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2023年河南省南阳市方城县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省南阳市方城县中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算|−2|的结果为( )
A. 2B. −2C. −12D. 12
2.如图是正方体的展开图，每个面内都写有汉字，折叠成立体图形后“届”的对面是( )
A. 十
B. 四
C. 运
D. 会
3.2015年3月，我国成功发射了首颗新一代北斗导航卫星，它运行在距离地球3.6万公里的地球同步轨道上，将3.6万用科学记数法表示为( )
A. 36×104B. 3.6×104C. 0.36×105D. 3.6×105
4.下列正确的是( )
A. a7+a6=a13B. a7⋅a6=a42C. (a7)6=a42D. a7÷a6=76
5.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1=65°，则∠2的度数为( )
A. 15°
B. 35°
C. 25°
D. 40°
6.若函数y=(a−3)x2−x+1(a为常数)的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足( )
A. a=134且a≠3B. a=134C. a=3D. a=134或 a=3
7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )
A. 2
B. 52
C. 5
D. 258
8.从边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中任选两种不同的正多边形，能够进行平面镶嵌的概率是( )
A. 15B. 310C. 25D. 12
9.将点P(−3,b)向下平移3个单位，再向左平移5个单位后，得到点Q(a3,1)，则a+b的值为( )
A. 6B. 2C. −6D. −2
10.设线段MN长为600m，甲、乙两质点同时从M点出发朝N点做匀速直线运动，到达N点后即停止.已知甲质点运动速度比乙质点运动速度快，且甲运动一段时间后停止一会儿又继续按原速度运动，直至到达N点.如图，该图表示甲、乙之间的距离y(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0)，C点横坐标为128.下列说法：①当x=60时，y=120；②△OAB的面积为200；③D点的横坐标为200；④y的最大值为216.其中正确的有( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.代数式 x+1x中，自变量x的取值范围是______；代数式 x2+1中，自变量x的取值范围是______．
12.若点P(2x−3,5−3x)在第四象限，则x的取值范围为______．
13.小王家今年1～5月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为______．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是AC中点，连接BD，将△ABD沿BD折，得到△A′BD，连接A A′、CA′，若BC=1，则A′C的长度为______．
15.正方形的一条对角线长为4，这个正方形的周长是______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算．
(1)(−1)3+ 8−|1− 2|
(2)2 12−6 13+3 48．
17.(本小题6分)
某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，a的值为______，b的值为______；
(2)在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．
18.(本小题6分)
小颖站在自家阳台的A处用测角仪观察对面的商场，如图，在A处测得商场楼顶B点的俯角为45°，商场楼底C点的俯角为60°，若商场高17.6米，小颖家所在楼房每层楼的平均高度为3米，则小颖家住在几楼？小颖家与商场相距多少米？(结果保留整数，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
19.(本小题6分)
如图，A点、B点的坐标分别是(−2,0)和(2,0)，
(I)请你在图中描出下列各点：C(0,5)，D(4,5)，E(−4,−5)，F(0,−5)；
(II)连接AC、CD、DB、BF、FE、EA，并写出图中的任意一组平行线．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B′处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C′处，CD与BE交于点F．
(1)求AC′的长度；
(2)求CE的长度；
(3)比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小，并说明理由．
21.(本小题7分)
小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．
(1)请求出A、B两款饰品的进价分别是多少？
(2)小李计划购进两款饰品共计100个(其中A款饰品最多62个)，要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案？
