2024年新高考数学押题密卷（二）（原卷及解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，则，
又，所以.
故选：B
2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A．11B．13C．63D．78
【答案】D
【解析】依题意，
因为，所以，
因为线性回归方程为一定过点，
所以，
所以.
故选：D.
3．在中，，， 且， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，
所以，即，
所以.
故选：B
4．已知函数是的导数，则以下结论中正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数与的值域相同
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】由题意，，
对A, 为偶函数，故A错误；
对B，易知的值域为，的值域为，故B错误；
对C, ,故C错误；
对D, ,单调递减，故在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图一：所得的多面体为正八面体，这正八面体的球心如图二中点，设外接球半径为，
正八面体的棱长为，
在中，，，，
所以，
所以.
故选：D.
6．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【解析】若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故选：B.
7．已知数列的各项均为正数，记，，，，设甲：是公比为的等比数列；乙：对任意，，，三个数是公比为的等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：
若是公比为的等比数列，
则，
，
即，
故，，三个数是公比为的等比数列，则充分性成立；
必要性：
若对任意，，，三个数是公比为的等比数列，
当时，，，，
则为公比是的等比数列.
当时，
有，
即，又，
则，即，
则是公比为的等比数列，必要性成立.
故选：C.
8．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ）
A．的准线为
B．的最小值为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若且，则
【答案】B
【解析】对于选项A，由抛物线的焦点可得，
所以，即的准线为，故A错误；
对于B，如下图所示：
设直线的方程为，；
联立直线与抛物线方程可得，
可得；
由抛物线定义可得；
所以
，
当且仅当，即时，等号成立；即B正确；
对于C，以为直径的圆的圆心为,
此时圆心到轴的距离为，
而，
所以以为直径的圆与轴相交，即C错误；
对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以；
由即可得，如下图所示：
，所以，
同理可得，可得，
所以，即D错误；
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若是非零复数，且，则D．若是非零复数，则
【答案】BC
【解析】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；
对于B项，设，则，，故而，故B项正确；
对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；
对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误.
故选：BC.
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若函数无极值点，则没有零点
B．若函数无零点，则没有极值点
C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点
D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点
【答案】AD
【解析】
，设
若函数无极值点则，则，
此时，即，所以，没有零点，如图①；
若函数无零点，则有，此时，
当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数恰有一个零点，则，
此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确.
故选：AD.
11．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当，时，与平面所成角为
B．当时，有且仅有一个点，使得
C．当，时，平面平面
D．若，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】当，时，与重合，
由已知得，平面，
所以就是与平面所成的角，
因为，
所以，
所以，
即与平面所成角为，A正确；
当时，取线段中点分别为，
连接，
因为，即，
所以，
则点在线段上，
设，则，
则，
，，
若，则，
则，
则，所以或，
则点与、重合时，，
即当时，存在两个点使得，故B错；
当，时，，
则，所以是中点，
取中点，中点，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，
，，
设平面和平面的一法向量分别为，
则，，
解得，，
令，，
可得，，
因为，
所以，
即平面平面，C正确；
若，因为，，，
所以点在侧面上，
又平面，，
所以点的轨迹是以Q为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D准确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间中三点，则点A到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】，
,
，
，
设点A到直线的距离为，则
.
故答案为：.
13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ．
【答案】
【解析】在中，由及正弦定理得：，
而，
则，
整理得，即，
又，因此，而，所以.
故答案为：
14．已知偶函数的图象关于直线对称，，且对任意，均有成立，若对任意恒成立，则的最小值为 .
【答案】5
【解析】因为函数的图象关于直线和对称，
所以，所以其周期，
中，令得，，
又，解得，同理可得，
所以，
，
，解得，
依次类推，可得当时，，
所以，
又对任意恒成立，故.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且.
(1)若平面，求实数的值；
(2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）
因为底面，平面，
所以BC，AB，
又因为，
所以两两垂直，
以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，，，
所以，设，
故，解得：，
故，，
设平面的法向量为，
则，
令，解得：，
故，
由题意得：，即，
解得：；
（2）设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
由于平面，所以，设，
即，解得：，
故，
由（1）得：平面的法向量为，
设直线和平面所成角的正弦值为，
故，
直线和平面所成角的正弦值为.
16．（15分）
小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．
【解析】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；
射击一次获得一等奖为事件，所以有，所以，
，所以.
（2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，；
记“获得三等奖”为事件，所以，
所以，，
，，
，所以
显然，.
17．（15分）
已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
【解析】（1）由题意可知，当时，；
当时，由得，，
两式作差可得，，
也适合该式，故；
（2）证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即.
18．（17分）
已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
【解析】（1）．
①当时，在上单调递增．
②当时，令得，即在上单调递增；
同理，令得，即在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
若使有两个零点，则，即，解得，
且，当时，，则有，
所以的取值范围为．
（ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②，
①-②得，即，
，
因为有两个零点，所以不单调，
因为，得，
所以．
若要证明成立，
只需证，
即证，令，则，
则不等式只需证，
即证，
令，
，令，
令，因为，得在上单调递减，
得，得，即在上单调递减，
得，得，即在上单调递减，
所以有，
故有，不等式得证．
19．（17分）
定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
【解析】（1）依题意，椭圆的另一焦点为，
因此 ，
于是，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上，
依题意，直线l的方程为，整理得，
所以直线的方程为.
（3）由（2）知，直线：，由，解得或，则，，
设点，，则，两式相减得，
又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分，
设点到直线的距离为d，则四边形的面积，
而，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离，
所以.