2023北京理工大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)

这是一份2023北京理工大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

审核人：金永涛，考试时间：90分钟
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.
1. 若，且，则是
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则（ ）
A. B. 4C. D. 6
4. 已知向量满足，，则
A. 4B. 3C. 2D. 0
5. 下列函数中，在上递增的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 设，是非零向量，“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减
9. 在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ）
A. 1B. C. D.
10. 已知点，，.若平面区域D由所有满足的点P组成（其中，），则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。
11. 若，则_______.
12. 设，且，则为_______.
13. 在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.
14. 已知函数.若对，恒成立，则_______.
15. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
17. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
18. 某同学用“五点法”画函数，（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.
19. 定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
参考答案
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.
1. 【答案】C
【解析】
【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】根据周期公式计算可得.
【详解】函数的最小正周期.
故选：C
3. 【答案】C
【解析】
【分析】求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】因为，，
所以，
所以，
故选：C．
4. 【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B
点睛：向量加减乘：
5. 【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.
【详解】对于A：为奇函数，故A错误；
对于B：为奇函数，故B错误；
对于C：为偶函数，但是函数在上单调递减，故C错误；
对于D：，则，故为偶函数，
且时，函数在上单调递增，故D正确；
故选：D
6. 【答案】B
【解析】
【分析】由题得，再依次代入检验即可得答案.
【详解】解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得
所以，
所以当时，，不是函数的对称轴，故错误；
当时，，是函数的对称轴，故正确；
当时，，不是函数的对称轴，故错误；
当时，，不是函数的对称轴，故错误；
故选：B
7. 【答案】A
【解析】
【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
考点：充分必要条件、向量共线.
8. 【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9. 【答案】C
【解析】
【分析】根据角与的终边构成一条直线得，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以，
所以
，
又，
所以.
故选：C.
10. 【答案】D
【解析】
【分析】由题可得关于的表达式，后由不等式性质可得答案.
【详解】由题可得，，
则.
又，则，则.
故选：D
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。
11. 【答案】
【解析】
【分析】由两角差的正切公式计算.
【详解】因为,
所以.
故答案为：.
12. 【答案】##
【解析】
【分析】由诱导公式及余弦函数的单调性得结论．
【详解】因为，且在上单调递减，
所以由，得．
故答案为：．
13. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.
考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
14. 【答案】
【解析】
【分析】依题意为函数的最大值，即可得到，，结合的取值范围，即可得解.
【详解】因为对，恒成立，所以，，
解得，，
因为，所以.
故答案为：
15. 【答案】
【解析】
【详解】如图，连结AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知的长为2.
∵圆的半径为1，
∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－.
∴DP＝AP·sin＝－cs 2，
∴PC＝1－cs 2，
DA＝APcs＝sin 2.
∴OC＝2－sin 2.
故＝(2－sin 2,1－cs 2)．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和三角函数的定义求解；
（2）由平方关系求得，再利用两角和的正弦公式计算．
【小问1详解】
，
因此由已知得，，
所以；
【小问2详解】
，则，
，
时，，
时，，
综上，或．
17. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为，且，
所以，即，所以；
【小问2详解】
解：因为，，
所以，，
因为与的夹角为，所以，即，
所以，因为，所以，所以，所以；
18. 【答案】（1）表格见解析，
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据得到方程组，即可求出、，再读出，从而得到函数解析式，再补全表格即可；
（2）根据的取值范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得；
（3）利用平移规律得，再利用对称中心公式，令，，求得.
【小问1详解】
由表格数据可知，解得，且，
所以，
数据补全如下表：
【小问2详解】由（1）可得，
又，则，所以，
所以，
所以当，即时，当，即时.
【小问3详解】
函数图象上所有点向左平移个单位长度，得，
因为的对称中心是，
因为函数图象的一个对称中心为，
所以，，解得，
又，当时，的最小值是.
19. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）根据新定义证明即可；
（3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有
，可得，解得的值再检验即可.
【详解】（1）对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以是线周期函数；
（2）若为线周期函数，其线周期为，
则存在非零常数对任意，都有恒成立，
因为，
所以，
所以为周期函数；
（3）因为为线周期函数，
则存在非零常数，对任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因为，所以，
检验：当时，，
存在非零常数，对任意，
，
所以为线周期函数，
所以：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.
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