(3)小李最后准备将A、B两款饰品单价分别定为21元，28元，他计划按照(2)中能够获得最大利润的方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润率不低于35%，那么他给出的红包总额不能超过多少元？
22.(本小题8分)
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A.D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
23.(本小题8分)
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD⋅AC；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．ABBC=BDDC=1，求AFFC的值；
(3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F.若ABBC=BDDC=n，请探究并直接写出AFFC的所有可能的值(用含n的式子表示)，不必证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2．
故选：A．
利用绝对值的定义即可求解．
此题主要考查了绝对值的定义，比较简单．
2.【答案】D
【解析】解：∵由展开图可知“届”所在的面与“会”所在的面不存在公共点，
∴折叠成立体图形后“届”的对面是“会”．
故选：D．
根据正方体展开中相对的两个面不存在公共点回答即可．
本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，明确正方体展开中相对的两个面不存在公共点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：3.6万用科学记数法表示为3.6×104，
故选：B．
根据科学记数法表示大数a×10n，可得答案．
本题考查了科学记数法，科学记数法表示大数：a×10n，确定n的值是解题关键，n是整数数位减1．
4.【答案】C
【解析】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A不符合题意；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B不符合题意；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=65°，
∴∠3=65°，
∴∠2=90°−65°=25°．
故选：C．
先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】D
【解析】解：当a=3时，y=−x+1，
此时一次函数y=−x+1与x轴只有一个公共点，
当a≠3时，
当y=0时，(a−3)x2−x+1=0，
当(−1)2−4(a−3)=0时，二次函数与x轴只有一个交点，
∴a=134，
故选：D．
当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当y=0时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果．
本题考查了一次函数及其图象的性质，二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系等知识，解决问题的关键是分类讨论．
7.【答案】D
【解析】【分析】
先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AEO(AAS)，即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键．
【解答】
解：如图，连接EF，交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AEO中，
∠FCO=∠OAB∠FOC=∠AOEOF=OE，
∴△CFO≌△AEO(AAS)，
∴AO=CO，
∵AC= AB2+BC2=5，
∴AO=12AC=52，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=AEAC，
∴524=AE5，
∴AE=258．
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：分别用A、B、C、D、E表示正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，列表如下：
由列表可以看出，所有可能结果共有20个，能镶嵌成一个平面图案(记为事件G)的有AB、BA、AD、DA、EB、BE6个，
所以能够进行平面镶嵌的概率P(G)=620=310．
故选B．
此题需要两步完成，所以采用列表法比较简单，此题为不放回实验．列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
此题考查的是平面镶嵌，关键是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：将点P(−3,b)向下平移3个单位，再向左平移5个单位后，
则点Q的坐标为(−8,b−3)．
∴a3=−8，b−3=1，
∴a=−2，b=4，
∴a+b=−2+4=2．
故选：B．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，甲质点运动一段时间后停止了20−12=8(min)，当x=128时甲质点到达终点，
∴甲质点速度为600128−8=5(m/min)，
当x=20时，乙质点追上停止时的甲质点，
∴乙质点的速度为12×520=3(m/min)，
当x=60时，y=(60−8)×5−60×3=80，故①错误；
当x=12时，y=12×5−12×3=24，
∴A(12,24)，
