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2024年广西初中学业水平考试数学模拟卷（原卷+解析版）
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这是一份2024年广西初中学业水平考试数学模拟卷（原卷+解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，五月份共借出图书本，设四，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2. 多么小的问题乘14亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以14亿都会变得很小．将1400000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数是（ ）
A B.
C. D.
4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各点中不在直线上的是（ ）
A B. C. D.
6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B. 检测一批LED灯的使用寿命
C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市空气质量D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
7. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.84
8. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A B. C. D.
9. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 化简：______．
14. 分解因式:________.
15. 从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是__．
16. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______．
17. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）．
18. 如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的点，且，，连接，于点G，交于点H，则___________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点B移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点O对称的；
（3）线段的长度为___________．
22. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识，某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（满分100分）．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩（设为x）进行整理分析，结果如下：
【收集数据】
八（2）班抽取的测试成绩为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班抽取的测试成绩中，的成绩为：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）八（2）班成绩的众数为___________，八（3）班成绩的中位数为___________；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数；
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
23. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到C，使，连接，过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若半径为6，，求．
24. 某中学计划将该校足球场改造为元旦晚会举办场地．改造方案如下：撤除足球场球门，在原球门处布置舞台，舞台占地为长度为40m，宽度为18m的矩形，师生观众席规划在足球场区域中距离舞台10m的隔离栏外．已知足球场宽度为72m，长度为105m（观众席不一定要占满球场宽度），以隔离栏为一边，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、按列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m（如图所示），且矩形观众席内都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值．
（2）若全校师生共2400人，座位是否足够？请说明理由．
25. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
（2）【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
（3）【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
26. 如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，若，求点P的坐标；
（3）若，直接写出点P的坐标．
2024年广西初中学业水平考试模拟卷（一）
数学（解析版）
（考试时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据中心对称图形的概念，观察可知，只有第1个是中心对称图形，其它三个都不是中心对称图形．
故选A．
考点：1.中心对称图形；2.生活中的旋转现象．
2. 多么小的问题乘14亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以14亿都会变得很小．将1400000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将1400000000用科学记数法表示为，
故选：C．
3. 如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质即可得出答案.
【详解】∵∠ACD是三角形ABC的一个外角
∴∠ACD=∠A+∠B=100°
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和.
4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，可得，即可解出的范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分式的分母不为0是解题的关键．
5. 下列各点中不在直线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．将四个选项中点的横坐标代入一次函数解析式中求出值，再与点的纵坐标进行比较，以此来验证点是否在直线上．
【详解】解：A、当时，，点在直线上；
B、当时，，点在直线上；
C、当时，，点不在直线上；
D、当时，，点在直线上；
故选：C．
6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B. 检测一批LED灯的使用寿命
C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
7. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.84
【答案】B
【解析】
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
8. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为图中的圆形喷水池的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可．
【详解】解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积，故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选B．
【点睛】此题主要考查多边形内角和以及圆的面积计算方法等知识．
9. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的二次函数的性质，掌握“把二次函数的一般式化为顶点式”是解本题的关键.
10. 我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可．
【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，
根据题意列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的．
11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则
在 中，有
，即
解得
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
12. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识．首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，连接交于，当点与重合时，阴影部分的面积的值最小．
【详解】解：如图，是等边三角形，
，，
，
，
，，
∴，
又，
，
，
，
点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，
连接交于，当点与重合时，的面积最大，则阴影部分的面积的值最小，
此时点是等边的中心，
∴阴影部分的面积的最小值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 化简：______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：因为32=9，
所以=3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．
14. 分解因式:________.
【答案】
【解析】
【详解】【分析】用提取公因式法即可得到结果.
【解答】原式=.
故答案为
【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式.
15. 从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是__．
【答案】
【解析】
【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【详解】∵1﹣9的数字卡片中奇数有1，3，5，7，9，共5个数，
则抽到奇数的可能性是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
16. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】观察图象可得当时，，即可求解．
【详解】观察图象得：当时，，即，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键．
17. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可．
【详解】解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为，
故答案为：（答案不唯一）．
18. 如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的点，且，，连接，于点G，交于点H，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质．延长到，使，先证明，求得，利用正方形的性质求得，再证明，求得，再证明，求得，然后利用正切函数的定义求得，据此计算即可求解．
【详解】解：延长到，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵边长为6的正方形中，，，
∴，，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．
原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
，
当时，原式．
21. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点B移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点O对称的；
（3）线段的长度为___________．
【答案】21. 画图见解析，点，．
22. 画图见解析 23.
