2023北京交大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)

这是一份2023北京交大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知α∈，且sinα＝，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量＝（t，1），＝（1，2）．若⊥，则实数t的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
3．如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则＝（ ）
A．﹣4B．4C．2D．﹣8
5．已知向量，满足||＝1，＝（﹣2，1），且|﹣|＝2，则•＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
6．设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（ ）
A．4B．5C．7D．8
7．已知P为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+csα＞1”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，则t的最小值（ ）
A．B．C．D．
10．函数f（x）的图象如图所示，为了得到y＝2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
11．已知，，若，则实数x的值为 ．
12．在平行四边形ABCD中，已知向量，，则＝ ．
13．已知向量＝（1，2），＝（3，1），则向量，夹角的大小为 ．
14．直线y＝kx与函数y＝tanx的图象交于M，N（不与坐标原点O重合） 两点，点A的坐标为，则＝ ．
15．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），曲线y＝f（x）与直线y＝相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则ω的所有可能值为 ．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（10分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；
（2）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；
（3）求函数f（x）在[，π]上的最大值和最小值，并指出相应的x的值．
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间及对称轴方程；
（2）设x＝m（m∈R）是函数y＝f（x）图像的对称轴，求sin4m的值；
（3）把函数f（x）的图像向左平移φ个单位，与f（x）的图像重合，直接写出一个φ的值：
（4）把函数f（x）的图像向左平移φ个单位，所得函数为偶函数，直接写出φ的最小值；
（5）当x∈[0，t]时，函数f（x）的取值范围为[﹣1，1]，直接写出t的最小值；
（6）已知函数f（x）在[0，t]上是一个中心对称图形，直接写出一个符合题意的t的值：
（7）设函数，直接写出函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间．
18．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+3csx+3，（x∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）求f（x）的最小值并指出函数取得最小值时x的值；
（3）直接写出函数f（x）在[0，2π]上的零点．
19．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）＝Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（1）判断函数F（x）＝x，h（x）＝sinπx是否是Ω函数，不必说明理由；
（2）若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，求证：函数f（x）是周期函数；
（3）若函数f（x）＝sinkx是Ω函数．求实数k的取值范围；
（4）定义域为R的函数g（x）同时满足以下三条性质：
①存在x0∈R，使得g（x0）≠0；
②对于任意x∈R，有g（x+2）＝9g（x）．
③f（x）不是单调函数，但是它图像连续不断，
写出满足上述三个性质的一个函数g（x），则g（x）＝_____．（不必说明理由）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：，且，
∴csα＜0，
csα＝﹣＝﹣＝﹣，
∴tanα＝＝﹣．
故选：B．
2．【解答】解：∵向量，，若，则 ＝t+2＝0，
∴实数t＝﹣2，
故选：A．
3．【解答】解：角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则＝csα＝，
故选：B．
4．【解答】解：如图，
把向量平移到同一起点，得出，然后把平移到同一起点，则：，
∴＝．
故选：A．
5．【解答】解：向量，满足||＝1，＝（﹣2，1），且|﹣|＝2，
＝4，
即1﹣2•+5＝4，
则•＝1．
故选：C．
6．【解答】解：∵对任意的实数x都成立，
故，
则，
故ω＝2+6m，m∈Z，故当m＝1时，一个可能取值为8．
故选：D．
7．【解答】解：由于，
利用向量的线性运算，，
整理得：．
故选：A．
8．【解答】解：充分性：
∵α是第一象限角，∴sinα＞0，csα＞0，
∴（sinα+csα）2＝1+2sinαcsα＞1，是充分条件，
必要性：
∵sinα+csα＞1，∴α不是第三象限角，
∴（sinα+csα）2＝1+2sinαcsα＞1，
∴sinαcsα＞0，∴sinα＞0，csα＞0，
∴α是第一象限角，
故选：C．
9．【解答】解：由图象可得x＝时，函数y＝Asin（ωx+φ）的函数值为0，即+φ＝kπ（k∈Z），
∴φ＝﹣+kπ（k∈Z），
∴y＝Asin（ωx﹣+kπ），将此函数向左平移t个单位得，f（x）＝Asin[ω（x+t）﹣+kπ]，
又∵f（x）为奇函数，
∴ωt﹣+kπ＝k1π（k1∈Z），
∴t＝+π（k∈Z，k1∈Z），
∴t的最小值是．
故选：B．
10．【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）＝Asin（ωx+φ），
可得A＝2，＝﹣，∴ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2sin（2x﹣），
故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y＝2sin（2x+﹣）＝2sin2x的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y＝2sinx函数的图象，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
