2022-2023学年安徽省滁州市九校联考高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市九校联考高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−3,2,4,5,7,10}，B={x|x2−5x−14≤0}，则A∩B中元素的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.设a(1+i)+b=−i，其中a，b是实数，则( )
A. a=−1，b=−1B. a=−1，b=1
C. a=1，b=1D. a=1，b=−1
3.下列说法正确的是( )
A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C. 底面是矩形的四棱柱是长方体
D. 三棱台有8个顶点
4.在△ABC中，A=60°,BC= 3，则△ABC外接圆的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
5.已知△ABC是正三角形，且2AO=AB+AC，则向量AO在向量AB上的投影向量为( )
A. 14ABB. 34ABC. 32ABD. 34AB
6.现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球(盒子的盖子能封上)，那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为( )
A. [9,10]B. [9,10)C. [9,212)D. [9,212]
7.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若|OA|=2，且OA⋅AP=−2，则|OA+OP|的最小值是( )
A. 3B. 4C. 9D. 16
8.已知20a=22，22b=23，ac=b，则a，b，c的大小关系为( )
A. c>a>bB. b>a>cC. a>c>bD. a>b>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数ω=z−6z，其中z为虚数，则下列结论正确的是( )
A. 当z=1−i时，ω的虚部为−2
B. 当z=1−i时，ω−=−2+4i
C. 当z=1+i时，|ω|=2 5
D. 当z=1+i时，ω在复平面内对应的点在第二象限
10.已知向量a=(1,3)，b=(2,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a//b，则t=6B. 若|a+b|=|a−b|，则t=23
C. |a+b|的最小值为3D. 当t≤−23时，a与b的夹角为钝角
11.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面如图所示，则截面的可能图形是( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π)，f(−π6)=0，f(x)≥f(π2)恒成立，且函数f(x)在区间(−π9,π18)上单调，那么下列说法正确的是( )
A. 存在φ，使得f(x)是偶函数B. f(0)=f(π)
C. ω是34的整数倍D. ω的最大值是6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=lg12(x2−6x+11)的值域为______．
14.如图所示，△A’B’C’表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A’B’在x’轴上，B’C’与x’轴垂直，且B’C’=3，则△ABC的边AB上的高为__________．
15.甲为了知晓一座高楼的高度，站在一栋12m高的房屋顶，测得高楼的楼顶仰角为75°，一楼楼底的俯角为45°，那么这座高楼的高度为______m.
16.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=(m2+m−2)+(2m2+5m+2)i，其中m∈R，i为虚数单位．
(1)当m为何值时，z为纯虚数；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于直线y=x的上方，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足a2+b2−c2=ab．
(1)求角C的大小；
(2)设向量a=(3sinA,32)，向量b=(1,−2csC)，且a⊥b，判断△ABC的形状．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=−2−x+a．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若a≤1，求不等式f(x)+f(3x+4)>0的解集．
20.(本小题12分)
如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，且AB=13BC，AM=14AD，设AB=a，AE=b．
(1)用向量a，b表示CD；
(2)若线段CM上存在一动点P，且AP=ma+nb(m,n∈R)，求n2+mn的最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2ωx−π6)−12(ω>0)的最小正周期是π2．
(1)求f(x)的解析式，并求f(x)的单调递增区间；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数g(x)的图象，若π6≤x≤2π3时，|g(x)−m|<2恒成立，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON=π3，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上(不含端点)，∠MOB=θ，另一顶点A在半径OM上，且AB/​/ON，△ABO的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式并求f(θ)的最大值；
(2)如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且AB/​/ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为集合A={−3,2,4,5,7,10}，集合B={x|x2−5x−14≤0}={x|−2≤x≤7}，
所以A∩B={2,4,5,7}，其中元素的个数为4．
故选：C．
