河南省安阳市昼锦中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省安阳市昼锦中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
2．将一个三角板按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒
5．如图1是由6个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体（ ）
A．主视图改变，俯视图改变B．主视图不变，俯视图改变
C．主视图不变，俯视图不变D．主视图改变，俯视图不变
6．不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图，这个弦图中的四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边的长分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知硝酸钾和氯化钾在水中的溶解度与温度的关系如图①所示，溶液浓度的计算方法如图②，下列说法错误的是（ ）
A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显
B．当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度
C．当时，100g硝酸钾加入100g水中得到的溶液浓度为50％
D．当时，50g氯化钾加入100g水中得到的是饱和氯化钾溶液
10．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，动2023秒后点D的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．关于x的不等式组的解集为________．
12．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则立夏的晷长为________尺．
13．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围是________．
14．如图，内接于，，，，点D在上，且，点P是线段上的动点，当的值最小时，阴影部分的面积为________．（结果保留）
15．如图，菱形的边长为2，，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点处，折痕为，连接，当为等腰三角形时，的长为________．
三、解答题（共75分）
16．（本题8分）
（1）计算：（2）化简：
17．（本题9分）2023年是中国共产主义青年团建团101周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，八、九年级各有400名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．九年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组：，，，）；
期中成绩在的数据如下（单位：分）：
80 80 81 82 83 84 85 86 87 89
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）估计________年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
（3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计八年级和九年级此次测试成绩优秀的总人数．
18．（本题9分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标是．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集________；
（3）按照既得数据，计算的面积．
19．（本题8分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点A，B，C．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，，若圆形轮片的直径为6，圆心角，求弧的长．
20．（本题9分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测量知，．当，转动到，时，求点C到的距离（参考数据：）
21．（本题10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
22．（本题11分）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
（1）第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
则：①抛物线顶点的坐标是________，顶点坐标的实际意义是________；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．
（2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？
（3）实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整？
23．（本题11分）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点E，连接，过点B作于点G，与边交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：________．
（2）迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点E，连接，过点B作于点G，与边交于点F，请求出的值，并说明理由；
（3）拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点G，连接，则线段长度的最小值为________，点G的运动轨迹的长为________．（直接写出答案不必说明理由）
2024年3月调研测试
九年级数学参考答案
1．B
【分析】根据绝对值的定义即可得．
【详解】解：负数的绝对值等于它的相反数，
则的绝对值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题关键．
2．C
【分析】互余关系求出，求出，再根据两直线平行，内错角相等，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平行四边形纸片，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查求角的度数．熟练掌握平行四边形对边平行，正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
3．C
【分析】
题目主要考查合并同类项，同底数幂的乘法、零次幂的运算、幂的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键
【详解】解：A、与不能合并，选项不成立，不符合题意；
B、，选项不成立，不符合题意；
C、，选项成立，符合题意；
D、，选项不成立，不符合题意；
故选：C
4．A
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：20纳秒秒，
故选：A
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．B
【分析】分别得到将正方体变化前后的三视图，依此即可作出判断．
