2022-2023学年湖南省岳阳市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列品牌的标识中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在中， 的值可以是
( )
A. B. C. D.
3.下列条件中，不能判定为直角三角形的是( )
A. B.
C. ：：：：D. ，，
4.下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形
5.到三角形三边距离相等的点是( )
A. 三条高的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 不能确定
6.观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，在中，，是斜边的中垂线，分别交，于、两点，若，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：；；；；，正确结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.正八边形的内角和为______度
10.第二象限内的点满足，，则点的坐标是______．
11.如图，在菱形中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接若，则的度数为______度
12.如图，在平行四边形中，，，、分别是垂足，已知，，，则平行四边形的面积是______．
13.九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距木根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为______．
14.如图，点是正方形的对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点若，，则________．
15.如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______．
16.如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，▱的一个外角为，，求，，的度数以及的长度．
18.本小题分
如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和．
画出该平面直角坐标系；
画出以线段为斜边的，写出点坐标写出一个即可．
19.本小题分
如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
求证：≌；
若，，求的长．
20.本小题分
如图，在矩形中，点在上，，，垂足为．
求证：；
若，且，求的长．
21.本小题分
如图，在中，，是的一条角平分线．点、、分别在、、上，且四边形是正方形．
求证：点在的平分线上；
若，，求的长．
22.本小题分
如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点米处有一所学校当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为千米时．
求对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离；
求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
23.本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是连接、、设点、运动的时间为．
当为何值时，四边形是矩形；
当为何值时，四边形是菱形；
分别求出中菱形的周长和面积．
24.本小题分
著名的赵爽弦图如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理．
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，且测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
在第问中若时，，，，，设，求的值．
答案和解析
1.【答案】
解：是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个．本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
【解答】
解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等，
其中，，都不满足，只有满足．
故选D．
3.【答案】
解：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.：：：：，，
最大角，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理判断和即可；根据三角形的内角和定理判断和即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】
解：、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；
D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．
故选：．
直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．
此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．
5.【答案】
解：，
为的平分线．
同理，为的平分线，为的平分线．
所以，到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点，
故选：．
首先确定到两边距离相等的点的位置，再确定到另外两边的位置，根据到角的两边的距离相等的点在它的平分线上，为三个角平分线的交点．
此题主要考查了角平分线的性质；分别思考找出满足条件的交点是正确解答本题的关键．
6.【答案】
解：观察作图痕迹可知：
A.，但不平分，
所以选项不符合题意；
B.为的边上的中线，
所以选项符合题意；
C.是的平分线，
所以选项不符合题意；
D.不符合基本作图过程，
所以选项不符合题意．
故选：．
根据题意，为的边上的中线，就是作边的垂直平分线，交于点，连接即可判断．
7.【答案】
解：连接，
在中，为的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
解得：，，
在中，，，
．
故选：．
直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而结合已知角得出，的长，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了含度角的直角三角形和线段垂直平分线的性质，正确得出的长是解题关键．
8.【答案】
解：正确，连接，可得，，
；
正确；延长，交于点，则，可得；
正确；；
错误，；正确，．
故选：．
根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误．
综合考查了正方形的性质；充分利用正方形是轴对称图形可得相关验证．
9.【答案】
解：．
故答案为：．
边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和．
本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握边形的内角和公式是解题关键．
10.【答案】
解：，，
，，
第二象限内的点，
，，
，，
点的坐标为．
故答案为．
根据绝对值的意义和平方根得到，，再根据第二象限的点的坐标特点得到，，于是，，然后可直接写出点坐标．
本题考查了点的坐标：熟练掌握各象限内的坐标特点．
11.【答案】
解：四边形是菱形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，从而得到，，通过证明≌得到，由等腰三角形的性质可得，即，从而即可得到答案．
本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12.【答案】
解：于点，于点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
平行四边形的面积，
故答案为：．
直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键．
13.【答案】
解：设绳索长为尺，可列方程为，
故答案为：
设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
首先连接交于，由四边形、是正方形，即可得，，，然后利用即可证得≌，则可得，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，继而可得的长．
【解答】
解：连接交于，
四边形、是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
解：作关于直线的对称点，连接，则即为所求，
过作于，
在中，
，，
所以．
故答案为：．
作关于直线的对称点，连接，则即为所求，过作于，在中，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
16.【答案】

【解析】【分析】
如图中，求出等边的高即可．如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论．
本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，翻折变换，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】
解：如图中，
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
当点与重合时，是等边的高，．
如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，
≌，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
的最大值为．
故答案为：，．
17.【答案】解：四边形是▱，
，，，
，
．
，
，，
．
综上所述：，，，．
【解析】利用平行四边形的性质推导对边平行且相等，再用平行线的性质求角即可．
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，难度较小，利用两直线平行求角度是解题的关键．
18.【答案】解：点、的坐标分别为和，
建立平面直角坐标系如图所示；
解：画出图形如图所示：
由图可知：点的坐标为或．
【解析】根据、两点的坐标建立平面直角坐标系即可；
先画出图形，再根据图形即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形，写出直角坐标系中点的坐标，采用数形结合的思想解题是解决此题的关键．
19.【答案】证明：平分，，，
，，
在和中
，
≌；
，，
，
，

【解析】根据角平分线性质求出，根据定理求出另三角形全等即可；
求出，，根据含度角的直角三角形性质求出即可．
本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
20.【答案】解：证明：在矩形中，，，
．
，
．
在和中，
，
≌．
．
，，
．
．
又，
．
【解析】利用“”证≌即可得；
由、得，据此知，根据可得答案．
本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
21.【答案】证明：过点作，
是的一条角平分线，
，
四边形是正方形，
，
，
是的角平分线，即点在的平分线上；
解：在中，，，
，
设，，，
，
解得：，
，
．
【解析】过点作，由角平分线的性质得，由正方形的性质得，易得，由角平分线的判定定理得点在的平分线上；
由勾股定理得的长，利用方程思想解得结果．
本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．
22.【答案】解：过点作于点，
，，
，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离为米；
由图可知：以为半径画圆，分别交于，两点，，，，
在中，，
，
在中，，，由勾股定理得：，
故BC米，即重型运输卡车在经过时对学校产生影响．
重型运输卡车的速度为千米小时，即米分钟，
重型运输卡车经过时需要分钟秒．
答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为秒．
【解析】直接利用直角三角形中所对的边等于斜边的一半求出即可；
根据题意可知，图中，，且，，；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．
此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响．
23.【答案】解：在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，得，
故当时，四边形为矩形；
，，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形；
当时，，
则周长为；
面积为
【解析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
当四边形是矩形时，，据此求得的值；
当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
菱形的四条边相等，则菱形的周长，根据菱形的面积公式求出面积即可．
24.【答案】解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
，
，
在中，，
即，
解得，
即，
千米，
答：新路比原路少千米；
设，则，
在中，，
在中，，
，
即，
解得：．
【解析】梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果；
此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．