西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知角的终边经过点,且,则( )
A.B.1C.2D.
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知,若与的夹角为,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行,本届亚运会会徽“潮涌”主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成,其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形,内环半径为1,外环半径为3,扇环所对圆心角为,则该扇面的面积为( )
A.B.C.D.
5．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,且,则( )
A.B.C.D.
6．函数的图象如图所示,其中,,,则下列关于函数的说法中错误的是( )
A.在上单调递减B.
C.最小正周期是D.对称轴是直线
7．如图所示,中,点D是线段中点,E是线段的靠近A的三等分点,则( )
A.B.C.D.
8．已知外接圆圆心为O,G为所在平面内一点,且,若,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．有下列说法,其中正确的说法为( )
A.若,,则
B.若,则P是三角形的垂心
C.两个非零向量,,若,则与共线且反向
D.若,则存在唯一实数使得
10．在中,角A,B,C的边分别为a,b,c,已知,,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.周长的最大值为D.面积的最大值12
11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静,它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声,已知某噪声的声波曲线且经过点,则下列说法正确的是( )
A.函数是偶函数
B.函数在区间有最大值2
C.,使得
D.若对,都有,则
三、填空题
12．若向量,的夹角为钝角,则实数t的取值范围为____________．
13．在中,,,,的角平分线交于D,则_________
14．已知满足三个条件,其中两个条件分别是：,．若这样的恰好有2个,则第三个条件可以是_________（选出所有符合要求的答案的序号）
①,
②,
③是等腰三角形,
④是直角三角形
四、解答题
15．已知向量,,
（1）若向量与垂直,求与夹角的余弦值;
（2）若,且与共线,求k的值．
16．已知函数,其图象关于点中心对称．
（1）求函数的单调递减区间;
（2）将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,然后再向右平移个单位长度得到的图象．若,,求的值．
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．
（1）求的大小;
（2）若,且的面积为,求的长度;
（3）若为锐角三角形,,求的面积的取值范围．
18．已知向量,,函数．
（1）求的值;
（2）当时,方程有解,求实数m的取值范围;
（3）是否存在正实数a,使不等式对所有恒成立？若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由．
19．将所有平面向量组成的集合记作,f是从到的映射,记作或,其中,,,,,都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值,记作．若存在非零向量,及实数使得,则称为f的一个特征值．
（1）若,求;
（2）若,计算f的特征值并求出相应的;（若符合条件的向量有多个,写出其中一个即可）
（3）若,要使f有唯一的特征值,实数,,,应满足什么条件？试找出一个映射f,满足以下两个条件：①有唯一的特征值;②,并验证f满足这两个条件．
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,角的终边经过点,且,
所以,又,解得,
故选：D.
2．答案：A
解析：若,则,
所以,即充分性成立;
若,则,即,
所以不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
3．答案：C
解析：根据投影向量的概念,在上的投影向量为：.
故选：C.
4．答案：B
解析：依题意,该扇面面积为.
故选：B.
5．答案：C
解析：由正弦定理,,
可得：或.
又,且,可得或（舍去）.
故选：C.
6．答案：A
解析：由图象易知：;
;
由,
又,所以.故BC内容正确;
因为,
,,
,所以函数在不是减函数,故A错;
由,即为函数的对称轴,故D对.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题意：.
故选：B.
8．答案：D
解析：取的中点D,连接,则,
由,知G为的重心,则G在上,
所以,而,
所以A,G,O,D四点共线,所以,即,
不妨令,则,,则,
所以．
故选：D．
9．答案：BC
解析：对于A,当时,与不一定共线,故A错误;
对于B,由,得,
所以,,
同理,,故P是三角形的垂心,故B正确;
对于C,由共线向量的性质可知,若,则与共线且反向,故C正确;
对于D,当,时,显然有,但此时不存在,故D错误.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：对A：由正弦定理可得：,故A正确;
对B：由余弦定理可得：,
又,所以,故B错误;
对C：由余弦定理,
所以,
又.
所以（当且仅当时取“”）.
此时周长的最大值为.故C正确;
对D：由余弦定理（当且仅当时取“”）,
此时,故D错误.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：因为经过,
所以,即,,解得,,
又,所以,则,
对于A,,
时,令,可得,
故为偶函数,所以A正确;
对于B,时,,所以当时,即时,有最大值,所以B正确;
对于D,
,
因为对,都有,
所以,所以D正确;
对于C,当,时,由选项D可知,
当,时,
,
当,时,
,所以C错误．
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为向量,的夹角为钝角,
所以且,不同向共线,
由;
由;
所以,的夹角为钝角,可得的取值范围是：.
故答案为：.
13．答案：4
解析：在中,由余弦定理得,
则,即,
解得,（负值舍）,
而平分,即,
又,故,
则.
故答案为：4.
14．答案：①④
解析：①②,对给定的B,
,
若满足给定条件的恰好有2个,
则B为锐角,且解出的A有两个解,分别为一个锐角,一个钝角,
则,解得,
由于在上单调递增,故,
即,解得,即,
故①正确,②错误;
③,若为等腰三角形,分三种情况,
若,则,
又,故,解得,
此时,,
若,则,,
又,
故,
设,为连续函数,
则,
,
由零点存在性定理可得在上至少有1个零点,
即存在,使得有解,满足条件;
若,,,
又,故,
整理得,
设,为连续函数,
则,,
由零点存在性定理可得在上至少有1个零点,
即存在,使得有解,满足条件;
又当时,不满足,
故上面的三个等腰三角形不会重复,
综上,至少有3个满足要求,③错误;
对于④,为直角三角形,分三种情况,
若,则,
由于方程无解,故不存在,
若,,
由于,故,此时,满足要求,
若,则,
,
由于,故,
因为,所以,此时,满足要求,
综上,有2个满足要求,④正确.
故答案为：①④.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,,
（2）
,,
,又,与共线,
,.
16．答案：（1）的单调递减区间为
（2）
解析：（1）,
,
因为图象关于点中心对称,
,,
,
,,,
,
令,
,
的单调递减区间为;
（2）由题意得：,
,,
,,
,
,
.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由及正弦定理,
得,
因为,且,
所以,即,
因为,所以,即;
（2）由的面积为,得,
,,
又因为,,,,,,
在中,由余弦定理,得,
所以．
（3）法一：由余弦定理,得,
将代入,整理,得,
因为为锐角三角形,
,即,解得：,
.
法二：,
因为为锐角三角形,
,,,
,.
18．答案：（1）
（2）
（3）存在,
解析：（1）由题意可知：,
可得.
（2）令,
因为,则,,
可得,
且的图象开口向上,对称轴为直线,可知在上单调递减,
则,,
因为方程在有解,
可得,解得.
（3）存在,符合题意,
因为,
则,
不等式可化为对恒成立,
令,,
则,解得,
若,则,可知的开口向下,
则,可知符合题意,
综上所述：a的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）特征值为,（写出一个符合条件的即可）
（3）,映射见解析
解析：（1）
当时最大为1,即.
（2）由得,
即, ,
当特征值时,;当特征值时,
（3）,
所以
所以,要使f有唯一的特征值,则
当,时,
此时,f有唯一的特征值
且由于,所以：