【详解】解：正方体移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体移走后的主视图正方形的个数为1，2，1．
正方体移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体移走后的左视图正方形的个数为2，1．
正方体移走前的俯视图正方形的个数为3，1，1；正方体移走后的俯视图正方形的个数为：2，1，2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
6．D
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式在数轴上表示为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．
7．D
【分析】可先求得抛物线的对称轴和开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．
【详解】解：二次函数，
，对称轴为直线，
抛物线开口向下，
在对称轴左侧随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查了求几何概率，先求出空白部分是边长为1的正方形，再根据飞镖落在阴影区域的概率等于阴影部分面积除以这个弦图的面积进行求解即可．
【详解】解：由题意得，空白部分是边长为的正方形，
∴飞镖落在阴影区域的概率为，
故选D．
9．C
【分析】
本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
【详解】
解：由图象可知：
A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显，故选项A说法正确，不符合题意；
B．当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度，故选项B说法正确，不符合题意；
C．当时，硝酸钾加入水中得到的溶液浓度为，故选项C说法错，符合题意；
D．当时，氯化钾加入水中得到的是饱和氯化钾溶液，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
10．B
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先确定此时点D对应的位置即点D′所在的位置，如图，过点D，D′分别作DE⊥x轴于点E，D′F⊥x轴于点F，证明△D′OF≌△ODE，得到D′F＝OE＝1，OF＝DE＝2，由此求解即可．
解：∵正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，
∴旋转4秒恰好旋转360°．
∵2023÷4＝505……3，
∴旋转2023秒，即点D旋转了505圈后，又旋转了3次．
∵3×90°＝270°，
∴此时点D对应的位置即点 D′所在的位置，
如图．过点D，D'分别作DE⊥x轴于点E，D'F⊥x轴于点F，
∴∠D′FO＝∠OED＝90°，
∴∠EOD+∠EDO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠FOD′+∠DOE＝90°，
∴∠D′OF＝∠ODE．
在△D′OF和△DOE中，
，
∴△D′FO≌△OED（AAS），
∵点D的坐标为（1，2），
∴OF＝DE＝2，D′F＝OE＝1．
又点D′在第二象限，
∴旋转2023秒后，点D的坐标为（﹣2，1）．
故选B．
【点评】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2023秒后点D的位置是解题的关键．
11．
【分析】
本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式，得；
解不等式，得．
故原不等式组的解集为．
故答案为：．
12． 4.5
【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，，计算求出相邻两个节气晷长减少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可．
【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为尺，
由题意知，，
解得，，
∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为1尺；
∵，
∴立夏的晷长为4.5尺；
故答案为：1；4.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
13．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【详解】解：如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
14．/
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求得BC＝2AC＝2CD，即可证得△COD是等边三角形，得出∠COD＝∠CDO＝60°，根据两点之间线段最短，当A、P、D共线时，PA＋PD的值最小，即可得出∠CAD＝∠CDA＝30°，进一步得出∠ADO＝30°，继而证得△APC≌△DPO，得到S阴影＝S扇形COD＝
【详解】解：如图，设BC的中点为O，
∵Rt△ABC内接于，∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴BC＝2AC，
∵CD＝CA，
∴CD＝CO，
∵CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵P是线段BC上的动点，当A、P、D共线时，PA＋PD的值最小，
∴此时∠CAD＝∠CDA＝30°，
∴∠ADO＝30°，
在△APC和△DPO中，
，
∴△APC≌△DPO（AAS），
∴S阴影＝S扇形COD＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积，含30°角的直角三角形的性质，圆周角定理，轴对称−最短路线问题，三角形全等的判定和性质，证明S阴影＝S扇形COD是解题的关键．
15．或（答对一个不给分）
【分析】连接，交于点H，设与的交点为，四边形是菱形，求出，，分和及三种情况讨论．
【详解】解：连接，交于点H，设与的交点为，
点落在对角线上，
，即，
是边长为2的菱形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
四边形是菱形，
，
，
，
当时，此时点重合，，不符合题意；
当时，如图1，
则，
，
，
；
当时，如图2，
则，
，
，
，
，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查菱形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是熟知菱形的性质、折叠的特点．
16．（1）1；--------------4分
（2）--------------8分
【分析】（1）先根据二次根式的性质、负整数指数幂和零指数幂运算法则计算各数，再加减运算即可求解；
（2）利用分式的混合运算法则，结合完全平方公式化简原式即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确计算是解答的关键．
17．（1），--------------4分
（2）九--------------6分
（3）人--------------9分
【分析】（1）根据众数的定义，结合八年级的数据即可求解，根据中位数的定义，得出中位数为第10个和第11个数的平均数，且中位数在内，找到第10个和第11个数据，求得其平均数即可；
