珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
2．记等差数列的前n项和为，，，则( )
A.120B.140C.160D.180
3．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．在数列中，若，且，则这个数列前30项的绝对值之和为( )
A.495B.765C.46D.76
5．若数列满足，，（且），则的值为( )
A.3B.2C.D.
6．已知函数，若时，取极值0，则的值为( )
A.3B.18C.3或18D.不存在
7．函数的图像大致是( )
A.B.
C.D.
8．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.若，则
B.
C.
D.
10．下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
11．已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是( )
A.
B.使得成立的最大自然数
C.
D.中最小项为
三、填空题
12．已知函数是可导函数，且，则______.
13．已知数列满足，，则数列的通项公式为__________.
14．已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
15．在正项等比数列中,,．
（1）求的通项公式;
（2）若,证明是等差数列,并求的前n项和．
16．已知函数．
（1）求的图像在点处的切线方程；
（2）求在上的值域．
17．某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元.同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同.
（1）设第n年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
（2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）.
18．已知函数，.
（1）若，求m的值及函数的极值；
（2）讨论函数的单调性：
（3）若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.
19．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，.
（1）求，的通项公式；
（2）已知，求：；
（3）求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：由函数的图象可知：当时，单调递增，
且增速变缓慢，，表示直线的斜率，根据导数的几何意义可知，，故选：B.
2．答案：C
解析：因为，所以，所以，
所以，
3．答案：D
解析：依题意知，有两个不相等的零点，故，解得且.
4．答案：B
解析：由题意，可知，即，即数列为公差为3的等差数列，又由，所以，，可得当，时，，当，时，，所以数列前30项的绝对值之和为：
.
5．答案：A
解析：因为，，（且），所以，，，，，，所以数列具有周期性，且，所以.
6．答案：B
解析：由，得时，取得极值0，所以，解得或，当时，，此时函数在在处取不到极值；经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；所以，所以.
7．答案：C
解析：令，，因为，所以是奇函数，排除B，又当时，恒成立，排除A，当时，，，，，函数单调递增，当时，，即函数单调递减，故D不正确.
8．答案：C
解析：由得：令，则在上单调递减，由定义域为可得：，解得：，即：，，解得：.综上所述：.
9．答案：AC
解析：对于A，若，则，故A正确;对于B，，故B错误;对于C，，故C正确;对于D，，故D错误.故选AC.
10．答案：AD
解析：设，则，当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，因，故，即，故A正确；因，故，即，故B错误；因，故，即即，故C错误；因，故即，故D正确；故选：AD.
11．答案：AD
解析：根据题意：，，即，两式相加，解得：，故A正确.由，可得到，所以，，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B错误.当，或时，；当时，；由，，所以中最小项为，故D正确.
12．答案：1
解析：解：因为函数是可导函数，且，
所以，根据导数的定义，.
故答案为：1.
13．答案：
解析：由得，为等差数列，公差为1，首项为1，，.
14．答案：
解析：由题意知，由题意，且的对称轴为直线，所以当时，.设，则，所以，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.又，，，所以在区间上只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，所以当时，，所以，即.因此，实数a的取值范围是.
15．答案：（1）
（2）证明见解析,
解析：（1）设的公比为,由,得,
解得或（舍去）,
因为,所以.
（2）由（1）可知,,则.
因为,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
故.
16．答案：（1）；
（2）．
解析：（1）因为，所以，所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）由（1）知，．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，，
所以，即在上的值域为．
17．答案：（1），，，
（2）该公司从第8年开始盈利
解析：（1）由题知：，当，，解得，
所以，，，.
（2）当时，总利润.因为，，，，为增函数，且，，所以当时，，当时，，因为，，
所以时，，即前6年未盈利.当时，，令，解得，所以该公司从第8年开始盈利.
18．答案：（1），极大值为，无极小值
（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
（3）1
解析：（1）的定义域为，因为，，则，解得.当时，，.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以在时取得极大值且极大值为，无极小值.
（2）因为，当时，在上恒成立，此时在上单调递增；当时，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解法一：若对定义域内的任意x，都有恒成立，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则.设，则所以在上单调递减，因为，，所以，使得，即.
当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以.因为，所以故整数m的最小值为1.
解法二：若对定义域内的任意x，都有恒成立，由（2）可知，当时，在上单调递增，因为，显然不符合对定义域内的任意x，都有恒成立；由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大.若对定义域内的任意x，都有恒成立，只需要即可.设，显然在上单调递减，因为，，，所以要使，只需要整数，故整数m的最小值为1.
19．答案：（1），
（2）
（3）证明见详解
解析：（1）因为，所以数列为等差数列，设公差为d，
因为，所以数列为等比数列，设公比为q，且，
因为，，，
所以，即，解得，所以，.
（2）由（1）可知，由，
记
作差，得：
，
所以，，
令
，
.
（3）令，因为，且，
所以成立；
因为，
所以，
因为，所以，故，综上，所以.