高一下学期期中数学试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章、第八章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高三下·河南·阶段练习）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．若AB=DC，则四边形ABCD为平行四边形
B．若|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形
C．若AD∥BC，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形
D．若|AB|=|CD|，且AD∥BC，则四边形ABCD为梯形
2．（5分）（22-23高一下·辽宁·期末）棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθ．根据复数乘方公式，复数−2csπ5+isinπ52023在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）（2024高三·河南·专题练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
4．（5分）（2023·上海宝山·一模）已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．z2=z2B．若z=1，则z−1−i的最大值为2+1
C．若z=1−2i2，则复平面内z对应的点位于第一象限D．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=−8
5．（5分）（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC,BD均过点P，则下列说法错误的是（ ）

A．PA⋅PC为定值
B．当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值
C．OA⋅OC的取值范围是−4,0
D．AC⋅BD的最大值为12
6．（5分）（22-23高一下·广东深圳·期中）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若csA=b−c2c，则2cc+b的取值范围是（ ）
A．23,1B．12,1
C．1,+∞D．12,+∞
7．（5分）（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4，E，F分别为BC，AD中点，将△ABE沿直线AE翻折成△AB1E,B1与B、F不重合，连结B1D,B1C，H为B1D中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（ ）
A．CH的长是定值
B．在翻折过程中，三棱锥B1−AEB外接球的表面积为4π
C．当∠ADB1=30°时，三棱锥H−CDF的体积为23
D．点H到面AB1E的最大距离为2
8．（5分）（22-23高一下·天津和平·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的序号为（ ）

①直线BD1⊥平面A1C1D
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为π2
③三棱锥P−A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是π4,π2
A．①②B．①③C．①③④D．①④
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知复数z1，z2满足z1=csα+isinα，z2=csβ+isinβ，且z1−z2=2，则（ ）
A．z1⋅z2=1B．z1+z2=3
C．若α=0，则csβ=0D．α−β=kπ+π2k∈Z
10．（5分）（2024·湖北·二模）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有（ ）

A．动点F轨迹的长度为2
B．三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252π
11．（5分）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,SC，且SA⋅MA→+SB⋅MB→+SC⋅MC→=0→.以下命题正确的有（ ）
A．若SA:SB:SC=1:1:1，则M为△AMC的重心
B．若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C．若∠BAC=45°,∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA:SB:SC=3:2:1
D．若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=−66
12．（5分）（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．平面ABF//平面CDE
B．平面ADE⊥平面EBC
C．直线AE与平面BDE所成角的正弦值是32
D．平面ABE与平面ADE夹角的余弦值是13
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高一下·河南郑州·期中）已知复数z1和z2满足z1+4=z1−4，且z2+5−3i=1，则z1−z2的最小值是 ．
14．（5分）（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知△ABC是边长为3的等边三角形，D为CB上一点，O为△ABC的中心，E为△ABC内一点（包括边界），且AD=23AB+mAC，则AD⋅OE的最大值为 .
15．（5分）（23-24高三上·广东揭阳·期末）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1⊥BD1，且二面角B1−BD1−C1的正切值为2．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱ABCD−A1B1C1D1内运动，D1Q=22，则PB1+PQ的最小值为 ．

16．（5分）（22-23高一下·山东青岛·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3csinB+ccsB=a+b，且a+b=4，则△ABC周长的取值范围为 ，△ABC面积的最大值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知复数z=x+yi，x∈R,y∈R，其中i为虚数单位，且满足z=2，且z−1为纯虚数.
(1)若复数z=x+yi，x∈R,y∈R在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求3+2iz；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程x2+mx+n=0m,n∈R的一个根，求实数m，n的值.
18．（12分）（23-24高一上·辽宁·期末）如图，在△ABC中，点P满足PC=2BP，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E,F．
(1)若AF=23AC，求AEEB的值；
(2)若EB=λAE(λ>0)，FC=μAF(μ>0)，求1λ+1μ+1的最小值．
19．（12分）（23-24高二上·上海黄浦·期中）如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为O1、O2，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．
(1)若圆柱的底面圆半径为32，求几何体Ω的体积；
(2)若PO1:O1O2=1:3，求几何体Ω的表面积．
20．（12分）（22-23高一下·上海杨浦·期末）设fz是一个关于复数z的表达式，若fx+yi=x1+y1i（其中x，y，x1，y1∈R ， i为虚数单位），就称f将点Px,y“f对应”到点Qx1,y1．例如fz=1z将点0,1“f对应”到点0,−1．
(1)若fz=z+1z∈C点P11,1“f对应”到点Q1，点P2“f对应”到点Q21,1，求点Q1、P2的坐标；
(2)设常数k，t∈R，若直线l：y=kx+t，fz=z2z∈C，是否存在一个有序实数对k,t，使得直线l上的任意一点Px,y“对应”到点Qx1,y1后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对k,t；若不存在，请说明理由；
(3)设常数a，b∈R，集合D=zz∈C且Rez>0和A=ωω∈C且ω<1，若fz=az+bz+1满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有fz∈A；②对于集合A中的任意一个元素ω，都存在集合D中的元素z使得ω=fz．请写出满足条件的一个有序实数对a,b，并论证此时的fz满足条件．
21．（12分）（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知△ABC中，点D是线段AC上一点，AC=3AD，且①AB=4，②BC=13，③BD=13，④A=π3.
(1)求AC的长；
(2)E为边AB上的一点，若△ADE为锐角三角形，求△ADE的周长取值范围.
上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.
你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.
22．（12分）（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形.
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求点D到平面PBC的距离；
(3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段DE的长.