【解析】
【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
（1）作出A、C的对应点、即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点、、即可；
（3）利用勾股定理直接计算即可．
【小问1详解】
解：平移后的如图所示，点，．
【小问2详解】
解：关于原点O对称的如图所示．
，
【小问3详解】
解：∵，，
．
故答案为：
22. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识，某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（满分100分）．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩（设为x）进行整理分析，结果如下：
【收集数据】
八（2）班抽取的测试成绩为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班抽取的测试成绩中，的成绩为：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）八（2）班成绩的众数为___________，八（3）班成绩的中位数为___________；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数；
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
【答案】22. ，
23. 名学生中成绩为优秀的学生共有人
24. 八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好
【解析】
【分析】（1）根据众数，中位数的概念，计算方法即可求解；
（2）先计算出样本中成绩在分及其以上的百分比，再根据样本百分比估算总体的方法即可求解；
（3）计算出八（2）班的平均分，方差，再与八（3）的平均分，方差进行比较，由此即可求解．
【小问1详解】
解：八（2）班名学生的测试成绩出现次数最多的是，出现了2次，
∴八（2）班成绩的众数为，
∵八（3）班成绩中位数是第位同学的成绩，第位同学的成绩在阶段（成绩从小到大排列）的第二名同学，即，，，，，
∴八（3）班成绩的中位数是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：八（2）班成绩在分及其以上的人数有人，八（3）班成绩在分及其以上的人数有（人），
∴成绩在分及其以上的人数有（人），
∴（人），
∴名学生中成绩为优秀的学生共有人；
【小问3详解】
解：八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下：
八（2）班学生竞赛成绩的平均分为
（分），
八（2）班学生竞赛成绩的方差为
，
∵八（2）班的平均分为分，方差是，八（3）班的平均分为90分，方差是，
∴八（2）班学生竞赛成绩的平均分高于八（3）班的平均分，八（2）班学生竞赛成绩的方差低于八（3）班的方差，
∴八（2）班学生竞赛成绩更好，八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好；
综上所述，八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好．
【点睛】本题主要考查调查与统计中相关概念及计算，掌握众数的概念，中位数的计算，样本百分比估算总体的数量，运用平均分，方差作决策等知识是解题的关键．
23. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到C，使，连接，过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，证明是的中位线，则，由，可得，进而结论得证；
（2）如图2，过作于，则四边形是矩形，，，则，由勾股定理得，，进而可求的长．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图2，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了中位线的性质，平行线的性质，切线的判定，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握中位线的性质，切线的判定，矩形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键．
24. 某中学计划将该校足球场改造为元旦晚会举办场地．改造方案如下：撤除足球场球门，在原球门处布置舞台，舞台占地为长度为40m，宽度为18m的矩形，师生观众席规划在足球场区域中距离舞台10m的隔离栏外．已知足球场宽度为72m，长度为105m（观众席不一定要占满球场宽度），以隔离栏为一边，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、按列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m（如图所示），且矩形观众席内都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值．
（2）若全校师生共2400人，座位是否足够？请说明理由．
【答案】（1）每行的座椅数为个，x的最小值为34；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每行的座椅数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）由移动围栏的总长及座椅的行数，可得出每行的座椅数为个，结合足球场宽度为，即可求出的取值范围，进而可得出的最小值；
（2）座位够坐，利用座位总数观众席内座椅的行数每行的座椅数，结合座椅总数为2400人，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，进而可得出座位够坐．
【小问1详解】
解：移动围栏的总长为，且观众席内有行座椅，
每行的座椅数为个．
，
，
的最小值为34；
【小问2详解】
解：座位够坐，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
若全校师生共2400人，那么座位够坐．
25. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
（2）【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
（3）【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）是直角三角形；
（3）．
【解析】
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此计算即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，证明，推出，再利用三角形的三边关系，即可得出结论．
【小问1详解】
解：延长到，使，连接．
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，，，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
解：延长到，使得，连接，则，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
26. 如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，若，求点P的坐标；
（3）若，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为或；
（3）点P的坐标为或．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．
（1）将，两点代入，即可求解；
（2）先求出，则，设，可得，即可求点坐标；
（3）设交y轴于点，利用正切函数求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得即可；当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求解即可．
【小问1详解】
解：将，两点代入，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：令，则，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得或，
∴点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：设交y轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求得直线的解析式为，联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
班级
八（2）班
1
1
3
4
6
八（3）班
1
2
3
5
4
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
090
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
班级
八（2）班
1
1
3
4
6
八（3）班
1
2
3
5
4
（考试时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2. 多么小的问题乘14亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以14亿都会变得很小．将1400000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数是（ ）
A B.
