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精品解析：江西省南昌市第十九中学2024届高三上学期11月期中考试数学试题
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过推理得到是的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.
【详解】，
故是的真子集，
故，，，，
故A，B，D均错误，C正确.
故选：C.
2. 定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，
又函数是偶函数，则，变形可得，
则有，进而可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
则.
故选：C.
3. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，求得，结合配方法，求得其最小值，结合选项，即可求解.
【详解】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，设，可得，，，
则，，.
所以，
所以，
所以，
即，所以，
结合选项，可得不可能的值为.
故选：D.
4. 已知为数列的前项和，，，则（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】利用求得，进而求得.
【详解】当时，，因为，所以．
当时，由得，
两式相减可得，即．
因为，所以，，…，，可得，
所以.
故选：C
5. 已知正方体的棱长为1，则与平面平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作，延长交、延长线于M、H，连接MK、交，于，则截面为六边形，求出当截面为正六边形时，平面截此正方体所得截面面积最大.
【详解】作，延长交、延长线于M、H，
连接MK、交，于，则截面为六边形，
因为，平面，平面，
显然平面平面，此时平面即为截面，
当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，
如下图，六边形在正方体底面的投影为六边形，
设
所以，
当时，取得最大值.
平面为正六边形，边长为，
故正六边形面积为S=6×.
故选：A.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象的一条对称轴为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出平移后对应的函数解析式，从而可求对称轴的方程，故可得正确的选项.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
令，解得，所以对称轴为，
当时，，故C正确，
分别令，，，
所得的分别为，它们均不为整数，
故ABD不正确.
故选：C.
7. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，平面平面，为等边三角形，则四棱锥的外接球体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求得的外接球半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解.
【详解】记的中点为，连接，，连接，
设所在圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，
因为为等边三角形，，所以圆的半径，
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为底面是矩形，所以是底面外接圆的圆心，故平面，
所以，
同理，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以球的半径，
所以外接球的体积为.
故选：D.
8. 在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为（ ）
A. 一个定点B. 一个平面上任意一点
C. 一条直线上任意一点D. 一个圆上任意一点
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到在过点且与垂直的一个平面内，根据与不平行得到平面与平面一定相交，即可得到点在交线上运动.
【详解】
在正方体中，
因为，所以在过点且与垂直的一个平面内，
即为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，与不平行，
所以平面与平面一定相交于直线，
所以点在直线上运动．
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，可得或，再结合选项，即可得答案.
【详解】解：因为“或”是“”的必要不充分条件，
所以 或
所以或，
即或.
故选：ACD.
10. 数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 是周期数列C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】依次取即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确.
【详解】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
11. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 在中，若，则为等腰三角形
C. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则或
D. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正弦定理，可判定A错误；根据向量数量积的运算法则和余弦函数的性质，可判定B正确；根据复数分类和复数的运算法则，可判定C错误，D正确.
【详解】对于A中，由正弦定理可得，
因为，则符合条件的有1个，所以A错误；
对于B中，因为，所以，
即，
即，所以，
又因为，所以，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C中，因为为纯虚数，则，
解得，所以C错误；
对于D中，复数，
所复数对应的点的坐标是 在第三象限，所以D正确；
故选：BD.
12. 如图，在直三棱柱中，，，则（ ）
A. 平面
B. 平面平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点，，，均在半径为的球面上
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理得出A选项，根据空间向量法判断面面垂直及异面直线所成角判断B,C选项，根据外接球直径判断D选项.
【详解】平面，平面，平面，所以A选项正确；
取AB的中点O，连接CO，则，以O为坐标原点，OC，OB所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系．
，则，
则，，，，
所以，,，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
，所以平面平面，所以B选项正确；
则，故异面直线与所成角的余弦值为,所以C选项正确；
在直三棱柱中，，，,,三棱柱可以放入边长为1的正方体中，
正方体的外接球是三棱柱的外接球,点，，，均在半径为的球面上, 所以D选项错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示得，再由基本不等式计算即可.
【详解】∵，∴，即．
又，，
则，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为8．
故答案为：8．
14. 若函数为偶函数，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意可知为偶函数，所以，根据可得解
【详解】，
，
为偶函数，
，
，
或.
故答案为：或.
15. 点，，，则点A到直线的距离是________．
【答案】．
【解析】
【分析】由数量积求出的余弦值，由平方关系得其正弦值，再由计算出距离．
【详解】，，，，
，又，
所以，
所以到直线的距离为．
故答案为：．
16. 若存在实数使得，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用其单调性及最值计算即可.