化简集合B，根据交集的定义求出A∩B，即可得出集合中元素的个数．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a(1+i)+b=−i，所以a+b+ai=−i，
则a=−1a+b=0，即a=−1b=1，
故选：B．
利用复数相等即可求出结果．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，如图
该几何体是由两个三棱锥拼接而成的组合体，各个面都为三角形，但不是三棱锥，A错误；
对于B，项根据圆锥、圆台的结构特征，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确；
对于C，底面是矩形的四棱柱可能为斜四棱柱，C错误；
对于D，三棱台有6个顶点，D错误．
故选：B．
根据题意，由三棱锥、圆台、棱柱和棱台的几何结构依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱锥和圆柱的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由正弦定理得BCsinA=2R，
∵A=60°,BC= 3，
∴2R= 3sin60°=2，解得R=1．
故选：A．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵2AO=AB+AC，∴AO=12AB+12AC，
∴O是BC的中点，
∵△ABC是正三角形，∴AO平分∠BAC，
∴|AO|= 32|AB|，∠BAO=30°，
∴向量AO在向量AB上的投影向量为AO⋅AB|AB|⋅AB|AB|=|AO||AB|cs30°|AB|2⋅AB= 32|AB|2× 32|AB|2⋅AB=34AB．
故选：B．
由题意可知O是BC的中点，所以|AO|= 32|AB|，∠BAO=30°，再利用投影向量的公式求解即可．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知：圆柱盒子内高h的范围为36≤h<42，
则圆柱盒子的体积V1=π×32×h=9πh，
因为一个小球的体积V2=43π×33=36π，
所以V1V2=9πh36π∈[9,212)．
故选：C．
根据题意，先求出圆柱高的取值范围，然后利用柱体的体积公式和球的体积公式即可求解．
本题考查了柱体的体积公式和球的体积公式，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为AP=OP−OA，所以OA⋅AP=OA⋅(OP−OA)=OA⋅OP−OA2=−2，
所以OA⋅OP=2，即|OA|⋅|OP|cs∠AOP=2，
则|OP|=1cs∠AOP，
因为点P是圆O内部一点，所以|OP|=1cs∠AOP<2，
所以12则(OA+OP)2=OA2+2OA⋅OP+OP2=8+1cs2∠AOP≥9，当且仅当cs∠AOP=1时等号成立，
故|OA+OP|的最小值是3．
故选：A．
利用向量的线性运算，结合数量积OA⋅AP=−2，可求得|OP|=1cs∠AOP，确定其范围，再根据|OA+OP|平方后的式子，即可求得答案．
本题主要考查平面向量数量积的性质及运算，考查模的最值的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：分别对20a=22，22b=23，ac=b两边取对数，得a=lg2022，b=lg2223，c=lgab，a−b=lg2022−lg2223=lg22lg20−lg23lg22=(lg22)2−lg20⋅lg23lg20⋅lg22，
由基本不等式得lg20⋅lg23<(lg20+lg232)2=(lg4602)2<(lg4842)2=(lg2222)2=(lg22)2，
所以(lg22)2−lg20⋅lg23>0，
即a−b>0，
所以a>b>1，
又c=lgabb>c．
故选：D．
对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．
本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：复数ω=z−6z，当z=1−i时，ω=1−i−61−i=1−i−6(1+i)2=−2−4i，复数的虚部为−4，
所以A不正确；
ω−=−2+4i，所以B正确；
复数ω=z−6z，当z=1+i时，ω=1+i−61+i=1+i−6(1−i)2=−2+4i，
所以|ω|= 4+16=2 5，
所以C正确；
ω在复平面内对应的点在第二象限，
所以D正确．
故选：BCD．
通过复数的除法运算法则，结合共轭复数以及复数的模，判断选项的正误即可．
本题考查复数的运算，几何性质，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，向量a=(1,3)，b=(2,t)，且a//b，所以t−3×2=0，解得t=6，选项A正确；
对于B，若|a+b|=|a−b|，则a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，所以a⋅b=0，即2+3t=0，解得t=−23，选项B错误；
对于C，因为(a+b)2=(1+2)2+(3+t)2，所以t=−3时，|a+b|取得最小值为3，选项C正确；
对于D，由a⋅b=2+3t<0，解得t<−23，所以t<−23时，a与b的夹角为钝角，选项D错误．
故选：AC．
根据平面向量的坐标运算和共线定理，以及数量积运算和模长、夹角公式，对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算，是基础题．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了球内接多面体、棱柱的结构特征，空间几何体的截面问题，是基础题．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．
【解答】
解：过球心作截面，
当截面平行于正方体的一个面时得C；
当截面为正方体的对角面时得B；
当截面过正方体上下底面中心且不过体对角线、不平行于正方体的侧面时能得A;
但无论如何都不能截出D，
故选：ABC．
12.【答案】BC
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π)，f(x)≥f(π2)恒成立，
∴f(π2)=sin(ωπ2+φ)=−1，∴ωπ2+φ=2kπ−π2，k∈Z，即ω=4k−1−2φπ，k∈Z．
∵函数f(x)在区间(−π9,π18)上单调，∴12×2πω≥π18+π9，∴ω≤6，最小正周期T≥π3．
综上，ω=3−2φπ ①．
再根据f(−π6)=0，可得ω⋅(−π6)+φ=nπ，n∈Z，即ω=6φπ−6n，n∈Z ②．
由①②求得φ=6n+38π，n∈Z，∴φ=−3π8或38π.
