新疆生产建设兵团第四师第一中学2024届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份新疆生产建设兵团第四师第一中学2024届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则等于( )
A.B.C.D.
2．已知复数则复数z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知抛物线()的焦点为F,点A为抛物线上一点,,若,则点B的纵坐标是( )
A.B.C.D.
4．若函数与在区间上都是减函数,则a的取值范围( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的左右焦点分别为,,过的直线与C交于A,B两点,其中A为椭圆与y轴正半轴的交点.若,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．已知,则的值为( )
A.B.C.D.
7．设是首项为等比数列,公比为q,则“”是“对任意,”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．若为锐角,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知一组个数据：，，，满足：，平均值为M，中位数为N，方差为，则( )
A.
B.
C.函数的最小值为
D.若，，，成等差数列，则
10．下列求解结果正确的是( )
A.
B.
C.不等式的解集为
D.若,则
11．狄里克雷是德国数学家,是解析数论的创始人之一,对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,于1837年提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点,用其名字命名的“狄里克雷函数”为,下列叙述中正确的是( )
A.偶函数B.C.D.
三、填空题
12．在报名的名男教师和名女教师中,选取人参加义务献血,要求男,女教师都有,则不同的选取方式的种数为________(结果用数值表示).
13．已知函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围为__________.
14．已知双曲线的左,右焦点分别为,,两条渐近线的夹角正切值为,则双曲线E的标准方程为_____
四、解答题
15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）若B为直角,求a;
（2）若,求.
16．如图,在长方体中,,,N为CD中点,M为中点.
（1）求证:平面;
（2）若AN与BD交于点Q,求与平面所成角的正弦值.
17．已知函数,,其中.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;
（2）若过点且与曲线相切的直线有两条,求的取值范围;
（3）当时,恒成立,求实数的取值范围.
18．已知等差数列的前n项和为,且,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,令,求数列的前n项和.
19．已知函数.
（1）设是的极值点,求a的值并求的单调区间;
（2）若不等式在恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为集合,所以,
则等于.
故选:C.
2．答案：A
解析：复数,则复数z在复平面内对应的点在第一象限.
故选:A.
3．答案：A
解析：因为,由抛物线的焦半径公式可得,即,且
所以,设,则,
又,则,解得,所以点B的纵坐标是.
故选:A
4．答案：A
解析：由题意,函数为开口向下的二次函数,对称轴为
故在单调递减,
若在区间上单调递减
则
函数,
若在区间上是减函数
故,且或,即或
综上a的取值范围是
故选:A
5．答案：D
解析：由已知可得,,
设,因为,所以,即,
求得,
代入椭圆方程可得,,即,
解得.
故选:D.
6．答案：B
解析：因,则
,
所以的值为.
故选:B
7．答案：C
解析：因为数列是首项为的等比数列,公比为,则,
当时,,
因为,,所以,,
所以,所以;
当时,有,
因为,所以,所以,故;
则“”是“对任意的,”的充分必要条件,选项C正确.
故选:C.
8．答案：C
解析：由
,
又为锐角,.
故选:C.
9．答案：BCD
解析：A：当时.一组数据1，2，4，17，则不在2，4之间，故A错误；
B：由中位数定义知：B正确；
C：，当时，取最小值为，C正确；
D：若，，，，成等差数列，则，故D正确.故选BCD.
10．答案：AD
解析：对于A选项:
,所以A选项正确;
对于B选项:
,所以B选项错误;
对于C选项:因为且,当时取等号,
则,即或,解得:或,
所以不等式的解集为,所以C选项错误;
对于D选项:若,则且,
即,
所以,所以D选项正确.
故选:AD
11．答案：ABD
解析：A.当x是有理数,则-x是有理数,当x是无理数,则-x是无理数,所以,则是偶函数,故正确;
B.当x是有理数,则有理数,当x是无理数,则是无理数,所以,故正确;
C.当时,,,故错误;
D.当x是有理数时,,当x是无理数时,,故正确,
故选:ABD
12．答案：16
解析：由题意可知,所选的人中应为两男一女和两女一男,由分类计数原理可知,不同的选取方式的种数为.
故答案为16.
13．答案：
解析：即有3个不同实根,显然,亦即函数与函数有三个不同的交点,作出图像如图所示,
由图像可知,的图像与函数的图像相切为临界,
联立与,可得,
由,解得或,
结合图像易知不符合题意,
则当时函数与函数有三个不同的交点
故答案为:.
14．答案：
解析：设双曲线E的一条渐近线的倾斜角为,,
因为,所以,从而,
解得或(舍去),
所以,又,所以,,
所以双曲线E的标准方程为.
故答案为:.
15．答案：（1）3;
（2）5.
解析：（1）因为,则由正弦定理得:.
因为B为直角,所以,则,解得或(舍去).
（2）由已知,得,
,
,
于是,由余弦定理得:,
即,解得或(舍去).
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）建立以D为原点,AD为x轴,DC为y轴,为z轴的坐标系,
设,则,,,,,
所以,,
所以,
所以,,,AN,面ANM,
所以面ANM
（2）易知,则,
又,,
,,,
设平面的法向量为,
则
可得,
则,
所以与平面所成角的正弦值为
17．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）,
直线的斜率为,因为曲线在点处的切线与直线垂直,所以曲线在点处的切线为,故;
（2）设曲线的切点为,
斜率为,切线方程为:
,,
切线过点,所以,或,
由题意可知:过点且与曲线相切的直线有两条,所以有
;
（3）构造函数,
因为,所以
,设,
,
,所以
因此,当时,即当时,当时,单调递增,所以当时,成立,故符合题意;
若时,的最小值为负数,即,设,所以在上单调递减,在上单调递增,而,所以在内,这样在上,不恒成立,所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的首项为,公差为d,
依题意有,
解得,,所以.
（2）,
设,
,
两式相减得
,
所以.
设,
所以.
19．答案：（1）;在单调递减,在单调递增;
（2）.
解析：（1）由题设知,,所以,
经检验符合题意;
从而,,
当时,;当时,
所以在单调递减,在单调递增.
（2）恒成立,即恒成立
设,则
设,,
所以在单调递减,又
,;,
单调增区间是,单调减区间是
,
即a的取值范围为.