∴S△OAB=12×20×24=240，故②错误；
∵600÷3=200，
∴D的横坐标为200；故③正确；
当x=128时，y=(128−8)×5−128×3=216，
∴y的最大值为216，故④正确；
∴正确的有③④，
故选：D．
由图象可知，甲质点运动一段时间后停止了20−12=8(min)，即可求得甲质点速度为600128−8=5(m/min)，乙质点的速度为12×520=3(m/min)，再逐项判断可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息，求出甲，乙的速度．
11.【答案】x≥−1且x≠0；全体实数
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件.掌握二次根式中，被开方数非负；分式的分母不能为0是解题的关键．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥−1且x≠0；
∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴x的取值范围是：全体实数．
故答案为x≥−1且x≠0；全体实数．
12.【答案】x>53
【解析】解：∵点P(2x−3,5−3x)在第四象限，
∴2x−3>05−3x<0，
解得：x>53，
则x的取值范围为x>53．
故答案为：x>53．
根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，求出解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及点的坐标，弄清第四象限点的坐标特征是本题的突破点．
13.【答案】10%
【解析】解：由题意可得，2月与3月的月用电量分别是100千瓦时，110千瓦时，
则2月到3月之间月用电量的增长率为110−100100×100%=10%．
故答案为：10%．
根据折线统计图可得2月与3月的月用电量，再根据增长率的计算公式列式求解即可．
本题考查折线统计图的运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，根据图中信息求出2月与3月的月用电量是解题的关键．
14.【答案】3 77
【解析】解：如图，延长BD交AA′于H，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC= 3BC= 3，
∵点D是AC中点，
∴AD=CD= 32，
∴BD= BC2+CD2= 34+1= 72，
∵将△ABD沿BD折，得到△A′BD，
∴AB=A′B=2，∠ABD=∠A′BD，
∴AH=A′H，BH⊥AH，
∵AH2=AD2−DH2，AH2=AB2−BH2，
∴34−DH2=4−( 72+DH)2，
∴DH=3 714，
∵AD=DC，AH=A′H，
∴A′C=2DH=3 77，
故答案为：3 77．
延长BD交AA′于H，由直角三角形的性质可求AB=2BC=2，AC= 3BC= 3，由勾股定理可求BD的长，由勾股定理可求DH的长，由三角形中位线定理可求A′C的长．
本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
15.【答案】8 2
【解析】
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BD=4，
由勾股定理得：BD2=AB2+AD2，
∴42=AB2+AB2，
∴AB=±2 2，
∵AB>0，
∴AB=2 2，
∴这个正方形的周长=4AB=4×2 2=8 2．
故答案为：8 2．
利用勾股定理计算出边长，由此得出正方形的周长．
本题考查了正方形的性质，明确正方形的边长相等，且每个角都是直角，在正方形中常利用勾股定理计算边的长度．
16.【答案】解：(1)(−1)3+ 8−|1− 2|
=−1+2 2−( 2−1)
= 2；
(2)2 12−6 13+3 48
=4 3−2 3+12 3
=14 3．
【解析】(1)直接利用绝对值的性质分别化简得出答案；
(2)直接化简二次根式进而合并得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】(1)28；15；(2)108；(3)200
【解析】解：(1)由题意和扇形统计图可得，
a=200×40%−20−24−8=80−20−24−8=28，
b=200×30%−24−14−7=60−24−14−7=15，
故答案为：28，15；
(2)由扇形统计图可得，
八年级所对应的扇形圆心角为：360°×(1−40%−30%)=360°×30%=108°，
故答案为：108；
(3)由题意可得，
2000×8+5+7200=200人，
即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．
18.【答案】解：过点A作AO⊥BC交CB的延长线于点O，
设OA的长为x米，则∠BAO=45°，
∴OA=OB=x，
∴OC=x+17.6，
∵x+17.6x=tan60°，
解得x=8.8( 3+1)≈24，
∴17.6+243≈14，
∴小颖家住在15层，小颖家与商场相距约24米．
【解析】过点A作AO⊥BC交CB的延长线于点O，设OA的长为x米，则∠BAO=45°，根据三角函数求出OA的长，进一步即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
19.【答案】解：(1)如图所示：
(2)连接如图所示：平行线有：AB//CD//EF，CE//DF．
【解析】(1)在直角坐标系中描出各点即可：
(2)连接AC、CD、DB、BF、FE、EA，根据平行线的定义找到一组平行线．
考查了点的坐标，两条直线平行问题，是基础题型，比较简单．
20.【答案】解：(1)根据翻折可知：BC=BC′=3，
