陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一次模拟考试文科数学试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一次模拟考试文科数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.RB.C.D.
2．某高校对中文系新生进行体测,利用随机数表对650名学生进行抽样,先将650名学生进行编号,001,002,…,649,650.从中抽取50个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是( )
32,21,18,34,29,78,64,54,07,32,52,42,06,44,38,12,23,43,56,77,35,78,90,56,42
84,42,12,53,31,34,57,86,07,36,25,30,07,32,86,23,45,78,89,07,23,68,96,08,04
32,56,78,08,43,67,89,53,55,77,34,89,94,83,75,22,53,55,78,32,45,77,89,23,45
A.623B.328C.072D.457
3．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．等于( )
A.B.C.D.1
5．在中,点D是线段AC上一点,点P是线段BD上一点,且,,则( )
A.B.C.D.
6．已知圆,直线,若圆C上任意一点关于直线的对称点仍在圆C上,则点必在( )
A.一个离心率为的椭圆上B.一个离心率为2的双曲线上
C.一个离心率为的椭圆上D.一个离心率为的双曲线上
7．一个四面体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积与体积之和为( )
A.B.C.D.
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有这样一个相关的问题:被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.60B.61C.75D.76
9．在平面直角坐标系xOy中,抛物线的焦点为F,M是抛物线C上的点,若的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆面积为,则( )
A.B.C.D.
10．如图,在直三棱柱中,为等腰直角三角形,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
11．已知定义在上的可导函数,满足,且.若,则满足的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．已知函数,关于有下面说法:①函数的最小正周期为.
②函数在单调递减.
③函数的图像关于点对称.
④函数的最小值是.则正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
13．若x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为________.
14．已知,x,,i是虚数单位,复数是实数.则的最小值为________.
15．某网店统计了A商品最近40天的日销售量,日销售量依次构成数列,已知,且,则A商品这40天的总销量为________.
16．若不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.
三、解答题
17．我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
（1）求x和y的值.
（2）分析调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
（3）在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率.
参考公式：，
18．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.
（1）求B;
（2）若的面积等于,求的周长的最小值.
19．如图,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,点F在底面圆O上,圆O的半径为1,,点G是线段BF的中点.
（1）证明:平面DAF;
（2）若直线DF与圆柱底面所成角为,求点G到平面DEF的距离.
20．已知椭圆的短轴长等于焦距,且过点
（1）求椭圆C的方程;
（2）P为直线上一动点,记椭圆C的上下顶点为A,B,直线PA,PB分别交椭圆C于点M,N,当与的面积之比为时,求直线MN的斜率.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若存在两个极值点,,证明:.
22．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（2）曲线与交于A,B两点,求直线AB的直角坐标方程及.
23．已知函数.
（1）若,求的解集;
（2）若关于x的不等式有解,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得,解得或,所以,
由的值域为R,所以,即,
所以,故C正确.
故选:C.
2．答案：A
解析：从第5行第6列开始向右读取数据,
第一个数为253,第二个数是313,
第三个数是457,下一个数是860,不符合要求,
下一个数是736,不符合要求,下一个是253,重复,
第四个是007,第五个是328,第六个数是623,,故A正确.
故选:A.
3．答案：A
解析：因为圆内切于圆,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
4．答案：C
解析：
.
故选:C
5．答案：A
解析：因为,所以,即,
又,所以,
因为点P是线段上一点,即B,P,D三点共线,
所以,解得.
故选:A
6．答案：B
解析：圆的圆心为,
依题意可知直线l过圆C的圆心,则,
所以点必在双曲线即上,且该双曲线的离心率.
故选:D.
7．答案：A
解析：由题意得四面体的直观图如图所示,侧面底面ABC,
且,,
故四面体的外接球球心即为AC的中点O,
所以外接球的半径为1,外接球的体积为,
外接球的表面积为,
所以,故A正确.
故选:A.
8．答案：B
解析：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8,公差为15的等差数列,
所以,
,
当且仅当,即时取等号,
当时取最小值为61.
故选:B.
9．答案：D
解析：因为的外接圆与抛物线C的准线相切,所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,因为圆面积为,所以圆的半径为,
又因为圆心在OF的垂直平分线上,所以圆心的横坐标为,
则圆心到准线的距离为,解得,
在中,由正弦定理得,其中R是外接圆半径,
即,所以,
故选:D
10．答案：B
解析：将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱:
连接,AD,则,
则异面直线与所成角的平面角为(或其补角),
又,,
由余弦定理可得:,
所以,故B正确.