C. D.
4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各点中不在直线上的是（ ）
A B. C. D.
6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B. 检测一批LED灯的使用寿命
C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市空气质量D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
7. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.84
8. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A B. C. D.
9. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 化简：______．
14. 分解因式:________.
15. 从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是__．
16. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______．
17. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）．
18. 如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的点，且，，连接，于点G，交于点H，则___________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点B移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点O对称的；
（3）线段的长度为___________．
22. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识，某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（满分100分）．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩（设为x）进行整理分析，结果如下：
【收集数据】
八（2）班抽取的测试成绩为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班抽取的测试成绩中，的成绩为：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）八（2）班成绩的众数为___________，八（3）班成绩的中位数为___________；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数；
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
23. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到C，使，连接，过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若半径为6，，求．
24. 某中学计划将该校足球场改造为元旦晚会举办场地．改造方案如下：撤除足球场球门，在原球门处布置舞台，舞台占地为长度为40m，宽度为18m的矩形，师生观众席规划在足球场区域中距离舞台10m的隔离栏外．已知足球场宽度为72m，长度为105m（观众席不一定要占满球场宽度），以隔离栏为一边，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、按列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m（如图所示），且矩形观众席内都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值．
（2）若全校师生共2400人，座位是否足够？请说明理由．
25. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
（2）【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
（3）【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
26. 如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，若，求点P的坐标；
（3）若，直接写出点P的坐标．
2024年广西初中学业水平考试模拟卷（一）
数学（解析版）
（考试时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据中心对称图形的概念，观察可知，只有第1个是中心对称图形，其它三个都不是中心对称图形．
故选A．
考点：1.中心对称图形；2.生活中的旋转现象．
2. 多么小的问题乘14亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以14亿都会变得很小．将1400000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将1400000000用科学记数法表示为，
故选：C．
3. 如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质即可得出答案.
【详解】∵∠ACD是三角形ABC的一个外角
∴∠ACD=∠A+∠B=100°
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和.
4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，可得，即可解出的范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分式的分母不为0是解题的关键．
5. 下列各点中不在直线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．将四个选项中点的横坐标代入一次函数解析式中求出值，再与点的纵坐标进行比较，以此来验证点是否在直线上．
【详解】解：A、当时，，点在直线上；
B、当时，，点在直线上；
C、当时，，点不在直线上；
D、当时，，点在直线上；
故选：C．
6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B. 检测一批LED灯的使用寿命
C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
7. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.84
【答案】B
【解析】
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
8. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为图中的圆形喷水池的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可．
【详解】解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积，故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选B．
【点睛】此题主要考查多边形内角和以及圆的面积计算方法等知识．
9. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的二次函数的性质，掌握“把二次函数的一般式化为顶点式”是解本题的关键.
10. 我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可．
【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，
根据题意列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的．
11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则
在 中，有
，即
解得
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
12. 如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识．首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，连接交于，当点与重合时，阴影部分的面积的值最小．
【详解】解：如图，是等边三角形，
，，
，
，
，，
∴，
又，
，
，
，
点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，
连接交于，当点与重合时，的面积最大，则阴影部分的面积的值最小，
此时点是等边的中心，
∴阴影部分的面积的最小值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 化简：______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：因为32=9，
所以=3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．
14. 分解因式:________.
【答案】
【解析】
【详解】【分析】用提取公因式法即可得到结果.
【解答】原式=.
故答案为
【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式.
15. 从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是__．
【答案】
【解析】
【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【详解】∵1﹣9的数字卡片中奇数有1，3，5，7，9，共5个数，
则抽到奇数的可能性是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
16. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】观察图象可得当时，，即可求解．
【详解】观察图象得：当时，，即，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键．
17. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可．
【详解】解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为，
故答案为：（答案不唯一）．
18. 如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的点，且，，连接，于点G，交于点H，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质．延长到，使，先证明，求得，利用正方形的性质求得，再证明，求得，再证明，求得，然后利用正切函数的定义求得，据此计算即可求解．
【详解】解：延长到，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵边长为6的正方形中，，，
∴，，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．
原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
，
当时，原式．
21. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点B移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点O对称的；
（3）线段的长度为___________．
【答案】21. 画图见解析，点，．
22. 画图见解析 23.