∴AC′=AB−BC′=5−3=2
答：AC′的长度为2．
(2)由折叠的性质可得：
∠AC′E=∠BCE=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEC′∽△ABC
∴AC′AC=EC′BC
即24=EC′3
∴EC′=32，
由折叠的性质得，CE=C′E=32．
答：CE的长度为32．
(3)
结论：S四边形EC′DF如图，作DG⊥BC于点G，
由折叠得：∠DCB=∠ACD=45°
∴DG=CG
设DG=x，则CG=x，BG=3−x，
tan∠ABC=ACBC=DGBG=43
∴x3−x=43
x=127
∴DG=127
∴S△BDC=12BC⋅DG=12×3×127=187
S△BEC′=S△BEC=12BC⋅CE=12×3×32=94
∵187>94
∴S△BDC>S△BEC′
∵S△BDC=S△BFC+S△BDF，
S△BEC′=S四边形EC′DF+S△BDF，
∴S四边形EC′DF【解析】(1)根据翻折可知：BC=BC′即可求AC′的长度；
(2)设CE的长为x，根据翻折可得EC′=EC，再根据勾股定理即可求CE的长度；
(3)根据翻折可得∠BCD=45°，作DG⊥BC于点G，可得DG=CG，再根据tan∠ABC=ACCB=DGBG=43，进而求得DG的长，再求△BDC和△BEC′的面积，进而可以比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小．
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是作适当的辅助线比较面积大小．
21.【答案】解：(1)由题意可得，
8x=6y10x+4y=230，
解得x=15y=20，
答：A款饰品的进价为15元/个，B款饰品的进价为20元/个；
(2)设购进A款饰品a个，则购进B款饰品(100−a)个，
由题意可得：15a+20(100−a)≤1700，
解得a≥60，
又∵A款饰品最多62个，
∴60≤a≤62，
∵a为整数，
∴a=60，61，62，
∴共有三种购买方案，
方案一：购进A款饰品60个，购进B款饰品40个；
方案二：购进A款饰品61个，购进B款饰品39个；
方案三：购进A款饰品62个，购进B款饰品38个；
(3)设利润为w元，
由题意可得：w=(21−15)a+(28−20)(100−a)=−2a+800，
∴w随a的增大减小，
∵60≤a≤62且a为整数，
∴当a=60时，w取得最大值，此时w=680，
设小李给出的红包总额为m元，
由题意可得：680−m≥[15×60+20×(100−60)]×35%，
解得m≤85，
答：小李给出的红包总额不能超过85元．
【解析】(1)根据购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和题目中的数据，以及(1)中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买的饰品都是整数个；
(3)根据题意和题目中的数据，可以写出利润与购进A款饰品数量的函数关系式，然后根据(2)中A款饰品数量的取值范围，可以求得利润的最大值，再根据题意，可以列出相应的不等式，再求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22.【答案】解：(1)抛物线的顶点坐标为(8,8)，
则其表达式为：y=a(x−8)2+8，
将点O(0,0)代入上式得：0=64a+8，解得：a=−18，
故函数的表达式为：y=−18(x−8)2+8，(0≤x≤16)；
(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5−3.5=4，
当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米，
因为5.8<6，故该车辆能通行；
(3)点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，
则点A(8−m,y)，则AB=y=−18(x−8)2+8=−18m2+8，
设：w=AB+AD+DC=2m+2AB=−14m2+2m+16=−14m−42+20，
∵−14<0，故w有最大值，
当m=4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【解析】【分析】
(1)抛物线的顶点坐标为(8,8)，则其表达式为：y=a(x−8)2+8，将点O(0,0)代入上式，即可求解；
(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5−3.5=4，即可求解；
(3)点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，则AB=y=−18(x−8)2+8=8−18m2，w=AB+AD+DC=2m+2AB=−14m2+2m+16，即可求解．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．正确理解题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴ABAC=ADAB，
∴AB2=AD⋅AC．
(2)解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG//BF．
∵ABBC=BDDC=1，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=12EG．
由(1)可得：AB2=AD⋅AE，BD2=DE⋅AD，
∴AEDE=AB2BD2=(2BD)2BD2=4，
∴AE=4DE，
∴AEEG=4DE2DE=2．
∵CG//BF，