当φ=−3π8，ω=154，f(x)=sin(154x−3π8)，此时，只有BC正确．
当φ=3π8，ω=94，f(x)=sin(94x+3π8)，此时，只有BC正确．
故选：BC．
由题意，根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】(−∞,−1]
【解析】解：∵x2−6x+11=(x−3)2+2≥2，
∴lg12(x2−6x+11)≤lg122=−1，
故答案为(−∞,−1]．
先求y=x2−6x+11的取值范围，再根据对数函数单调性求值域．
本题考查求对数函数的值域，属于基础题．
14.【答案】6 2
【解析】【分析】
本题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
过C′作C′D/​/y′，结合斜二测的性质进行求解即可．
【解答】
解：如图，过C′作C′D/​/y′，
则∠C′DB′=45°，
∵B′C′与x′轴垂直，且B′C′=3，
∴C′D=3 2，
根据斜二测的性质，得△ABC的边AB上的高等于2C′D=6 2，
故答案为：6 2．
15.【答案】36+12 3
【解析】解：设高楼高度为xm，甲站的房屋与高楼水平距离为ym，如下图所示，甲在A点．
由题意知：CH=x，BC=y，AB=12，∠HAD=75°，∠DAC=45°，
因为tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45∘tan30∘=2+ 3，
在Rt△DAC中，12y=tan45°，…①
在Rt△DAH中，x−12y=tan75°，…②
联立①②，解得x=36+12 3．
故答案为：36+12 3．
利用两角和的正切公式及直角三角形中正切值即可求解．
本题考查解三角形中的求高度类型，要注意正切公式的灵活应用，属中档偏易题．
16.【答案】( 6− 2, 6+ 2)
【解析】【分析】
本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
作出图形，得到AB= 6+ 24x+m− 22x= 6+ 2− 22x，再由0【解答】
解：如图所示，延长BA，CD交于点E，
则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=12x，
由正弦定理得AEsin∠ADE=ADsin∠E，
则AE= 22x，同理可得DE= 6+ 24x，
设CD=m，
∵BC=2，
∴( 6+ 24x+m)sin15°=1，
∴ 6+ 24x+m= 6+ 2，
∴0而AB= 6+ 24x+m− 22x= 6+ 2− 22x，
∴AB的取值范围是( 6− 2, 6+ 2).
故答案为：( 6− 2, 6+ 2).
17.【答案】解：(1)由m2+m−2=02m2+5m+2≠0，解得m=1．
∴当m=1时，z为纯虚数；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于直线y=x的上方，
则2m2+5m+2>m2+m−2，即m2+4m+4>0，即m≠−2．
∴m的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,+∞)．
【解析】(1)由实部为0且虚部不为0列式求解m值；
(2)由虚部大于实部列不等式求解．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式的解法，是基础题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，由余弦定理，有csC=a2+b2−c22ab，
由已知，a2+b2−c2=ab，代入可得csC=12，
又C∈(0,π)，∴C=π3．
(2)由a⊥b可得3sinA−3csC=0，即sinA=csC=12，
∵C=π3且A+B+C=π，∴A∈(0,2π3)，
∴A=π6，从而B=π2．
故△ABC为直角三角形．
【解析】(1)由余弦定理可得csC的值，从而得到C；
(2)由数量积的坐标表示，可得sinA的值，结合角度范围可得角A，从而判断形状．
本题考查余弦定理、数量积的坐标表示及解三角形等知识，属简单题．
19.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=−2−x+a，
当x>0时，−x<0，
则f(−x)=−2x+a=−f(x)，
所以f(x)=2x−a，
又f(0)=0，
故f(x)=−2−x+a,x<00,x=02x−a,x>0；
(2)由(1)得f(x)=−2−x+a,x<00,x=02x−a,x>0，
若a≤1，则20−a≥0≥−2−0+a，
故f(x)在R上单调递增，
因为f(x)为奇函数，
由不等式f(x)+f(3x+4)>0可得f(x)>−f(3x+4)=f(−3x−4)，
所以x>−3x−4，
解得x>−1．
故x的范围为{x|x>−1}．