【解析】
【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
（1）作出A、C的对应点、即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点、、即可；
（3）利用勾股定理直接计算即可．
【小问1详解】
解：平移后的如图所示，点，．
【小问2详解】
解：关于原点O对称的如图所示．
，
【小问3详解】
解：∵，，
．
故答案为：
22. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提高学生防范电信网络诈骗安全意识，某学校八年级480名同学参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（满分100分）．现随机抽取八（2）、八（3）两班各15名同学的测试成绩（设为x）进行整理分析，结果如下：
【收集数据】
八（2）班抽取的测试成绩为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
八（3）班抽取的测试成绩中，的成绩为：91，92，94，90，93．
【整理数据】：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）八（2）班成绩的众数为___________，八（3）班成绩的中位数为___________；
（2）若规定测试成绩在92分及其以上为优秀，请估计该校八年级学生中成绩为优秀的人数；
（3）根据以上数据，若八（3）班平均分为90分，方差为50.2，你认为哪个班学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一个理由即可）．
【答案】22. ，
23. 名学生中成绩为优秀的学生共有人
24. 八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好
【解析】
【分析】（1）根据众数，中位数的概念，计算方法即可求解；
（2）先计算出样本中成绩在分及其以上的百分比，再根据样本百分比估算总体的方法即可求解；
（3）计算出八（2）班的平均分，方差，再与八（3）的平均分，方差进行比较，由此即可求解．
【小问1详解】
解：八（2）班名学生的测试成绩出现次数最多的是，出现了2次，
∴八（2）班成绩的众数为，
∵八（3）班成绩中位数是第位同学的成绩，第位同学的成绩在阶段（成绩从小到大排列）的第二名同学，即，，，，，
∴八（3）班成绩的中位数是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：八（2）班成绩在分及其以上的人数有人，八（3）班成绩在分及其以上的人数有（人），
∴成绩在分及其以上的人数有（人），
∴（人），
∴名学生中成绩为优秀的学生共有人；
【小问3详解】
解：八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下：
八（2）班学生竞赛成绩的平均分为
（分），
八（2）班学生竞赛成绩的方差为
，
∵八（2）班的平均分为分，方差是，八（3）班的平均分为90分，方差是，
∴八（2）班学生竞赛成绩的平均分高于八（3）班的平均分，八（2）班学生竞赛成绩的方差低于八（3）班的方差，
∴八（2）班学生竞赛成绩更好，八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好；
综上所述，八（2）班的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好．
【点睛】本题主要考查调查与统计中相关概念及计算，掌握众数的概念，中位数的计算，样本百分比估算总体的数量，运用平均分，方差作决策等知识是解题的关键．
23. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到C，使，连接，过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，证明是的中位线，则，由，可得，进而结论得证；
（2）如图2，过作于，则四边形是矩形，，，则，由勾股定理得，，进而可求的长．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图2，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了中位线的性质，平行线的性质，切线的判定，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握中位线的性质，切线的判定，矩形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键．
24. 某中学计划将该校足球场改造为元旦晚会举办场地．改造方案如下：撤除足球场球门，在原球门处布置舞台，舞台占地为长度为40m，宽度为18m的矩形，师生观众席规划在足球场区域中距离舞台10m的隔离栏外．已知足球场宽度为72m，长度为105m（观众席不一定要占满球场宽度），以隔离栏为一边，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、按列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m（如图所示），且矩形观众席内都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值．
（2）若全校师生共2400人，座位是否足够？请说明理由．
【答案】（1）每行的座椅数为个，x的最小值为34；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每行的座椅数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）由移动围栏的总长及座椅的行数，可得出每行的座椅数为个，结合足球场宽度为，即可求出的取值范围，进而可得出的最小值；
（2）座位够坐，利用座位总数观众席内座椅的行数每行的座椅数，结合座椅总数为2400人，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，进而可得出座位够坐．
【小问1详解】
解：移动围栏的总长为，且观众席内有行座椅，
每行的座椅数为个．
，
，
的最小值为34；
【小问2详解】
解：座位够坐，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
若全校师生共2400人，那么座位够坐．
25. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
（2）【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
（3）【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）是直角三角形；
（3）．
【解析】
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此计算即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，证明，推出，再利用三角形的三边关系，即可得出结论．
【小问1详解】
解：延长到，使，连接．
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，，，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
解：延长到，使得，连接，则，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
26. 如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，若，求点P的坐标；
（3）若，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为或；
（3）点P的坐标为或．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．
（1）将，两点代入，即可求解；
（2）先求出，则，设，可得，即可求点坐标；
（3）设交y轴于点，利用正切函数求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得即可；当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求解即可．
【小问1详解】
解：将，两点代入，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：令，则，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得或，
∴点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：设交y轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求得直线的解析式为，联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
班级
八（2）班
1
1
3
4
6
八（3）班
1
2
3
5
4
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
090
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
班级
八（2）班
1
1
3
4
6
八（3）班
1
2
3
5
4
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