（2）分别求出八、九年级的成绩在平均数以上人数的占比，然后乘以总人数可得八、九年级的学生的成绩高于平均分的总人数，然后比较大小即可；
（3）由题意知，八年级成绩优秀的人数占比为；九年级成绩优秀的人数占比为；根据计算求解可得八年级和九年级此次测试成绩优秀的总人数．
【详解】（1）根据八年级的数据，

众数为80，
根据九年级成绩中位数在分之间，可知中位数为第10个和第11个数的平均数，
由的数据，
第10个数据和第11个数据为80，
∴，
中位数为，
故答案为：，．
（2）解：由题意知，八年级成绩在平均分以上的有10人，占总人数的，
∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为人；
九年级成绩在平均分以上的有11人，占总人数的，
∴估计九年级学生的成绩高于平均分的人数为人；
∵200<220，
∴估计九年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
故答案为：九．
（3）解：由题意知，八年级成绩优秀的人数占比为，九年级成绩优秀的人数占比为
∴估计八年级和九年级此次测试成绩优秀的总人数为（人）
∴估计八年级和九年级此次测试成绩优秀的总人数为人
【点睛】题考查了频数分布直方图，众数，中位数，样本估计总体等知识．解题的关键在于从图表中获取正确的信息．
18．（1）--------------3分
（2）或--------------6分
（3）4-------------9分
【分析】（1）把代入得，，即点A的坐标为，由点A在反比例函数的图象上，可得．进而可得反比例函数解析式；
（2）联立 ，解得或，则点B的坐标为，数形结合确定不等式的解集即可；
（3）设直线与y轴的交点为C，则点C的坐标为，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴点A的坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：联立 ，解得或，
∴点B的坐标为，
由图象可知，不等式 的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：设直线与y轴的交点为C，

将代入，得，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴的面积为4．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合、与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
19．（1）作图见详解--------------4分
（2）弧的长为--------------8分
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键．
（1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解；
（2）根据弧长的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
线段交于点，如图所示，
∴点即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角，
∴，
∴，
∴弧的长为．
20．点C到的距离为
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点B作，过点C作，过点C作，从而可得四边形是矩形，进而可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，并且可以求出，从而求出，进而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，垂足为M，过点C作，垂足为N，过点C作，垂足为D，

，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点C到的距离为．
21．（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；--------------5分
（2）最多购进87个甲种粽子-------------10分
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
22．（1）①，顶点坐标的实际意义是实心球抛出3米后达到的最大垂直高度2.7米；-------2分②，本次训练的成绩为-------6分
（2）有提高，理由见解析-------9分
（3）a变大，b变大-------11分
【分析】（1）①根据表格数据和题意可解答；②利用待定系数法求解即可；
（2）求出第二次着陆的距离，与第一次比较即可得出结论；
（3）可根据抛物线的最大垂直高度、对称轴的位置和着陆距离，结合前两次的函数解析式和结论可作出结论．
【详解】（1）解：①根据表格数据，当和时，y值相等，则直线是对称轴，
∴顶点坐标为，
由于顶点是抛物线的最高点，故实际意义为实心球抛出后达到的最大垂直高度，
故答案为：，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；
②设y与x近似满足的函数关系式为，
将，代入，得，解得，
∴y与x近似满足的函数关系式为；
令，由得，（负值舍去），
∴本次训练的成绩为；
（2）解：有提高，理由为：
对于函数，抛物线的顶点坐标为
令，由得，（负值舍去），
∵，，
∴第二次抛出的最大垂直高度大于第一次，着陆更远，成绩更集中，
即第二次训练成绩与第一次相比有提高；
（3）解：对于函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
由题意，，，着陆距离为（负值舍去），最大垂直高度为，
要提高成绩，只需提高最大垂直高度，对称轴尽可能的远离抛出位置，着陆距离尽可能的远，
结合第一次和第二次的抛物线方程，可将a变大，b变大．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题等知识，解答的关键是理解题意，熟练运用二次函数的图象与性质分析解答．
23．（1）---------2分
（2），理由见解析---------7分
（3）线段GD的最小值为，点G的运动轨迹的长为------------11分
【分析】（1）根据正方形的性质，由条件利用三角形全等判定可得，即可证明；
（2）证明，根据相似三角形的性质可得出结论；
（3）根据三边关系可判断出的最小值，再判断出点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，再求点的运动轨迹即可
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴
∴
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
又，
∴
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
（3）如图，取的中点，连接，，

由题意知，，，
∴，
∴
∴
∵是的中点，，
∴，
在中，；
在中，
∵，
∴的最小值是，
∵，
∴、、三点共圆，
∴点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，
∴点的运动轨迹的长为：，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
信息窗
1．
2．溶质质量溶剂质量溶液质量
3．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
图①
图②
年级
平均数
中位数
众数
八年级
79.05
79
m
九年级
79.2
n
74
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1