精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题

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一、单选题
1. 以下是某中学12名学生的一次政治考试成绩．
则这组数据的分位数是（ ）
A. 87.5B. 88C. 88.5D. 89
2. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A. B.
C D.
3. 设为数列的前n项和，若，，则（ ）
A B. C. 10D.
4. 已知l，m，n是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，，则
D. 若，，，，则
5. 某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 20B. 40C. 66D. 80
6. 已知，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若的面积的最大值为8，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知斜率为3的直线l与双曲线C：交于A，B两点，直线l与直线交于点P（不与原点重合），且P恰好是AB的中点，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知满足，则（ ）
A.
B. 复平面内对应的点在第一象限
C.
D. 的实部与虚部之积为
10. 某质点的位移与运动时间的关系式为的图象如图所示，其与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，则（ ）

A.
B.
C. 质点在内的位移图象为单调递减
D. 质点在内的平均速率为（平均速率）
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A. 奇函数B.
C. D.
三、填空题
12. 的展开式中项的系数为_____________.
13. 已知内角所对的边分别是，且，则角______．
14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．
四、解答题
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（2）讨论的极值.
16. 把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球.
（1）求恰有两个球编号与盒子的编号相同的概率；
（2）设恰有个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量的分布列与期望.
17. 如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.

（1）求证：∥平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由.
18. 在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设点T在直线上，过点T的两条直线分别交轨迹C于E，F和P，Q两点，且，求证：为定值.
19. 给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列．记数列的项数的最小值为．
条件①：的每一项都属于集合；
条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、…、第项（其中）形成的新数列称为的一个子数列．
（1）分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：
数列；
数列；
（2）求证：；
（3）求的值．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
成绩
67
72
76
78
81
83
85
87
88
89
90
91