∴AFFC=AEEG=2．
方法二：
如图③，过点D作DG//BF，交AC于点G，
∵ABBC=BDDC=1，
∴BD=DC=12BC，AB=BC．
∵DG//BF，
∴FGFC=BDBC=12，FC=2FG．
由(1)可得：AB2=AC⋅AD，BD2=DE⋅AD，
∴AEDE=AB2BD2=(2BD)2BD2=4，
∵DG//BF，
∴AFFG=AEDE=4，
∴AFFC=AF2FG=2．
(3)解：点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，有三种情况：
(I)当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG//BF，交AC边于点G．
∵ABBC=BDDC=n，
∴BD=nDC，BC=(n+1)DC，AB=n(n+1)DC．
∵DG//BF，
∴FGGC=BDDC=n，
∴FG=nGC，FG=nn+1FC．
由(1)可得：AB2=AE⋅AD，BD2=DE⋅AD，
∴AEDE=AB2BD2=[n(n+1)DC]2(nDC)2=(n+1)2；
∵DG//BF，
∴AFFG=AEDE=(n+1)2，
即AFnn+1FC=(n+1)2，化简得：AFFC=n2+n；
(II)当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG//BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：AFFC=n2−n；
(III)当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG//BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：AFFC=n−n2．
【解析】(1)本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD⋅AC；
(2)构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用(1)中的结论；
(3)本问是将(2)中的结论推广到一般情形，解题方法与(2)相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
本题考查了射影定理的证明及应用．第(2)问中，利用了第(1)问中所证明的射影定理；在第(3)问中，将第(2)问的结论推广到一般情形，体现了从特殊到一般的数学思想．题中涉及线段较多，比例关系比较复杂，注意认真计算不要出错．第(2)问中提供了两种解题方法，可以开拓思路；第(3)问中采用了第(2)问中的解法二，有兴趣的同学可以探究应用方法一解决．第一次
第二次
A
B
C
D
E
A
B A
C A
DA
EA
B
A B
CB
DB
EB
C
AC
BC
DC
EC
D
AD
BD
CD
ED
E
AE
BE
CE
DE
1.计算|−2|的结果为( )
A. 2B. −2C. −12D. 12
2.如图是正方体的展开图，每个面内都写有汉字，折叠成立体图形后“届”的对面是( )
A. 十
B. 四
C. 运
D. 会
3.2015年3月，我国成功发射了首颗新一代北斗导航卫星，它运行在距离地球3.6万公里的地球同步轨道上，将3.6万用科学记数法表示为( )
A. 36×104B. 3.6×104C. 0.36×105D. 3.6×105
4.下列正确的是( )
A. a7+a6=a13B. a7⋅a6=a42C. (a7)6=a42D. a7÷a6=76
5.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1=65°，则∠2的度数为( )
A. 15°
B. 35°
C. 25°
D. 40°
6.若函数y=(a−3)x2−x+1(a为常数)的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足( )
A. a=134且a≠3B. a=134C. a=3D. a=134或 a=3
7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )
A. 2
B. 52
C. 5
D. 258
8.从边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中任选两种不同的正多边形，能够进行平面镶嵌的概率是( )
A. 15B. 310C. 25D. 12
9.将点P(−3,b)向下平移3个单位，再向左平移5个单位后，得到点Q(a3,1)，则a+b的值为( )
A. 6B. 2C. −6D. −2
10.设线段MN长为600m，甲、乙两质点同时从M点出发朝N点做匀速直线运动，到达N点后即停止.已知甲质点运动速度比乙质点运动速度快，且甲运动一段时间后停止一会儿又继续按原速度运动，直至到达N点.如图，该图表示甲、乙之间的距离y(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0)，C点横坐标为128.下列说法：①当x=60时，y=120；②△OAB的面积为200；③D点的横坐标为200；④y的最大值为216.其中正确的有( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.代数式 x+1x中，自变量x的取值范围是______；代数式 x2+1中，自变量x的取值范围是______．
12.若点P(2x−3,5−3x)在第四象限，则x的取值范围为______．
13.小王家今年1～5月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为______．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是AC中点，连接BD，将△ABD沿BD折，得到△A′BD，连接A A′、CA′，若BC=1，则A′C的长度为______．
