2024浙江省培优联盟高二下学期4月联考试题数学含解析

这是一份2024浙江省培优联盟高二下学期4月联考试题数学含解析，共11页。试卷主要包含了下列求导运算正确的是，韩愈的《师说》中写道，，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，公比且，则（ ）
A．B．C．8D．4
4．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（ ）
A．84B．96C．168D．204
7．，则（ ）
A．180B．C．45D．
8．圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值及与底面所成角的正弦值分别为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．有3个零点B．在原点处的切线方程为
C．的图象关于点对称D．在上的最大值为4
10．设数列是各项均为正数的等比数列，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．是等比数列D．是等比数列
11．抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．B．若直线的倾斜角为，则
C．D．若在轴的上方，则直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．展开式中项的系数是________．
13．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________．
14．若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（15分）
在中，分别是角的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若为的中点且，求的面积．
17．（15分）
在三棱柱中，平面是的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
18．（17分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
19．（17分）
一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．
如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是区间上的连续函数，并且，那么．
（1）求；
（2）设函数．
①若恒成立，求实数的取值范围；
②数列满足，利用定积分几何意义，证明：．
浙江培优联盟2023学年第二学期高二4月
数学试题参考答案
1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D
1．解：集合，则，选B．
2．解：的虚部为，选B．
3．解：由，可得，即，所以，选A．
4．解：因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为，又点在双曲线上，所以，解得，则双曲线方程为，选B．
5．解：，错误；，错误；
，错误；
，正确．选D．
6．解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类：
①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有种排法；
②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有种排法．
故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有种，故选C．
7．解：，因为的展开式通项为，
当，即时，，选C．
8．解：设底面圆心为，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（图略），则，所以．
．
设与底面所成的角为，则．选D．
9．AC 10．ABD 11．BCD
9．解：对于A，，则，正确；
对于B，的图象在原点处的切线方程为，错误；
对于C，由为奇函数，可知的图象关于点对称，正确；
对于D，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值为0，错误．
故选AC．
10．解：设等比数列的首项为，公比为．
对于A，，
所以，则成等比数列，正确；
对于B，因为，所以是等比数列，正确；
对于C，不妨取等比数列为，则，不是等比数列，错误；
对于D，因为，所以是等比数列，正确．
故选ABD．
11．解：对于A，，错误．
对于B，（方法一）直线的方程为，由得．
设，则．
（方法二）过焦点的弦长，直线的斜率为1，则，正确．
对于C，设过点的直线方程为，代入抛物线方程，得，
化简后为．设，则有．
根据抛物线性质可知，，
，正确．
对于D，过分别向准线作垂线，交于点，过作于点（图略），不妨设，则，在中，直线的斜率为，正确．故选BCD．
12．720 13． 14．
12．解：．
13．解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，每次取到黄球的概率，3次中恰有2次抽到黄球的概率．
14．解：，则．
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
所以在区间上有解，所以．
令，则．
令，所以在上单调递增，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是．
15．解：（1）设的公差为的公比为，
则
解得
又由
解得．
（2）由题意得，
①，
则②．
①-②，得
，
．
16．解：（1），
由正弦定理可得．
又因为在中，有，
所以，
化简得．
因为，所以，
所以，于是．
因为，所以．
（2）由为的中点，可得．
又，所以，
从而可得．
又，所以，
可得．
17．（1）证明：由平面平面，得．
因为，所以平面．
又因为，所以平面．
（2）解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
（以为原点，相应给分）
则．
又，
所以，
则．
设平面的法向量为，
则即令，得．
设平面的法向量为，
则即令，得．
设平面与平面的夹角为，
则，所以，
故平面与平面夹角的正弦值为．
18．解：（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为，则．
又，
解得
所以的标准方程为．
（2）设，
联立直线与椭圆的方程可得，
所以，得．
又原点到直线的距离，
所以，
所以．
令，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
即当时，的面积取得最大值．
19．解：（1）．
（2）①恒成立，即．
令，则．
当时，，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以当时，；
时，对，有，所以在上单调递减，所以，即当时，存在，使，故不恒成立．
综上，．
②由，可得，所以，
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，所以．
是由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图一中阴影所示各矩形的面积和，所以，不等式左边得证．
是图二中阴影所示各矩形的面积和，所以，不等式右边得证．