数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用精品课件ppt

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问题1　阅读课本第71~75页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样的问题？
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
问题2　我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用 （a，b都是正数），也可使用a＋b≥ ．你还有哪些变形呢？
例1　已知ab＞0，求证： ≥2，并推导出等号成立的条件．
因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．
例2　已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．
并说明等号成立的条件．
所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．
等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．
区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例2结论的一种特殊情况．
假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab，当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．
例3　已知a，b∈R，求证：
a2＋b2＋2ab≥4ab，
即（a＋b）2≥4ab；
（1）（a＋b）2≥4ab；
（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
例4　（1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
三个不等式相加即能得证；
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：
（1）任取多组三个正教a，b，c，计算 和 运后，比较它们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
回顾本节课，你有什么收获？
（1）均值不等式有哪些变形？如何证明？
（2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？
（1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．
（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．
（3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．
作业：教科书P76练习B 3．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋ ）（1＋ ）≥9．