15.正方形的一条对角线长为4，这个正方形的周长是______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算．
(1)(−1)3+ 8−|1− 2|
(2)2 12−6 13+3 48．
17.(本小题6分)
某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，a的值为______，b的值为______；
(2)在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．
18.(本小题6分)
小颖站在自家阳台的A处用测角仪观察对面的商场，如图，在A处测得商场楼顶B点的俯角为45°，商场楼底C点的俯角为60°，若商场高17.6米，小颖家所在楼房每层楼的平均高度为3米，则小颖家住在几楼？小颖家与商场相距多少米？(结果保留整数，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
19.(本小题6分)
如图，A点、B点的坐标分别是(−2,0)和(2,0)，
(I)请你在图中描出下列各点：C(0,5)，D(4,5)，E(−4,−5)，F(0,−5)；
(II)连接AC、CD、DB、BF、FE、EA，并写出图中的任意一组平行线．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B′处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C′处，CD与BE交于点F．
(1)求AC′的长度；
(2)求CE的长度；
(3)比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小，并说明理由．
21.(本小题7分)
小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．
(1)请求出A、B两款饰品的进价分别是多少？
(2)小李计划购进两款饰品共计100个(其中A款饰品最多62个)，要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案？
(3)小李最后准备将A、B两款饰品单价分别定为21元，28元，他计划按照(2)中能够获得最大利润的方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润率不低于35%，那么他给出的红包总额不能超过多少元？
22.(本小题8分)
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A.D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
23.(本小题8分)
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD⋅AC；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．ABBC=BDDC=1，求AFFC的值；
(3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F.若ABBC=BDDC=n，请探究并直接写出AFFC的所有可能的值(用含n的式子表示)，不必证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2．
故选：A．
利用绝对值的定义即可求解．
此题主要考查了绝对值的定义，比较简单．
2.【答案】D
【解析】解：∵由展开图可知“届”所在的面与“会”所在的面不存在公共点，
∴折叠成立体图形后“届”的对面是“会”．
故选：D．
根据正方体展开中相对的两个面不存在公共点回答即可．
本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，明确正方体展开中相对的两个面不存在公共点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：3.6万用科学记数法表示为3.6×104，
故选：B．
根据科学记数法表示大数a×10n，可得答案．
本题考查了科学记数法，科学记数法表示大数：a×10n，确定n的值是解题关键，n是整数数位减1．
4.【答案】C
【解析】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A不符合题意；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B不符合题意；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=65°，
∴∠3=65°，
∴∠2=90°−65°=25°．
故选：C．
先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】D
【解析】解：当a=3时，y=−x+1，
此时一次函数y=−x+1与x轴只有一个公共点，
当a≠3时，
当y=0时，(a−3)x2−x+1=0，
当(−1)2−4(a−3)=0时，二次函数与x轴只有一个交点，
∴a=134，
故选：D．
当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当y=0时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果．
本题考查了一次函数及其图象的性质，二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系等知识，解决问题的关键是分类讨论．
