a−b=5，ab=−6，
∴(a+b)2=52+4×(−6)=1，
∵(a+b)2=1，
∴a2+b2+2ab=1，
∴a2+b2=49−2ab=1−2×(−6)=13；
②∵x−1x=3，
∴(x−1x)2=9，
∴x2+1x2−2=9，
∴x2+1x2=11．
(1)方法1，根据“S阴影=图②中大正方形的面积−图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为(m+n)，S阴影=小长方形的面积即可得出答案；
(2)①由(1)中所得的等量关系得(a+b)2−4ab=(a−b)2，将a−b=5，ab=−6，代入即可得(a+b)2的值；再根据(a+b)2=49，得a2+b2+2ab=49，据此可得a2+b2的值；
②将x−1x=3平方得(x−1x)2=9，展开得出x2+1x2−2=9，即可得出答案．
此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
23.【答案】= >
【解析】解：(1)由旋转性质可知，OP=OQ，∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
由折叠性质可知，QH⊥OP
∴PH=OH，
根据垂线段最短可知PQ>QH，
故答案为：=，>；
(2)如图②，过E作EH⊥BC于点H，
∵AC与BE互相平分，
∴AF=CF，BF=EF，
∵∠BFC=∠EFA，
∴△BFC≌△EFA(SAS)，
∴∠BCF=∠EAF，
∴BC//AD，
∴S△ACD=12AD×EH=80，
∴12×10×EH=80，
∴EH=16，
∵BE≥EH，
∴BE的最小值为16；
(3)AG路段的费用有最小值，理由如下：
如图③，BE绕点E逆时针旋转60°得到EH，连接GH，过A作AN⊥GH于点N，过E作EM⊥AN于点M，
∴△BEH是等边三角形，∠EMN=∠MNH=90°，
∴EH=BE=3，∠BEH=60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，GE=EF，
∴∠GEF+∠HEF=∠BEH+∠HEF，即∠GEH=∠FEB，
∴△GEH≌△FEB(SAS)，
∴∠GHE=∠FBE=90°，
∴∠EMN=∠MNH=∠NHE=90°，
∴四边形MNHE是矩形，
∴MN=EH=3，∠MEH=90°，
∴∠AEM=30°，
∴AM=12AE=12(AB−BE)=12×10=5，
则AN=AM+MN=5+3=8，
∴当AG⊥GH时，AG有最小值AN=8，
∴修建AG路段的费用最小值是10×8=80(万元)．
(1)根据旋转和折叠性质，垂线段最短即可求解；
(2)过E作EH⊥BC于点H，证明△BFC≌△EFA(SAS)得∠BCF=∠EAF，从而证明BC//AD，根据△ACD的面积为80，AD=10，求出EH=16，最后由垂线段最短即可求解；
(3)BE绕点E逆时针旋转60°得到EH，连接GH，过A作AN⊥GH于点N，过E作EM⊥AN于点M，从而有四边形MNHE是矩形，最后由垂线段最短即可求解．
本题考查了旋转和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，30度所对直角边是斜边的一半和垂线段最短，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．输入x
…
−2
0
2
…
输出y
…
2
m
18
…
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