2023北京北师大实验中学高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)

这是一份2023北京北师大实验中学高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级__________姓名__________学号__________成绩__________
第Ⅰ卷（共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，A为钝角，则点（ ）
A. 在第一象限B. 在第二象限
C. 在第三象限D. 在第四象限
3. 已知，且角，的终边关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
5. 下列函数中，周期为的偶函数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果角的终边在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若将函数的图像先向左平移个单位长度，再保持纵坐标不变，并将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则函数图像的对称中心可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为，当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A. y=sinB. y=sin
C. y=sinD. y=sin
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 已知向量，.若，则__________.
10. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.
11. 已知是方程的两根，则等于__________.
12. 设向量，的夹角为，且，，则__________.
13. 已知函数，若对任意都有（c为常数），则常数m的一个取值为_________．
14. 关于函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的最小值是1；
③函数的最大值是；
④函数在区间上单调递增.
其中全部正确结论的序号是__________.
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15. 已知角的终边过点，且.
（1）求，，的值；
（2）求，的值.
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
17. 已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；②的图像可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为.
（1）请直接指出这三个条件，并求出的解析式；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围.
第Ⅱ卷（共50分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
18. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则______．
19. 梯形中，，，，，点在线段上运动.
（1）当点与点重合时，__________.
（2）的最小值是__________.
20. 已知点，是函数图像上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为.又对任意，不等式恒成立，则__________，实数的取值范围是__________.
21. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________.
①在区间上有且仅有个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增.
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
22. 已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若函数在上有两个不同的零点，请直接写出实数的取值范围（不需过程）.
23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足.
（1）已知，，求；
（2）已知，，，的最小值为，求实数的值.
24. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质.
（1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围；
（3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质.
参考答案
第Ⅰ卷（共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 【答案】D
【解析】
【分析】
写出与终边相同角的集合，取k值得答案.
【详解】与角终边相同的角的集合为，
取，可得.
∴与角终边相同的是.
故选：D
【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
2. 【答案】B
【解析】
【分析】先判断的正负，即可求解
【详解】在中，A为钝角，则B为锐角，
则，
则点在第二象限，
故选：B
3. 【答案】B
【解析】
【分析】首先根据对称性，求的关系，根据诱导公式，即可求解.
【详解】因为角，的终边关于轴对称，所以，，
即，.
故选：B
4. 【答案】C
【解析】
【分析】由图象分析函数的周期，求得的值.
【详解】因为，，由图象可知，函数的半周期是，
所以，得.
故选：C
5. 【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的周期公式及二倍角的余弦公式,结合函数的奇偶性的定义及诱导公式即可求解.
【详解】对于A，，由题意可知，的定义域为,，所以为奇函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，，由题意可知，的定义域为,，所以为偶函数，故D正确.
故选：D.
6. 【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为角的终边在直线上，
所以.
所以.
故选：B.
7. 【答案】A
【解析】
【分析】首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】将函数的图像先向左平移个单位长度得到，
再将保持纵坐标不变，图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到，
令，，解得，，
所以函数的对称中心为，，故符合题意的有.
故选：A
8. 【答案】C
【解析】
【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而结合待定系数法可求函数的解析式，注意秒针是顺时针走动．
【详解】解：由题意，函数的周期为，
设函数解析式为（因为秒针是顺时针走动），
初始位置为，，
时，，
，
可取，
函数解析式为
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的条件及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，且 ，
所以，解得.
故答案为：.
10. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知结合弧长公式即可直接求解
【详解】由弧长公式可得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.
11. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，结合，即可求解.
【详解】由题意知是方程的两根，
可得，
所以.
故答案为：.
12. 【答案】
【解析】
【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为向量，的夹角为，且，，
所以，
所以
.
故答案为：
13. 【答案】（答案不唯一，只要是即可）
【解析】
【分析】先根据函数的对称性得到，再根据诱导公式求出都可满足条件.
【详解】函数中心对称点都在x轴上，所以，
所以对任意恒成立，
，
所以，故利用诱导公式得都可满足条件.
故答案为：（答案不唯一，只要是即可）
【点睛】正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.
14. 【答案】①②③
【解析】
【分析】首先把三角函数变形成的形式，进而逐一分析三个结论的真假，可得答案.
【详解】函数，
则，
且，
函数图象如下所示：
所以函数的最小正周期为，故①正确；
故当时，函数的最小值为，故②正确；
当时，函数取最大值，故③正确；
当时，，因为在上不单调，故函数在区间上不单调，故④错误；
故答案为：①②③
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15. 【答案】（1）；；.
（2）；.
【解析】
【分析】（1）利用余弦函数在各象限的符号及三角函数的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及二倍角的余弦公式，利用两角和的正弦公式及三角函数的特殊值即可求解.