7.【答案】D
【解析】【分析】
先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AEO(AAS)，即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键．
【解答】
解：如图，连接EF，交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AEO中，
∠FCO=∠OAB∠FOC=∠AOEOF=OE，
∴△CFO≌△AEO(AAS)，
∴AO=CO，
∵AC= AB2+BC2=5，
∴AO=12AC=52，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=AEAC，
∴524=AE5，
∴AE=258．
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：分别用A、B、C、D、E表示正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，列表如下：
由列表可以看出，所有可能结果共有20个，能镶嵌成一个平面图案(记为事件G)的有AB、BA、AD、DA、EB、BE6个，
所以能够进行平面镶嵌的概率P(G)=620=310．
故选B．
此题需要两步完成，所以采用列表法比较简单，此题为不放回实验．列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
此题考查的是平面镶嵌，关键是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：将点P(−3,b)向下平移3个单位，再向左平移5个单位后，
则点Q的坐标为(−8,b−3)．
∴a3=−8，b−3=1，
∴a=−2，b=4，
∴a+b=−2+4=2．
故选：B．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，甲质点运动一段时间后停止了20−12=8(min)，当x=128时甲质点到达终点，
∴甲质点速度为600128−8=5(m/min)，
当x=20时，乙质点追上停止时的甲质点，
∴乙质点的速度为12×520=3(m/min)，
当x=60时，y=(60−8)×5−60×3=80，故①错误；
当x=12时，y=12×5−12×3=24，
∴A(12,24)，
∴S△OAB=12×20×24=240，故②错误；
∵600÷3=200，
∴D的横坐标为200；故③正确；
当x=128时，y=(128−8)×5−128×3=216，
∴y的最大值为216，故④正确；
∴正确的有③④，
故选：D．
由图象可知，甲质点运动一段时间后停止了20−12=8(min)，即可求得甲质点速度为600128−8=5(m/min)，乙质点的速度为12×520=3(m/min)，再逐项判断可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息，求出甲，乙的速度．
11.【答案】x≥−1且x≠0；全体实数
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件.掌握二次根式中，被开方数非负；分式的分母不能为0是解题的关键．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥−1且x≠0；
∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴x的取值范围是：全体实数．
故答案为x≥−1且x≠0；全体实数．
12.【答案】x>53
【解析】解：∵点P(2x−3,5−3x)在第四象限，
∴2x−3>05−3x<0，
解得：x>53，
则x的取值范围为x>53．
故答案为：x>53．
根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，求出解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及点的坐标，弄清第四象限点的坐标特征是本题的突破点．
13.【答案】10%
【解析】解：由题意可得，2月与3月的月用电量分别是100千瓦时，110千瓦时，
则2月到3月之间月用电量的增长率为110−100100×100%=10%．
故答案为：10%．
根据折线统计图可得2月与3月的月用电量，再根据增长率的计算公式列式求解即可．
本题考查折线统计图的运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，根据图中信息求出2月与3月的月用电量是解题的关键．
14.【答案】3 77
【解析】解：如图，延长BD交AA′于H，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC= 3BC= 3，
∵点D是AC中点，
∴AD=CD= 32，
∴BD= BC2+CD2= 34+1= 72，
∵将△ABD沿BD折，得到△A′BD，
∴AB=A′B=2，∠ABD=∠A′BD，
∴AH=A′H，BH⊥AH，
∵AH2=AD2−DH2，AH2=AB2−BH2，
∴34−DH2=4−( 72+DH)2，
∴DH=3 714，
∵AD=DC，AH=A′H，
∴A′C=2DH=3 77，
故答案为：3 77．
延长BD交AA′于H，由直角三角形的性质可求AB=2BC=2，AC= 3BC= 3，由勾股定理可求BD的长，由勾股定理可求DH的长，由三角形中位线定理可求A′C的长．
本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
15.【答案】8 2
【解析】
