2023北京人大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）

这是一份2023北京人大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年4月25日
说明：本试卷共六道大题，共6页，满分150分．考试时间120分钟；
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、请将正确答案涂在答题纸上的相应位置．）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 向量的模可以比较大小B. 平行向量就是共线向量
C. 对于任意向量，必有D. 对于任意向量，必有
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
5. 下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数（其中，，）的图象如图所示，为得到的图象，只需将图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
8. 已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ）
A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；
C. 充要条件；D. 既不充分也不必要条件．
9. 人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（ ）
A. 同学AB. 同学BC. 同学CD. 同学D
10. 已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题（本大题共5小题．每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 的值域是________________．
12. ，则的夹角为______________．
13. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形（图中实线）就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法；先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，三段圆弧便围成了莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则_____________，等边三角形的面积是___________．
14. 如图，点O为内一点，且，，，则______
15. 若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称西数与原点关联．给出下列函数：
①； ②； ③； ④．
其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步级，请将答案写在题纸上的相应位置．）
16. 已知．
（1）已知，在所给直角坐标系中标出A，B两点的位置；
（2）求；
（3）求；
（4）求在方向上的投影的数量．
17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
（1）请将上述数据补充完整，直接写出a，b，c的值并求出的解折式；
（2）求的对称轴；
（3）求在区间上的最大值和最小值．
18. 函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，使得解析式存在且唯一．求的解折式．
（3）在（2）的条件下，求的单调减区间．
条件①：的值域是；
条件②：在区间上单调递增；
条件③：的图象经过点；
条件④：的图象关于直线对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按前两个条件和第一个解答给分．
第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19. 方程的解集为（ ）
A. B.
C. D.
20. 函数的图象为
A. B.
C. D.
21. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
22. 若函数的最大值为M，最小值为m，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
23. 化简______________．
24. 若，则的取值范围是_____________．
25. 在下列四个函数中任选两个相加可以得到6个新的函数：
① ② ③ ④
其中有无数个零点的所有函数为_____________（写出完整的函数解析式）
三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
26. 集合称为三元有序数组集，对于，互不相等，令，其中，．
（1）当时，试求出和；
（2）证明：对于任意的中的三个数至多有一个为0；
（3）证明：存在．当时，向量满足．
参考答案
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、请将正确答案涂在答题纸上的相应位置．）
二、填空题（本大题共5小题．每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步级，请将答案写在题纸上的相应位置．）
16. （1），
由向量的减法可得：，，A，B两点的位置如下：
（2）
，
.
（3），
（2）（3）用坐标
（4）在方向上的投影的数量为：.
17. （1）
因为
所以
将代入得
因为，所以，
所以
（2）令，
解得，
所以函数的对称轴为；
（3）因为时，，
又因为在上单调递增，（或由的图象性质可得：）
当即时，
；
当，即时，
18. （1）
因为，所以；
（2）方案一：选择①③，
因为的值域是，
所以，
所以，
因为的图象经过点，
所以，即，
又，所以，
所以的解析式为；
方案二：选择条件①④，
因为的值域是，
所以，
所以，
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以，
又，所以，
所以解析式为；
方案三：选择条件③④，
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以，
又，所以，
则
因为的图象经过点，
所以，即，
所以的解析式为；
（3）由（2）得，
令，得，
所以函数的单调减区间为．
第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
26. （1）因为,所以,
,故从起以3为周期循环,
因为,故，
（2）反证:假设存在,取第一次出现至少两个0的位置,依题意，
不妨设且，则,
故,
所以
则或，
所以或,得，
所以,矛盾;
综上,对于任意的中的三个数至多有一个为0;
（3）设三个数中最大的为,记作,
因为,
所以,
若单调递减，由可得存在,使得,
由（2）的证明可得,这与题设矛盾，
所以不可能单调递减，即存在,使得,
根据的定义,可得中三个数中必有0,
通过（2）已经证明至多一个0,则三个数中只有一个数为0,
不妨设,设,
所以，即，
故，则
所以存在,当时,向量满足.
同学
情感投入
唱歌技巧
每台效果
A
6
3
1
B
1
4
4
C
2
3
4
D
2
4
3
0
x
a
b
0
2
c
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
D
D
D
C
C
B
题号
11
12
13
14
15
答案
；
8
①②④
题号
19
20
21
22
答案
B
B
B
C
题号
23
24
25
答案