2022-2023学年安徽省芜湖市中华艺术学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市中华艺术学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列{an}的通项公式是an=n2+2n，则下列各数是{an}中的项的是( )
A. 10B. 18C. 26D. 63
2.下列求导运算正确的是( )
A. (lnx)′=1xB. (e−x)′=e−xC. (lg2x)′=1xln2D. (sinπ3)′=csπ3
3.已知等差数列{an}，若a3+a4+a5=12，a4+a5+a6=18，则a6+a7+a8=( )
A. 30B. 36C. 24D. 48
4.在等比数列{an}中，a1=1，a5=3，则a3=( )
A. ± 3B. 3C. − 3D. 3
5.已知定义在[0,3]上的函数f(x)的图像如图，则不等式f′(x)<0的解集为( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (0,1)∪(2,3)
6.已知函数y=f(x)的图象在点M(3,f(3))处的切线方程是y=13x+23，则f(3)+f′(3)的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
7.《莱茵德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间一份面包的个数为( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有( )
A. an=1+(−1)n+12B. an=sinnπ2
C. an=cs2(n−1)π2D. an=1,n是奇数0,n是偶数
9.若{an}为等差数列，a2=11，a5=5，则下列说法正确的是( )
A. an=15−2nB. −20是数列{an}中的项
C. 数列{an}单调递减D. 数列{an}前7项和最大
10.下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是( )
A. 曲线y=2x−sinxB. 曲线y=x−2sinx
C. 曲线y=(x−2)exD. 曲线y=ex−1x+1
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S5=30，则公差d= ．
12.函数f(x)=x⋅lnx的单调递减区间为______．
13.设函数f(x)=ax3+b，若f′(−1)=3，则a= ______．
14.已知函数f(x)=2f′(1)x+3ex−2，f(x)是f′(x)的导函数，则f′(1)=______．
四、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知数列{an}为等差数列．
(1)a4=3，a7=9，求a8；
(2)若a3+a10=12，求S12．
16.(本小题10分)
等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=lg2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
已知f(x)=13x3+x2−3x+1
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程．
(Ⅱ)求y=f(x)的单调递增区间．
18.(本小题12分)
已知：函数f(x)=x3−ax2−3x．
(1)若f′(3)=0，求f(x)的单调性；
(2)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对于A，an=n2+2n=10，解得n=−1− 11<0，n=−1+ 11不是正整数，故A错误；
对于B，an=n2+2n=18，解得n=−1− 19，n=−1+ 19，均不是正整数，故B错误；
对于C，an=n2+2n=26，解得n=−1−3 3<0，n=−1+3 3不是正整数，故C错误，
对于D，an=n2+2n=63，解得n=−9或n=7，
故数列{an}的第7项为63．
故选：D．
依次将选项中的n代入an，解出n的值，即可求解．
本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对A，(lnx)′=1x，正确；
对B，(e−x)′=−e−x，错误；
对C，(lg2x)′=1xln2，错误；
对D，(sinπ3)′=0，错误．
故选：A．
根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知等差数列{an}，a3+a4+a5=12①，a4+a5+a6=18②，
设数列{an}的公差为d，
②−①得3d=6，
则a6+a7+a8=a3+a4+a5+9d=12+18=30．
故选：A．
根据已知结合等差数列的通项公式先求出公差，再根据片段和的关系计算结果即可．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
设{an}的公比为q，则a5=a1q4=q4=3，求出q2，由此能求出a3．
【解答】
解：设{an}的公比为q，则a5=a1q4=q4=3，
所以q2= 3，所以a3=a1q2= 3．
故答案选：B．
5.【答案】B
【解析】解：结合函数图象可知，当1故选：B．
先找出函数单调递减的范围，即可求求解．
本题主要考查了导数与单调性关系，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由已知点M(3,f(3))在切线上，所以f(3)=53，
切点处的导数为切线斜率，所以f′(3)=13，
即f(3)+f′(3)=2，
故选：B．
点M(3,f(3))在切线上，容易求出f(3)，f′(3)就是切线的斜率，可得结论．
本题考查导数的几何意义，本题属于基础题，有一定的代表性．
7.【答案】B
【解析】解：设5个人分得的面包个数分别为a1、a2、a3、a4、a5，
则等比数列a1、a2、a3、a4、a5的公比为q，且q>1，则0由题意可得a1+a2=34a3，即a1(1+q)=34a1q2，整理可得3q2−4q−4=0，
因为q>1，解得q=2，
因为a1+a2+a3+a4+a5=a1(1−25)1−2=31a1=93，解得a1=3，
所以中间一份面包的个数为a3=3×22=12．
故选：B．
设5个人分得的面包个数分别为a1、a2、a3、a4、a5，则等比数列a1、a2、a3、a4、a5的公比为q，且q>1，根据题意可得出关于a1、q的方程组，解出这两个量的值，即可求得a3的值．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】ACD
【解析】解：对A：当n为奇数时，an=1+12=1，当n为偶数时，an=1−12=0，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
