庄浪县紫荆中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份庄浪县紫荆中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2． ( )
A.B.C.D.
3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2B.C.4D.
4．若，则( )
A.B.C.D.
5．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知数列，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则的前2024项的和为( )
A.0B.1C.-5D.-1
7．已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是( )
A.B.C.D.
8．正四面体的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的图像关于点中心对称，则( )
A.在区间单调递减
B.在区间有两个极值点
C.直线是曲线的对称轴
D.直线是曲线的切线
10．已知正方体，则( )
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面ABCD所成的角为
11．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12．已知O为坐标原点，点，，，，则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．已知函数是偶函数，则______.
14．已知为等比数列，，，则__________.
15．函数的最小值为______.
16．在中，，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则__________.
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，.
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
18．已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和.
19．在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点M，N.当时，求m的取值范围.
21．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
（1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
22．已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根分别为，，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：法一：因为，故，故选：B.
法二：代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
2．答案：D
解析：，
故选：D.
3．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选B.
4．答案：C
解析：将式子进行齐次化处理得：
.
故选：C.
5．答案：A
解析：方法一：由，得，则，故充分性成立；由，得，而或-1，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
方法二：由，得，则，故充分性成立；又，，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
6．答案：D
解析：因为，所以，，
，，，
则数列是以6为周期的周期数列，又，
所以，
故选：D.
7．答案：C
解析：因为，所以，即，
令函数，，则，
时，单调递减，时，单调递增.
函数在处取得极小值，如图所示：
依题意，，不妨设，由图象可知，，故，A错误；
假设成立，可取，，则，，易见不满足题意，即B不正确；
如图取时，设，则由知，可有，故D错误；
由函数（）中，时，，时，，可知，时极值点左偏，即，即一定成立，C正确.
故选：C.
8．答案：A
解析：因为四面体是棱长为1的正四面体，
所以其体积为.
设正四面体内切球的半径为r，
则，得.
如图，取的中点为E，则
.
显然，当的长度最小时，取得最小值.
设正四面体内切球的球心为O，可求得.
因为球心O到点E的距离，
所以球O上的点P到点E的最小距离为，
即当取得最小值时，点P到的距离为.
故选：A.
9．答案：AD
解析：由题意得：，所以，，
即，，
又，所以时，，故.
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或，，
从而得：或，，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：如图，连接，，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角.因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，所以.因为，，所以平面.又平面，所以，故B正确；连接，设，连接BO，因为平面，平面，所以.因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角.设正方体棱长为1，则，，，所以直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角，易得，故D正确.故选ABD.
11．答案：ABD
解析：由题意知，圆C的圆心为，半径为，
对于A，若点A在圆C上，则，
所以圆心C到直线l的距离，
所以直线l与圆C相切，因此A正确；
对于B，若点A在圆C内，则，
所以圆心C到直线l的距离，
所以直线l与圆C相离，因此B正确；
对于C，若点A在圆C外，则，
所以圆心C到直线l的距离，
所以直线l与圆C相交，因此C不正确；
对于D，因为点A在直线l上，所以，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，因此D正确.
故选ABD.
12．答案：AC
解析：方法一：对于选项A，因为，，所以，，则，故A正确；对于选项B，因为，，
所以，，当时，，故B错误；对于选项C，，，所以，，
所以，故C正确；对于选项D，，，当且时，，故D错误.故选AC.
方法二：如图，由图可知，故A正确；当且仅当时，成立，故B错误；因为，，且，故C正确；，，因为与不一定相等，故D错误.故选AC.
13．答案：1
解析：因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1.
14．答案：-2
解析：解法一：设等比数列的公比为，则由题意，
得
解得所以.
解法二：根据等比数列的性质得，所以.因为，所以，所以，所以.
15．答案：1
解析：由题设知：定义域为，
当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
综上有：时，单调递减，时，单调递增；
故答案为：1.
16．答案：2
解析：由余弦定理可得，，因为，解得:，
由正弦定理可得，，解得:，，
因为，所以，，
又，所以，即.故答案为:2.
17．答案：（1）
（2）存在，且
解析：（1）因为，则，则，故，，
，所以，C为锐角，则，
因此，.
（2）显然，若为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
18．答案：(1)，，
(2)300
解析：(1)由题设可得，
，
又，，
故，即，，
所以为等差数列，
故.
(2)设的前20项和为，
则，
因为，，…，，
所以
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取的中点为O，连接，.
因为，，则，
而，，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过O作，交于T，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，，，故，.
设平面的法向量，
则即，取，则，，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆的标准方程为，
则解之得：，，.
故椭圆的标准方程为.
（2）设弦的中点，设，，
由得，
因为直线与椭圆相交，所以，，
，①
，所以.
，
又，，
则，即，②
把②代入①得，解得，
由②得，解得.
综上可知m的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）方案一
（3）分布列见解析，
解析：（1）设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为.
（2）设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.
（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，
再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，，
，，，.
X的分布列为：
.
22．答案：（1）在上单调递减，上单调递增
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以，，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则，，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以不妨设.
要证，即证，即证.
因为，所以即证.
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，从而必有.
即.
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
等级
珍品
特级
优级
一级
价格/（元∕kg）
36
30
24
18
X
0
1
2
3
P