河南省信阳市淮滨县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+

这是一份河南省信阳市淮滨县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+，共24页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，，耐心做一做!等内容，欢迎下载使用。

一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≤3C．x＞3D．x≥3
2．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．+＝C．×＝4D．2﹣
3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠D的度数为（ ）
A．36°B．108°C．72°D．60°
4．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
5．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121B．120C．90D．不能确定
7．（3分）如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜a＜c
8．（3分）如图所示，已知P、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（ ）
A．逐渐增大B．逐渐变小
C．不变D．先增大，后变小
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．13B．20C．25D．34
二、细心填一填，（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为 cm．
13．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为 cm．
14．（3分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
15．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是 ．
三、耐心做一做!（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）计算：﹣÷+（3﹣）2．
17．（9分）如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF＝EC．
18．（9分）下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线的正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC．
求作：正方形ABCD，并证明．
做法：如图．
①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．（ ）（填写推理依据）
∵OA＝OB＝OC＝OD即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为 ，（ ）（填写推理依据）
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形．（ ）（填写推理依据）
19．（9分）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）求证：四边形EFGH的形状是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
20．（9分）学校操场边有一块不规则的四边形，八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？
21．（10分）如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）在数轴上作出表示5的点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）你能把这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长，若不能，请说明理由．
22．（10分）台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）BC＝ cm；
（2）当t＝ 秒时，四边形PQBA成为矩形．
（3）当t为多少时，PQ＝CD？
（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≤3C．x＞3D．x≥3
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可．
【解答】解∵二次根式有意义，
∴x﹣3≥0，解得：x≥3．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．+＝C．×＝4D．2﹣
【分析】根据＝|a|，×＝（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【解答】解：A、＝2，故原题计算错误；
B、+＝+2＝3，故原题计算错误；
C、＝＝4，故原题计算正确；
D、2和不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠D的度数为（ ）
A．36°B．108°C．72°D．60°
【分析】设∠A＝2x，则∠B＝3x，由平行四边形的性质得∠D＝∠B，AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，得2x+3x＝180°，解得x＝36°，即可得出结论．
【解答】解：设∠A＝2x，则∠B＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
即2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠D＝∠B＝3x＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、对边平行是解题的关键．
4．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
5．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、＝，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
6．（3分）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121B．120C．90D．不能确定
【分析】连续自然数，两数的差是1，较大的是斜边，根据勾股定理就可解得．
【解答】解：设另一直角边为a，斜边为a+1．
根据勾股定理可得，（a+1）2﹣a2＝92．
解之得a＝40．则a+1＝41，则直角三角形的周长为9+40+41＝90．
故选：C．
【点评】本题综合考查了勾股定理，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
7．（3分）如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜a＜c
【分析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
【解答】解：根据勾股定理，得a＝＝；b＝＝；c＝＝．
∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．
8．（3分）如图所示，已知P、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（ ）
A．逐渐增大B．逐渐变小
C．不变D．先增大，后变小
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AR，判断即可．
【解答】解：∵E、F分别是PA、PR的中点，
∴EF＝AR，
∴EF的长不变，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据矩形的性质得到∠DCA＝∠BAC，由折叠的性质得到∠DCA＝∠D′CA，得到∠CAF＝∠D′CA，根据等腰三角形的判定定理得到FA＝FC，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
由折叠的性质可知，∠DCA＝∠D′CA，
∴∠CAF＝∠D′CA，
∴FA＝FC，
在Rt△BFC中，BF2+BC2＝CF2，即42+（8﹣AF）2＝AF2，
解得，AF＝5，
则△AFC的面积＝×5×4＝10，
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．13B．20C．25D．34
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【解答】解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴△DAO≌△ABM，
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、细心填一填，（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：＝2﹣＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能准确进行化简、计算．
12．（3分）已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为 5 cm．
【分析】利用勾股定理求出斜边长＝10cm，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长＝＝10（cm），
∴斜边上的中线长＝×10＝5（cm），
故答案为：5．．
【点评】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质，熟记勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为 24 cm．
【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．可证△AOB是等边三角形，可得OA＝BO＝12cm，即可求解．
【解答】解：如图：AB＝12cm，∠AOB＝60°．
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．
∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝12cm，
∴BD＝2OB＝2×12＝24（cm）．
故答案为：24．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14．（3分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
∴x2+52＝（x+1）2