故选:B.
11．答案：C
解析：因为,,所以,
所以函数在R上是减函数,
又因为,所以,
所以函数为奇函数,
因为,所以,
由,得,即,
所以,解得,
所以满足的x的取值范围是.
故选:C.
12．答案：C
解析：对于①项,由题意,由的最小正周期为,的最小正周期为,
且,故是函数的最小正周期,故①项正确;
对于②项,由
可得:,
当时,,故此时,
即函数单调递增,故②项错误;
对于③项,因函数定义域为R,且
,
所以故函数关于点对称,故③项正确;
对于④项,由①知函数的最小正周期为,
故只需考虑时函数的性质.
由可得:或.
因,则,
故当时,,则,在单调递增;
当时,,则,在单调递减;
当时,,则,在单调递增;
而,,
即时,,故当时,有,故④项正确.
综上所述:①③④正确,②错误,故C正确.
故选:C.
13．答案：
解析：不等式组对应的可行域如图所示,初始直线为:,
将初始直线平移至A,取最小值,
由可得,故,
所以,
故答案为:.
14．答案：
解析：因为
,
又复数是实数,所以,即,
所以,
所以当,时.
故答案为:
15．答案：1160
解析：当时,,
当时,,
故且,故,
故前40天的总销量为:
.
故答案为:1160.
16．答案：
解析：不等式移项可得,
设,则,
设,则恒成立,
所以函数在上单调递减,
因为,
所以,使得,①
所以在上单调递增,在上单调递减,最大值为,
所以当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
,代入①可得,
所以,所以实数a的取值范围为,
故答案为:.
17．答案：（1）,
（2）有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
（3）
解析：（1）由题意得，.
（2）由，得，
有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.
（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2，
来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d，
选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，
基本事件为：，,,,,,,,,,,，,,,
事件,,,,,,,,共有9个，
或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
因为,
所以,
所以,
,所以,
所以,;
（2）
依题意,,
所以,当且仅当时取等号,
又由余弦定理得,
,当且仅当时取等号,
所以的周长最小值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取AF中点M,连接DM,GM,如图所示:
G为BF中点,则,又,得,
由,,得,
所以四边形DEGM为平行四边形,,
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF.
（2）因为,,,所以.
因为平面,且直线与圆柱底面所成角为,
所以,则有.
如图,以F为原点,FB,FA分别为x,y轴,过F垂直于底面的直线FN为z轴,建立空间直角坐标系,
则有,,,,,,,
,,
设平面DEF的一个法向量为,则,
令,有,得,
,
设点G到平面DEF的距离为d,
.
故点G到平面DEF的距离.
20．答案：（1）
（2）0
解析：（1）由题意可得,解得,,
所以椭圆的方程为.
（2）因为,,
设,,,
则直线PA的方程的方程为,
联立,消去y可得,
,
解得,代入直线方程可得,故,
直线PB的方程为,由,消去y可得,,
解得,,故,
设与的面积分别为,,则,
因为,且P,A,M三点共线,P,B,N三点共线,结合距离公式化简可得
,
由,化简解得,
当时,,,MN的斜率为,
当时,,,MN的斜率为,
综上,直线MN的斜率0.
21．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为,则函数的导数,
设,注意到,
①当时,恒成立,即恒成立,此时函数在上是减函数;
②当时,判别式,
(i)当时,,即,即恒成立,此时函数在上是减函数;
(ii)当时,令,得:,
令,得:或;
所以当时,在区间单调递增,在,单调递减;
综上所述,当时,在上是减函数,
当时,在,上是减函数,
在区间上是增函数.
（2）由（1）知,,,
则
,
则,则问题转为证明即可,
即证明,则,
即,即证在上恒成立,
设,,其中,
求导得,
则在上单调递减,
所以,即,
故,则成立.
22．答案：（1）曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为
（2）直线,
解析：（1）因为曲线的参数方程为(为参数),
所以,因为曲线的极坐标方程为,
所以,
所以,
所以曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;
（2）由题设,曲线的方程与曲线方程作差,
得公共弦所在直线方程为,所以直线AB的方程为,
设曲线圆心到直线AB的距离为d,
所以,所以.
23．答案：（1）
（2）.
解析：（1）当时,,
当时,由,解得,当时,由,解得.
故的解集为.
（2）当时,恒成立,故,又,即,故,
所以m的取值范围为.
非一线
一线
总计
愿生
40
y
60
不愿生
x
22
40
总计
58
42
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828