【解析】(1)由已知结合奇函数的定义先求出x>0时的函数解析式，结合奇函数性质求出f(0)=0，进而可求；
(2)先判断a≤1时函数的单调性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式的解集．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)CD=CA+AD=−4AB+AE+ED=−4AB+AE+AB=−3AB+AE=−3a+b．
(2)∵M、P、C三点共线，∴可设AP=λAM+(1−λ)AC，λ∈R，
∴AP=λAM+(1−λ)AC=λ4AD+4(1−λ)AB=λ4(AE+ED)+4(1−λ)AB=λ4AE+λ4AB+4(1−λ)AB=λ4AE+(4−154λ)AB=(4−154λ)a+λ4b，
∵AP=ma+nb，由平面向量基本定理得：m=4−154λ，n=λ4，∴m=4−15n，
∴n2+mn=n2+(4−15n)n=n2+4n−15n2=−14n2+4n=−14(n−17)2+27，
当n=17时，n2+mn有最大值，为27．
【解析】(1)由向量的线性运算直接求；
(2)由M、P、C三点共线可设AP=λAM+(1−λ)AC，λ∈R，再由向量的线性运算求得AP=(4−154λ)a+λ4b，由平面向量基本定理可得m=4−154λ，n=λ4，从而得到m，n的等量关系，将m用n表示出来，代入要求式转化为关于n的二次函数的最值问题．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，二次函数的最值问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=sin(2ωx−π6)−12(ω>0)的最小正周期是π2，
所以2π2ω=πω=π2，解得ω=2，
所以f(x)=sin(4x−π6)−12，
由2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ−π2，k∈Z，解得kπ2−π12≤x≤kπ2+π6，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ2−π12,kπ2+π6]，k∈Z；
(2)依题意得g(x)=sin(2x+π6)+1，
∵|g(x)−m|<2，
∴g(x)−2当x∈[π6,2π3]时，g(x)−2只需[g(x)−2]max当x∈[π6,2π3]时，2x+π6∈[π2,3π2]，
所以g(x)为单调减函数，
所以g(x)max=g(π6)=2，g(x)min=g(2π3)=0，
所以[g(x)−2]max=0，[g(x)+2]min=2，
所以0即m的取值范围为(0,2)．
【解析】(1)由函数f(x)的最小正周期是π2求出ω，即可得到f(x)的解析式，由正弦函数的单调性得到增区间满足2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ−π2，k∈Z，解出x即可得到f(x)的单调递增区间；
(2)先通过三角函数图像的变换求出函数g(x)的解析式，由|g(x)−m|<2化简得[g(x)−2]max本题考查了三角函数的性质、转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵AB//ON，∠MON=π3，∴∠OAB=2π3，
又OB=10，设∠MOB=θ，θ∈(0,π3)，
在△AOB中，由正弦定理可知，OBsin∠OAB=ABsinθ=OAsin(π3−θ)=10 32=20 33，
∴AB=20 3sinθ，OA=20 3sin(π3−θ)，
∴△AOB的周长f(θ)=20 3[sinθ+sin(π3−θ)]+10，θ∈(0,π3)，
化简得f(θ)=20 3sin(θ+π3)+10．
∴θ=π6时，△AOB的周长有最大值为20 33+10米．
答：△ABO周长的最大值为20 33+10米；
(2)∵图2中△ABC与图1中△ABO面积相等，
而在△ABO中，∵OB=r=10，AB/​/ON，∠MON=π3，
∴∠OAB=2π3．
由余弦定理知，OB2=OA2+AB2−2OA⋅AB⋅cs∠OAB，
∴100=OA2+AB2+OA⋅AB≥3OA⋅AB，
∴OA⋅AB≤1003，当且仅当OA=AB=10 3=10 33时取“=”，
∴S△ABC=12OA⋅AB⋅sin120°≤12×1003× 32=25 33平方米．
答：花圃△ABC面积的最大值为25 33平方米，此时OA=OB=10 33米．
【解析】(1)由已知可得∠OAB=2π3，又OB=10，设∠MOB=θ，θ∈(0,π3)，利用正弦定理求得AB=20 3sinθ，OA=20 3sin(π3−θ)，作和后利用三角函数求最值；
(2)由已知结合余弦定理求解OA⋅AB的最大值，代入三角形面积公式求解．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．