高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品课件ppt

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问题1　阅读课本第71~75页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
★资源名称： 【情景演示】基本不等式引入★使用说明：本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点，引出基本不等式的知识.注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．
均值不等式　如果a，b都是正数，那么　　 ，
当且仅当a＝b时，等号成立．
因为（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，
所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，
即（a＋b）2≥4ab．
显然，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b时，等号成立．
问题2　均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
问题3　如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
例1　（1）已知x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．
（3）求函数y＝x（1－x），x∈[ ，1）的最大值．
解得x＝1或x＝－1（舍）．
因此x＝1时，y取得最小值2．
例1　（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．
当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时，等号成立．
从而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．
从而x＝1时，y取得最大值4．
例1　（3）求函数y＝x（1－x），x∈[ ，1）的最大值．
例2　（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．
当且仅当x＝y时，等号成立，
所以2（x＋y）≥40．
例2　（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
依题意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．
（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．
（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；
（4）正确地写出答案．
（1）已知a为大于0的常数，x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫均值不等式？如何证明？
（2）均值不等式的几何意义是什么？
（3）如何利用均值不等式求最值？
作业：教科书P76练习B 1，2，4．