2022-2023学年浙江省宁波市江北实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市江北实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，是关于，的二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.研究发现新冠肺炎病毒大小约为米，数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是( )
A. B. C. D.
4.如图，，点在上，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是( )
A. B.
C. D.
6.若，则的值是( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，则值为( )
A. B. C. D.
9.已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是( )
A. B. C. D.
10.已知正方形的边长为，正方形的边长为如图，点与点重合，点在边上，点在边上，记阴影部分的面积为；如图，在图正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和若，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式： ______．
12.如果是方程的一个解，则 ．
13.下列说法正确的是______．
在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
无论取任何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是；
若，，则．
14.如图，将边长为的等边三角形沿边向左平移，得到，则梯形的周长为 ．
15.某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题如图所示，已知，，，则的度数是 ．
16.若关于的方程组的解为，则方程组的解是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解下列二元一次方程组：
；
．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
已知，，求的值．
20.本小题分
如图，已知．
求证：；
若，求的度数．
21.本小题分
定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“加乘数”．
若，，求，的“加乘数”；
若，，求、的“加乘数”．
22.本小题分
阅读理解：我们一起来探究代数式的值，
探究一：当时，的值为 ；当时，的值为 ，可见，代数式的值因的取值不同而变化．
探究二：把代数式进行变形，如：，可以看出代数式的最小值为 ，这时相应的 ．
根据上述探究，请解答：
求代数式的最大值，并写出相应的值．
把中代数式记为，代数式记为，是否存在，，的值，使得与的值相等？若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．
23.本小题分
爱好数学的小明，来到泰兴鼓楼商场内的某知名奶茶店，注视着价格表，陷入了沉思．
小明发现：杯西瓜啵啵、杯元气鲜橙共需元；杯西瓜啵啵、杯元气鲜橙共需元，那么购买杯西瓜啵啵和杯元气鲜橙共需多少元？
小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元杯，百香凤梨元杯，葡萄芝士元杯，则葡萄芝士买了多少杯？
24.本小题分
已知：，、是上的点，、是上的点，．
如图，求证：；
如图，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求证：；
如图，在的条件下，作的角平分线交于点，若，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
解：、是关于，的二元一次方程，故此选项正确；
B、不是关于，的二元一次方程，故此选项错误；
C、不是关于，的二元一次方程，故此选项错误；
D、不是关于，的二元一次方程，故此选项错误；
故选：．
根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得答案．
此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：首先是整式方程．方程中共含有两个未知数．所有未知项的次数都是一次．
2.【答案】
解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
选项根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
选项根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
解：，，
，
平分，
．
故选：．
根据平行线的性质可得，利用角平分线的性质可得．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
5.【答案】
解：、当时，，本选项不符合题意；
B、当时，，本选项不符合题意；
C、当时，，本选项不符合题意；
D、当时，，本选项符合题意．
故选：．
根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】
解：，
，
故选：．
根据，将所求式子进行变形即可解答本题．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
7.【答案】
解：设大马有匹，小马有匹，
根据题意得：．
故选：．
设大马有匹，小马有匹，根据大马与小马的总匹数是，匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦共拉匹瓦，列出方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
解：，，
，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
9.【答案】
解：原方程可整理得：
，
根据题意得：
，
解得，
故选：．
把原方程整理得：，根据“当每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与无关，得到关于和的二元一次方程组，解之即可．
本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
解：的面积等于正方形面积正方形面积，是边长为的正方形的面积，
，，
，，
，，
，，
，
解，得，，
表示边长为的正方形的面积，
，
故选：．
先表示出和的面积，进而求出和的值，再根据表示边长为的正方形的面积，即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决的关键；解的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
11.【答案】
解：原式．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．
根据二元一次方程的解的概念即可求出的值．
【解答】
解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：
13.【答案】
解：按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
当为负值时，多项式不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
解方程组，得，
把代入得：，
解得：，故本选项正确；
，
，
，故本选项不正确；
综上正确的说法是．
故答案为：．
利用平行公理对判断；利用平方差公式的特点对分析；解方程组求得、的值，代入即可求得的值；利用幂的乘方，完全平方公式即可求解．
本题考查了平行公理、因式分解、二元一次方程组的解以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．
14.【答案】
解：沿边向右平移得到，
，，
四边形的周长，
故答案为：．
由平移的性质可得，，求出四边形的周长，最后代入数据计算即可得解．
本题考查了等边三角形的性质、平移的基本性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平移的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
延长交于，依据，，可得．
【解答】
解：如图，延长交于，
因为，，
所以，
又因为，
所以
所以，
故答案为：．
16.【答案】．
解：方程组，
可变为：，
方程组的解为，
，
，
原方程组的解是．
故答案为：．
把方程组，变为：，由的解为，即可求解．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，关键是把方程组变为：．
17.【答案】解：；


．
【解析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义计算，再算加减即可；
先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
本题考查了零指数和负整数指数幂的意义，多项式与多项式的乘法运算等知识，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
，
由，可得：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可；
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
19.【答案】解：原式

．
当，时，原式；



．
当，时，
原式．
【解析】根据整式的混合运算法则把原式化简，把、的值代入计算得到答案；
根据完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】解：如图，标记如下：

，，
，
．
，
，
，，
，
．
【解析】根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行可得结论；
由平行线的性质得，然后由等量代换和邻补角性质可得答案．
此题考查的是平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题关键．
21.【答案】解：当，时，
；
当，时，



，
，
，
或．
【解析】把，代入中求值即可；
利用完全平方公式求出，得到，进而得到的值．
本题考查因数分解的应用，掌握是解题的关键．
22.【答案】
解：探究一：
当时，；
若，；
故答案为：，；
探究二：
，
是非负数，
这个代数式的最小值是，此时．
故答案为：，；
，
当时，代数式有最大值是；
，，
当时，则，
，
，
，
，，
，，
．
探究一：把和分别代入代数式中，再进行计算即可得出答案；
探究二：先将代数式配方后得：，可得结论；
将代数式配方后可得结论；
存在，列式可得和值，相乘可得的值．
此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
23.【答案】解：设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元，
依题意得：，
得：．
答：购买杯西瓜啵啵和杯元气鲜橙共需元．
设购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯，
依题意得：，
化简得：，
又，，均为正整数，
．
答：葡萄芝士买了杯．
【解析】设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元，根据“杯西瓜啵啵、杯元气鲜橙共需元；杯西瓜啵啵、杯元气鲜橙共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，利用方程，即可求出结论；
设购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，，均为正整数，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】解：证明：，
，
又，
，
；
如图，过点作，
，，
设，，
、分别平分、，
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
又和是角平分线，
，
，
又，
，
故答案为．
【解析】由平行线的性质得，再由同位角相等得出；
过点作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
由结合前面的结论，求出角度可得．
本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．