【详解】不等式，
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，
又由题意知存在实数使得成立，
故时满足题意，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角的对边分别为.
（1）求角的大小；
（2）为边上一点，，求边的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用正弦定理再根据辅助角公式得，最后结合角的范围即可求解；
（2）根据面积关系化简求值即得.
【小问1详解】
，
由正弦定理可得，
即，
，
又.
又.
【小问2详解】
即，解得
18. 已知等比数列的前项和为，且：
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系式求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设等比数列公比为，
时，时，.
，
，
【小问2详解】
由（1）得，由题得，
19. 已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，，点E在棱BC上.
（1）若E为BC的中点，求直线SE与平面SCD所成角的正弦值；
（2）是否存在一点E，使得点A到平面SDE的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，2
【解析】
【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；
(2)设点E坐标，利用空间向量法求出平面SDE的法向量，结合向量法即可求出点A到平面SDE的距离，列出等式，解之即可.
【小问1详解】
由平面，平面得，又，
以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，，，
所以，，.
设平面SCD的法向量为，
则，则，令，得.
设直线SE与平面SCD所成的角为θ，则，
所以直线SE与面SCD所成角的正弦值为.
【小问2详解】
设，平面SDE的法向量为，
则，则，
令，则.
又，
当点A到平面SDE的距离为，
则，
解得，
所以存在点，使得点A到平面SDE的距离为，
此时.
20. 已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
（1）求实数a的值；
（2）证明：有唯一零点．
【答案】（1）1 （2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）易判断单调递增，令，即可得，令即可求；
（2）由导数判断单调递增，即可得证.
【小问1详解】
由易判断在单调递增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由题意，即，
所以；
【小问2详解】
，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以，
结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性.
21. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
参考数据：，，
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.
【答案】（1）分布列见解析，数学期望；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，X的所有可能取值为1，2，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列以及期望；
（2）根据题意，由正态分布可得，然后由二项分布的期望公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题可知X的所有可能取值为1，2，3，4，则
，，
，
∴X的分布列如下：
.
【小问2详解】
∵.
∴符合该项指标的学生人数为：人，
每个学生通过选拔概率对，
∴最终通过学校选拔人数，，
∴.
22. 已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.
X
1
2
3
4
P
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过推理得到是的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.
【详解】，
故是的真子集，
故，，，，
故A，B，D均错误，C正确.
故选：C.
2. 定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，
又函数是偶函数，则，变形可得，
则有，进而可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
则.
故选：C.
3. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，求得，结合配方法，求得其最小值，结合选项，即可求解.
【详解】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，设，可得，，，
则，，.
所以，
所以，
所以，
即，所以，
结合选项，可得不可能的值为.
故选：D.
4. 已知为数列的前项和，，，则（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】利用求得，进而求得.
【详解】当时，，因为，所以．
当时，由得，
两式相减可得，即．
因为，所以，，…，，可得，
所以.
故选：C
5. 已知正方体的棱长为1，则与平面平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作，延长交、延长线于M、H，连接MK、交，于，则截面为六边形，求出当截面为正六边形时，平面截此正方体所得截面面积最大.
【详解】作，延长交、延长线于M、H，
连接MK、交，于，则截面为六边形，
因为，平面，平面，
显然平面平面，此时平面即为截面，
当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，
如下图，六边形在正方体底面的投影为六边形，
设
所以，
当时，取得最大值.
平面为正六边形，边长为，
故正六边形面积为S=6×.
故选：A.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象的一条对称轴为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出平移后对应的函数解析式，从而可求对称轴的方程，故可得正确的选项.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
令，解得，所以对称轴为，
当时，，故C正确，
分别令，，，
所得的分别为，它们均不为整数，
故ABD不正确.
故选：C.
7. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，平面平面，为等边三角形，则四棱锥的外接球体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求得的外接球半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解.
【详解】记的中点为，连接，，连接，
设所在圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，
因为为等边三角形，，所以圆的半径，
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为底面是矩形，所以是底面外接圆的圆心，故平面，
所以，
同理，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以球的半径，
所以外接球的体积为.
故选：D.
8. 在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为（ ）
A. 一个定点B. 一个平面上任意一点
C. 一条直线上任意一点D. 一个圆上任意一点
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到在过点且与垂直的一个平面内，根据与不平行得到平面与平面一定相交，即可得到点在交线上运动.