【小问1详解】
因为角的终边过点，且，
所以是第二象限角,且.
所以，解得或（舍）.
所以,
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，
又因为，
所以，
.
16.【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间，；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）首先根据（1）的结果求在区间的范围，根据函数无零点，求的取值范围.
【小问1详解】
，
则函数的最小正周期,
令，，
得，，
所以函数的单调递减区间是，；
【小问2详解】
，
当时，因为函数在上无零点，
所以，解得：.
17. 【答案】（1）①③④，
（2）
【解析】
【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；
（2）先根据（1）求解出的解析式，然后采用整体替换的方法求解出的对称轴方程，然后对进行赋值，确定出在区间上仅有一条对称轴时的取值范围.
【小问1详解】
三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以，；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
由③④知，
由①知，所以，所以，
所以或，
所以或，又因为，
所以，所以，
【小问2详解】
由（1）可知，
不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
第Ⅱ卷（共50分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
18. 【答案】##0.6
【解析】
【分析】先根据三角函数定义求得，再使用诱导公式进行求解.
【详解】根据三角函数定义可得：，由诱导公式得：.
故答案为：
19. 【答案】 ①. 0 ②. ##
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，即可求解；
（2）根据是等腰直角三角形，设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值.
【详解】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，当点与点重合时，
，，，，
，，；
（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，设，，
，
，
当时，的最小值是.
故答案为：；.
20. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由的终边上的点可求出的值，再由题可得，即可求出，可得解析式；根据可得的范围，不等式化为，求出的最大值即可.
【详解】角的终边经过点，所以，
又，所以，
因为当时，的最小值为，
所以，即，所以，
可得，
当时，，，
所以，所以，
于是即为，
由，，，
所以，
得的最大值为，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
21. 【答案】②③
【解析】
【分析】首先通过在区间上有且仅有4条对称轴，求出的范围，再依次对各项进行辨析即可.
【详解】∵，
∴当时，，
∵正弦函数的对称轴为直线，，
∴当，，，，时，的对称轴分别为直线，，，，，
∴若函数在区间上有且仅有4条对称轴，
则，解得，故③正确；
对于①，当时，，
∵，∴，
∵正弦函数的对称中心为点，时，
∴当，，，时，的对称中心分别为点，，，，
∴当，即时，有且仅有个对称中心，
当，即时，有且仅有个对称中心，故①错误；
对于②，若的最小正周期，则，故②正确；
对于④，当时，，
又∵，∴，
∵正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴当，即时，在区间上单调递增，
当，即时，在区间上不单调，故④错误．
故答案为：②③.
【点睛】方法点睛：本题的取值并不是一个特定的值，而是一个范围，故应首先由已知条件解决的取值范围，判断③，再由的取值范围，使用整体代换思想，对其他项进行辨析.
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
22. 【答案】（1）最大值，最小值.
（2）
【解析】
【分析】（1）使用二倍角公式（降幂公式）和辅助角公式化简，再结合正弦函数性质求解；
（2）将问题转化为函数图象与直线有两个不同的交点解决即可.
【小问1详解】
由已知，
，
当时，，
∴当，即时，，有最大值，
当，即时，，有最小值.
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
由第（1）问，，
在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不相等的实数解，
令，∵，∴，
∴方程即，在上有两个不相等的实数解，
∴函数的图象与直线在上有两个交点，如图所示.
∴实数的取值范围是.
23. 【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出，，的坐标，再坐标法求出数量积与模，即可得解；
（2）首先求出、，则，再令，，令，结合二次函数的性质得到方程，解得即可.
【小问1详解】
因为，，所以，，，
又，所以，
所以，，，
所以.
【小问2详解】
因为，，,
所以，
，
故，，
从而
，
即，，
依题意，
令，，令，，
则对称轴为，
①当≤，即时，当时，，
由，得，解得或，又，
所以；
②当>，即时，当时，，
由，得，解得，又，所以．
综上所述：的值为或．
24. 【答案】（1）具有性质，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得；
（2）由，解得，，可得，即得；
（3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证.
【小问1详解】
函数在上具有性质.
若，则，
因为，且，
所以函数在上具有性质.
【小问2详解】
解法1：由题意，存在，使得，
得（舍）或，
则得.
因为，所以.
又因为且，
所以，即所求的取值范围是.
解法2：当时，函数，是增函数，
所以不符合题意；
当时，因为直线是函数的一条对称轴，
而函数在区间上具有性质，
所以，
解得，即所求的取值范围是.
【小问3详解】
设，.
则有，，，，
，，.
以上各式相加得
即，
（ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，，
所以函数在区间上具有性质.
（ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，
则其中必存在正数和负数，不妨设，，
其中，.
由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即，
即存在，使得，
所以函数在区间上也具有性质.
综上，函数在区间上具有性质.
考
生
须
知
1.本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.