高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性完美版ppt课件

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（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
问题1　阅读课本第107，回答下列问题：
问题2　上节课我们学习了哪些知识？
【尝试与发现】已知函数f（x）满足f（5）＝－3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（－5）的值．
如果f（x）是偶函数，则f（－5）＝f（5）＝－3；如果f（x）是奇函数，则f（－5）＝－f（5）＝3．
【尝试与发现】已知函数y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，且它们的部分图像如下图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律．
如果y＝f（x）是偶函数，那么其在x＞0与x＜0时的单调性相反；如果y＝f（x）是奇函数，那么其在x＞0与x＜0时的单调性相同．
【证一证】已知函数f（x）是奇函数，而且在（0，＋∞）上是增函数，求证：f（x）在（－∞，0）上是增函数．
证明：方法一：任取x1，x2∈（－∞，0），且x1≠x2，则
因为－x1＞0，－x2＞0，而且－x1≠－x2．又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，于是有
证明：方法二：任取x1，x2∈（－∞，0），
因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，于是有
由此可知，函数f（x）在（－∞，0）上是增函数．
设x1＜x2，则－x1＞0，－x2＞0，而且－x1＞－x2．
f（－x1）＞f（－x2）．
又因为f（x）是奇函数，所以f（－x1）＝－ f（x1），f（－x2）＝－ f（x2），因此－f（x1）＞－f（x2），即f（x1）＜f（x2）．
若函数f（x）是偶函数，则函数f（x）在关于原点对称区间上的单调性相反；若函数f（x）是奇函数，则函数f（x）在关于原点对称区间上的单调性相同．
练习　若函数f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上是增函数时，可以得到f（x）在（－∞，0）上的增减性．
例1　已知函数f（x）满足f（5）＜f（3），分别在下列各条件下比较f（－5）与f（－3）的大小：
（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数．
（1）因为f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），因此
f（－5）＝f（5），f（－3）＝f（3），
从而由条件可知f（－5）＜f（－3）．
（2）因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），因此
f（－5）＝－f（5），f（－3）＝－f（3），
又由条件可知－f（5）＞－f（3），从而f（－5）＞f（－3）．
例2　设函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋4x．
（1）求f（x）的表达式；（2）证明f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
（1）当x＜0时，－x＞0，所以
f（－x）＝（－x）2＋4（－x）＝x2－4x．
因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），
所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2－4x）＝－x2＋4x（x＜0）．
（2）证明：设任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则
f（x2）－f（x1）＝（x22＋4x2）－（x12＋4x1）＝（x2－x1）·（x2＋x1＋4）．
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＋4＞0，
所以f（x2）－f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）是（0，＋∞）上的增函数．
例3　（1）已知偶函数f（x）在区间［0，＋∞）单调增加，求满足f（2x－1）＜　　的x取值范围．
（2）已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，求满足f（a－3）＋f（9－a2）＜0的a的取值范围．
（1）由偶函数f（x）在区间［0，＋∞）单调增加，
例3　（2）已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，求满足f（a－3）＋f（9－a2）＜0的a的取值范围．
（2）y＝f（x）为奇函数，f（a－3）＋f（9－a2）＜0，知：
又由y＝f（x）是定义域为（－1，1）的减函数，得：
f（a－3）＜f（a2－9），
奇偶性与单调性的综合是考试常考的题型．解题时，要把握奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2， f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（　　）
得f（－1）＝－f（1），g（－1）＝g（1），
解得g（1）＝3．故选B．
A．4　　　　　B．3　　　　　C．2　　　　　D．1
由题意：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
问题3　回顾本节课，你有什么收获？
（1）函数的奇偶性与单调性之间有什么样的关系？
（2）可以利用函数的奇偶性能解决哪些问题？
作业：教科书P110练习B 4、6