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m．
【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力．
15．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是 ．
【分析】画出图形，利用正方形的性质和将军饮马模型解答即可．
【解答】解：如图，连接PA，EA，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴A，C关于直线BD对称，
∴PA＝PC，
∴PE+PC＝PE+PA≥AE，
即PE和PC的长度之和最小值为AE的长，
∵BE＝2，CE＝1，
∴AB＝BC＝BE+CE＝2+1＝3，
在Rt△ABE中，
由勾股定理，得AE＝＝＝，
∴PE和PC的长度之和最小是，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，能利用将军饮马模型将两线段的和的最小值化为一条线段的长是解题的关键．
三、耐心做一做!（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）计算：﹣÷+（3﹣）2．
【分析】先根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝4﹣+9﹣6+3
＝4﹣3+12﹣6
＝12﹣5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和完全平方公式是解决问题的关键．
17．（9分）如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF＝EC．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，证出∠DAE＝∠AEB，由已知条件得出∠DAE＝∠FCB＝∠AEB，证出AE∥FC，得出四边形AECF为平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC∠BAD＝∠BCD，
∴AF∥EC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE＝∠BAD，∠FCB＝∠BCD，
∴∠DAE＝∠FCB＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质与判定；证明四边形AECF为平行四边形是解决问题的关键．
18．（9分）下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线的正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC．
求作：正方形ABCD，并证明．
做法：如图．
①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）（填写推理依据）
∵OA＝OB＝OC＝OD即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为 矩形 ，（ 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ）（填写推理依据）
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形．（ 对角线互相垂直的矩形是正方形 ）（填写推理依据）
【分析】（1）按题目要求作图即可得；
（2）根据平行四边形、矩形、正方形的判定求解可得．
①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．
【解答】解：（1）如图所示，正方形ABCD即为所求．
（2）∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵OA＝OB＝OC＝OD即AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，矩形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、正方形的判定．
19．（9分）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）求证：四边形EFGH的形状是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 互相垂直 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）当四边形ABCD的对角线满足 相等 条件时，四边形EFGH是菱形．
【分析】（1）连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答；
（3）根据邻边相等的平行是四边形是菱形解答．
【解答】（1）证明：如图，连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF、FG、GH分别为△ABC、△BCD、△ADC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，FG＝BD，FG∥BD，GH＝AC，GH∥AC，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH的形状是平行四边形；
（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，
∵EF∥AC，FG∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：互相垂直；
（3）解：当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，
∵EF＝AC，FG＝BD，AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故答案为：相等．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．
20．（9分）学校操场边有一块不规则的四边形，八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？
【分析】首先连接AC，利用勾股定理计算出AC的长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD为直角三角形，然后可求面积．
【解答】解：连接AC，
∵AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∵52+122＝132，
∴AC2+DC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴S四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×12×5＝36（m2）．
【点评】此题主要考查了勾股定理的运用，以及勾股定理逆定理，关键是掌握三角形两边的平方和等于第三边的平方时，此三角形是直角三角形．
21．（10分）如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 5 ，边长是 ；
（2）在数轴上作出表示5的点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）你能把这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长，若不能，请说明理由．
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）在数轴上以原点为圆心以长为5作半径画圆交数轴正半轴的点即为所求；
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【解答】解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：．
故答案为：5，；
（2）如图所示，点A即为所求的点．
（3）如图2所示，能，正方形的边长为．
【点评】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键
22．（10分）台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷28＝4（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为4小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
23．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）BC＝ 18 cm；
（2）当t＝ 秒时，四边形PQBA成为矩形．
（3）当t为多少时，PQ＝CD？
（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC＝BE+EC即可求出BC的长度；
（2）当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA＝QB列出关于t的方程，解方程即可；
（3）分两种情况，建立方程求解即可得出结论；
（4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程＝速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【解答】解：根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣2t，
（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，
∴DE＝AB＝8cm，AD＝BE＝12cm，
在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，DC＝10cm，DE＝8cm，
∴EC＝＝6cm，
∴BC＝BE+EC＝18cm．
故答案为18；
（2）∵AD∥BC，∠B＝90°
∴当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，
即2t＝18﹣3t，
解得t＝秒，
故当t＝秒时，四边形PQBA为矩形；
故答案为；
（3）
①当P'Q'∥CD时，如图，
∵AD∥BC，
∴四边形CDP'Q'是平行四边形，
∴P'Q'＝CD，DP'＝CQ'，
∴12﹣2t＝3t，
∴t＝秒，
②如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ＝CD，
易证，四边形PDEF是矩形，
∴EF＝DP＝12﹣2t，
易证，△CDE≌△QPF，
∴FQ＝CE＝6，
∴CQ＝FQ+EF+CE＝6+12﹣2t+6＝3t，
∴t＝
（4）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当QC＝DC时，即3t＝10，
∴t＝；
②当DQ＝DC时，＝6，
∴t＝4；
③当QD＝QC时，3t•＝5，
∴t＝．
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．