【详解】
在正方体中，
因为，所以在过点且与垂直的一个平面内，
即为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，与不平行，
所以平面与平面一定相交于直线，
所以点在直线上运动．
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，可得或，再结合选项，即可得答案.
【详解】解：因为“或”是“”的必要不充分条件，
所以 或
所以或，
即或.
故选：ACD.
10. 数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 是周期数列C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】依次取即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确.
【详解】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
11. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 在中，若，则为等腰三角形
C. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则或
D. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正弦定理，可判定A错误；根据向量数量积的运算法则和余弦函数的性质，可判定B正确；根据复数分类和复数的运算法则，可判定C错误，D正确.
【详解】对于A中，由正弦定理可得，
因为，则符合条件的有1个，所以A错误；
对于B中，因为，所以，
即，
即，所以，
又因为，所以，所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C中，因为为纯虚数，则，
解得，所以C错误；
对于D中，复数，
所复数对应的点的坐标是 在第三象限，所以D正确；
故选：BD.
12. 如图，在直三棱柱中，，，则（ ）
A. 平面
B. 平面平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点，，，均在半径为的球面上
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理得出A选项，根据空间向量法判断面面垂直及异面直线所成角判断B,C选项，根据外接球直径判断D选项.
【详解】平面，平面，平面，所以A选项正确；
取AB的中点O，连接CO，则，以O为坐标原点，OC，OB所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系．
，则，
则，，，，
所以，,，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
，所以平面平面，所以B选项正确；
则，故异面直线与所成角的余弦值为,所以C选项正确；
在直三棱柱中，，，,,三棱柱可以放入边长为1的正方体中，
正方体的外接球是三棱柱的外接球,点，，，均在半径为的球面上, 所以D选项错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示得，再由基本不等式计算即可.
【详解】∵，∴，即．
又，，
则，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为8．
故答案为：8．
14. 若函数为偶函数，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意可知为偶函数，所以，根据可得解
【详解】，
，
为偶函数，
，
，
或.
故答案为：或.
15. 点，，，则点A到直线的距离是________．
【答案】．
【解析】
【分析】由数量积求出的余弦值，由平方关系得其正弦值，再由计算出距离．
【详解】，，，，
，又，
所以，
所以到直线的距离为．
故答案为：．
16. 若存在实数使得，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用其单调性及最值计算即可.
【详解】不等式，
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，
又由题意知存在实数使得成立，
故时满足题意，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角的对边分别为.
（1）求角的大小；
（2）为边上一点，，求边的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用正弦定理再根据辅助角公式得，最后结合角的范围即可求解；
（2）根据面积关系化简求值即得.
【小问1详解】
，
由正弦定理可得，
即，
，
又.
又.
【小问2详解】
即，解得
18. 已知等比数列的前项和为，且：
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系式求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设等比数列公比为，
时，时，.
，
，
【小问2详解】
由（1）得，由题得，
19. 已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，，点E在棱BC上.
（1）若E为BC的中点，求直线SE与平面SCD所成角的正弦值；
（2）是否存在一点E，使得点A到平面SDE的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，2
【解析】
【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；
(2)设点E坐标，利用空间向量法求出平面SDE的法向量，结合向量法即可求出点A到平面SDE的距离，列出等式，解之即可.
【小问1详解】
由平面，平面得，又，
以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，，，
所以，，.
设平面SCD的法向量为，
则，则，令，得.
设直线SE与平面SCD所成的角为θ，则，
所以直线SE与面SCD所成角的正弦值为.
【小问2详解】
设，平面SDE的法向量为，
则，则，
令，则.
又，
当点A到平面SDE的距离为，
则，
解得，
所以存在点，使得点A到平面SDE的距离为，
此时.
20. 已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
（1）求实数a的值；
（2）证明：有唯一零点．
【答案】（1）1 （2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）易判断单调递增，令，即可得，令即可求；
（2）由导数判断单调递增，即可得证.
【小问1详解】
由易判断在单调递增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由题意，即，
所以；
【小问2详解】
，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以，
结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性.
21. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
参考数据：，，
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.
【答案】（1）分布列见解析，数学期望；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，X的所有可能取值为1，2，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列以及期望；
（2）根据题意，由正态分布可得，然后由二项分布的期望公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题可知X的所有可能取值为1，2，3，4，则
，，
，
∴X的分布列如下：
.
【小问2详解】
∵.
∴符合该项指标的学生人数为：人，
每个学生通过选拔概率对，
∴最终通过学校选拔人数，，
∴.
22. 已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.
X
1
2
3
4
P
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