11．【解答】解：，，，
则1•x＝（﹣2）×（﹣2），解得x＝4．
故答案为：4．
12．【解答】解：在平行四边形ABCD中，
因为向量，，
所以：＝+＝（3，5）．
故答案为：（3，5）．
13．【解答】解：∵平面向量＝（1，2），＝（3，1），
∴cs＜＞＝＝＝，
∴＜＞＝45°．
∴向量与的夹角45°．
故答案为：45°．
14．【解答】解：直线y＝kx与函数y＝tanx的图象交于M，N（不与坐标原点O重合） 两点，
函数y＝tanx的图象关于原点对称，直线y＝kx也关于原点对称，
则O为线段MN的中点，∴+＝2，
∵点A的坐标为，则＝2•＝2＝2•＝，
故答案为：．
15．【解答】解：由函数f（x）＝2sin（ωx+ϕ）的图象与直线y＝的相邻的两个交点之间的距离为，
所以2sin（ωx+φ）＝⇒sin（ωx+φ）＝⇒ωx+φ＝2kπ+或ωx+φ＝2kπ+，k∈Z；
∵曲线y＝f（x）与直线y＝相交，若存在相邻两个交点间的距离为，
结合正弦函数的图象和性质：
∴+2kπ＝ω（x2﹣x1），k∈Z，令k＝0，x2﹣x1＝＝⇒ω＝2；
∴﹣+2kπ＝ω（x2﹣x1），k∈Z，令k＝0，x2﹣x1＝＝⇒ω＝10；
则ω的所有可能取值为2或10．
故答案为：2或10．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣），
令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z；
解得﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z；
即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
最小正周期T＝＝π；
（2）填写表格如下；
用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图为；
（3）x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
所以函数f（x）＝2sin（2x﹣）在[，π]上取得最大值为2，最小值为﹣，
且x＝﹣时f（x）取得最小值﹣，x＝时f（x）取得最大值2．
17．【解答】解：（1）由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，
由x+＝kπ+，得x＝2kπ+，k∈Z，即函数的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．
（2）若x＝m（m∈R）是函数y＝f（x）图像的对称轴，
则由（1）知m＝2kπ+，k∈Z．
则sin4m＝sin（8kπ+）＝sin＝﹣．
（3）把函数f（x）的图像向左平移φ个单位，与f（x）的图像重合，
则φ等于函数的一个周期即，即T＝＝4π，则φ＝4π．
（4）把函数f（x）的图像向左平移φ个单位，得到y＝sin[（x+φ）+]＝sin（x+φ+），
若所得函数为偶函数，则φ+＝kπ+，k∈Z，得φ＝2kπ+，k∈Z，则当k＝0时，φ＝，即φ的最小值为．
（5）当x∈[0，t]时，x+∈[，+]，若函数f（x）的取值范围为[﹣1，1]，
则，+≥，得t≥，则t的最小值为．
（6）由x+＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ﹣，k∈Z，
则当k＝1时，x＝，即函数关于（，0）对称，
若函数f（x）在[0，t]上是一个中心对称图形，
则t＝2×＝，即符合题意的t＝即可．
（7）＝＝sin（x+），（x≠kπ，k∈Z），
由（1）知f（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，
当k＝0时，≤x≤，∵x≠kπ，k∈Z），
∴g（x）在[0，2π]上的单调递减区间为[，π），（π，2π）．
18．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+3csx+3＝1﹣cs2x+3csx+3＝﹣cs2x+3csx+4，
则f（﹣x）＝﹣cs2（﹣x）+3cs（﹣x）+4＝﹣cs2x+3csx+4＝f（x），则f（x）是偶函数．
（2）令t＝csx，则﹣1≤t≤1，
则函数等价为y＝﹣t2+3t+4，对称轴为t＝，抛物线开口向下，
则函数在[﹣1，1]上为增函数，
则当t＝﹣1时，即sinx＝﹣1，x＝2kπ﹣，k∈Z时，函数取得最小值，最小值为﹣1﹣3+4＝0，此时对应x的取值集合为{x|x＝2kπ﹣，k∈Z}．
（3）由f（x）＝﹣cs2x+3csx+4＝0，得cs2x﹣3csx﹣4＝0得csx＝﹣1或csx＝4（舍），
得x＝或x＝，即函数f（x）在[0，2π]上的零点为或．
19．【解答】解：（1）函数F（x）＝x不是Ω函数，h（x）＝sinπx是Ω函数，
证明：假设函数F（x）＝x是Ω函数，则F（x）＝TF（x+T），即x＝T（x+T） 对任意的x∈R成立，
令x＝0，得T2＝0，所以T＝0，这与T≠0 相矛盾，故假设不成立，
所以函数F（x）＝x不是Ω函数；
因为当T＝﹣1时，Th（x+T）＝﹣sin[π（x﹣1）]＝﹣sin（πx﹣π）＝sin（π﹣πx）＝sinπx＝h（x），
根据定义可知h（x）＝sinπx是Ω函数．
（2）因为函数f（x）是Ω函数，
所以存在常数T＝0，使得f（x）＝Tf（x+T）对任意的x∈R成立，
所以f（﹣x）＝Tf（﹣x+T），
又f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
所以Tf（﹣x+T）＝Tf（x+T），
因为T≠0，所以f（﹣x+T）＝f（x+T），
又f（x）为偶函数，
所以f（﹣x+T）＝f（x﹣T），
所以f（x﹣T）＝f（x+T），
所以f（x）＝f（x+2T），
因为T≠0，
所以f（x）是周期为2T的周期函数．
（3）因为函数f（x）＝sinkx是Ω函数，
所以存在常数T≠0，使得f（x）＝Tf（x+T）对任意的x∈R成立，
即sinkx＝Tsink（x+T）＝Tsin（kx+kT），
即sinkx＝TsinkxcskT+TcskxsinkT对任意的x∈R成立，
所以，因为T≠0，则，
又sin2kT+cs2kT＝1，所以，即T＝±1，
此时k＝tπ，t∈Z，
即实数k的取值范围是{k|k＝tπ，t∈Z}．
（4）令 g（x）＝3xsin2πx，
因为，故满足①；
又g（x+2）＝3x+2sin2π（x+2）＝3x+2sin（2πx+4π）＝3x+2sin2πx＝9×3xsin2πx＝9g（x），故满足②；
因为y＝sin2πx在定义域上不单调且最小正周期为1，
函数在区间，k∈Z上单调递增，且函数值为正数，在区间，k∈Z上单调递减，且函数值为负数，
y＝3x在定义域上单调递增且函数值为正数，
所以g（x）＝3xsin2πx 在定义域上不单调，显然函数是连续函数，故满足③；
故答案为：g（x）＝3xsin2πx （答案不唯一）．x
2x
0
y
x
2x
0
π
2π
y
0
2
0
﹣2
0
2