对B：当n为奇数时，an=sinnπ2=1或−1，当n为偶数时，an=1−12=0，不符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
对C：当n为奇数时，an=1，当n为偶数时，an=0，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
对D：当n为奇数时，an=1，当n为偶数时，an=0，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式．
故选：ACD．
根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：在等差数列{an}中，由a2=11，a5=5，
得d=a5−a25−2=5−113=−2，则a1=a2−d=11−(−2)=13，
∴an=13−2(n−1)=15−2n，则数列{an}单调递减，故AC正确；
由15−2n=−20，解得n=352，故B错误；
由an≥0，解得n≤352，∴a17>0，a18<0，则数列{an}前17项和最大，故D错误．
故选：AC．
由已知求得首项与公差，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，由曲线y=2x−sinx，得y′=2−csx，y′|x=0=2−1=1>0，
则曲线在x=0处的切线的倾斜角为锐角，故A错误；
对于B，由曲线y=x−2sinx，得y′=1−2csx，y′|x=0=1−2=−1<0，
则曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角，故B正确；
对于C，由曲线y=(x−2)ex，得y′=ex+(x−2)ex=(x−1)ex，y′|x=0=−1<0，
则曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角，故C正确；
对于D，由曲线y=ex−1x+1，得y′=ex(x+1)−ex+1(x+1)2=xex+1(x+1)2，y′|x=0=1>0，
则曲线在x=0处的切线的倾斜角为锐角，故D错误．
故选：BC．
求出四个选项中函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，即切线的斜率，再由导函数值的符号判断．
本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题．
11.【答案】2
【解析】解：因为等差数列{an}的前项和为Sn，a1=2，
则S5=5×2+10d=30，
则公差d=2．
故答案为：2．
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
12.【答案】(0,1e]
【解析】解：函数的定义域为x>0
∵y′=lnx+1
令lnx+1≤0得0∴函数y=xlnx的单调递减区间是(0,1e]
故答案为(0,1e]，
求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间．
本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．
13.【答案】1
【解析】解：由题意知f′(x)=3ax2，由f′(−1)=3a=3，解得a=1．
故答案为：1．
求导，由f′(−1)=3列出方程，求出答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
14.【答案】−3e
【解析】解：f(x)=2f′(1)x+3ex−2，
则f′(x)=2f′(1)+3ex，
则f′(1)=2f′(1)+3e1，
解得：f′(1)=−3e．
故答案为：−3e．
根据导数的公式求导，进而求得f′(1)即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
15.【答案】解：(1)设公差为d，
由a4=a1+3d=3a7=a1+6d=9，解得a1=−3d=2，
所以a8=a1+7d=11．
(2)因为a3+a10=a1+a12=12，
所以S12=12(a1+a12)2=6(a1+a12)=72．
【解析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；
(2)根据等差数列的性质和前n项和公式求解．
本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2(a3+2)=a2+a4，
∴2(4a1+2)=2a1+8a1，
∴a1=2，又q=2，
∴an=2n；
(2)∵bn=lg2an+an=n+2n，
∴Tn=(1+2+⋅⋅⋅+n)+(2+22+⋅⋅⋅+2n)
=n(n+1)2+2n+1−2．
【解析】(1)根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
(2)根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=13x3+x2−3x+1，
∴f′(x)=x2+2x−3，
∴f′(2)=5，
又f(2)=53，
∴所求切线方程为：y−53=5(x−2)，
即：15x−3y−25=0，
(Ⅱ)令f′(x)>0，
则x2+2x−3>0，
解得：x<−3或x>1，
∴函数y=f(x)的增区间为：(−∞,−3)，(1,+∞)．
【解析】本题考察了函数的单调性，导数的应用，求切线方程问题，本题是一道基础题．
(Ⅰ)先求出f′(x)=x2+2x−3，从而f′(2)=5，又f(2)=53，进而求出切线方程，
(Ⅱ)令f′(x)>0，则x2+2x−3>0，解不等式即可求出单调递增区间．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=x3−ax2−3x，
∴f′(x)=3x2−2ax−3，
∵f′(3)=0，
∴27−6a−3=0，
∴a=4．
将a=4代入得，f′(x)=3x2−8x−3，
令f′(x)=0，得x=−13或x=3．
∴f(x)在x∈(−13,3)上单调递减，在x∈(−∞,−13),(3,+∞)上单调递增．
(2)∵f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数，
∴f′(x)=3x2−2ax−3≥0在[1,+∞)上恒成立，
∴a≤32(x−1x)，
当x≥1时，32(x−1x)是增函数，其最小值为32(1−1)=0，
∴a≤0，则实数a的取值范围是(−∞,0]．
【解析】(1)求出导函数，利用f′(3)=0，求出a的值，解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可求出f(x)的单调性；
(2)利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数a的取值范围．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．x
(−∞,−13)
−13
(−13,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
↓
↑