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BD=4，
由勾股定理得：BD2=AB2+AD2，
∴42=AB2+AB2，
∴AB=±2 2，
∵AB>0，
∴AB=2 2，
∴这个正方形的周长=4AB=4×2 2=8 2．
故答案为：8 2．
利用勾股定理计算出边长，由此得出正方形的周长．
本题考查了正方形的性质，明确正方形的边长相等，且每个角都是直角，在正方形中常利用勾股定理计算边的长度．
16.【答案】解：(1)(−1)3+ 8−|1− 2|
=−1+2 2−( 2−1)
= 2；
(2)2 12−6 13+3 48
=4 3−2 3+12 3
=14 3．
【解析】(1)直接利用绝对值的性质分别化简得出答案；
(2)直接化简二次根式进而合并得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】(1)28；15；(2)108；(3)200
【解析】解：(1)由题意和扇形统计图可得，
a=200×40%−20−24−8=80−20−24−8=28，
b=200×30%−24−14−7=60−24−14−7=15，
故答案为：28，15；
(2)由扇形统计图可得，
八年级所对应的扇形圆心角为：360°×(1−40%−30%)=360°×30%=108°，
故答案为：108；
(3)由题意可得，
2000×8+5+7200=200人，
即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．
18.【答案】解：过点A作AO⊥BC交CB的延长线于点O，
设OA的长为x米，则∠BAO=45°，
∴OA=OB=x，
∴OC=x+17.6，
∵x+17.6x=tan60°，
解得x=8.8( 3+1)≈24，
∴17.6+243≈14，
∴小颖家住在15层，小颖家与商场相距约24米．
【解析】过点A作AO⊥BC交CB的延长线于点O，设OA的长为x米，则∠BAO=45°，根据三角函数求出OA的长，进一步即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
19.【答案】解：(1)如图所示：
(2)连接如图所示：平行线有：AB//CD//EF，CE//DF．
【解析】(1)在直角坐标系中描出各点即可：
(2)连接AC、CD、DB、BF、FE、EA，根据平行线的定义找到一组平行线．
考查了点的坐标，两条直线平行问题，是基础题型，比较简单．
20.【答案】解：(1)根据翻折可知：BC=BC′=3，
∴AC′=AB−BC′=5−3=2
答：AC′的长度为2．
(2)由折叠的性质可得：
∠AC′E=∠BCE=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEC′∽△ABC
∴AC′AC=EC′BC
即24=EC′3
∴EC′=32，
由折叠的性质得，CE=C′E=32．
答：CE的长度为32．
(3)
结论：S四边形EC′DF
由折叠得：∠DCB=∠ACD=45°
∴DG=CG
设DG=x，则CG=x，BG=3−x，
tan∠ABC=ACBC=DGBG=43
∴x3−x=43
x=127
∴DG=127
∴S△BDC=12BC⋅DG=12×3×127=187
S△BEC′=S△BEC=12BC⋅CE=12×3×32=94
∵187>94
∴S△BDC>S△BEC′
∵S△BDC=S△BFC+S△BDF，
S△BEC′=S四边形EC′DF+S△BDF，
∴S四边形EC′DF
(2)设CE的长为x，根据翻折可得EC′=EC，再根据勾股定理即可求CE的长度；
(3)根据翻折可得∠BCD=45°，作DG⊥BC于点G，可得DG=CG，再根据tan∠ABC=ACCB=DGBG=43，进而求得DG的长，再求△BDC和△BEC′的面积，进而可以比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小．
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是作适当的辅助线比较面积大小．
21.【答案】解：(1)由题意可得，
8x=6y10x+4y=230，
解得x=15y=20，
答：A款饰品的进价为15元/个，B款饰品的进价为20元/个；
(2)设购进A款饰品a个，则购进B款饰品(100−a)个，
由题意可得：15a+20(100−a)≤1700，
解得a≥60，
又∵A款饰品最多62个，
∴60≤a≤62，
∵a为整数，
∴a=60，61，62，
∴共有三种购买方案，
方案一：购进A款饰品60个，购进B款饰品40个；
方案二：购进A款饰品61个，购进B款饰品39个；
方案三：购进A款饰品62个，购进B款饰品38个；
(3)设利润为w元，
由题意可得：w=(21−15)a+(28−20)(100−a)=−2a+800，
∴w随a的增大减小，
∵60≤a≤62且a为整数，
∴当a=60时，w取得最大值，此时w=680，
设小李给出的红包总额为m元，
由题意可得：680−m≥[15×60+20×(100−60)]×35%，
解得m≤85，
答：小李给出的红包总额不能超过85元．
【解析】(1)根据购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和题目中的数据，以及(1)中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买的饰品都是整数个；
(3)根据题意和题目中的数据，可以写出利润与购进A款饰品数量的函数关系式，然后根据(2)中A款饰品数量的取值范围，可以求得利润的最大值，再根据题意，可以列出相应的不等式，再求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22.【答案】解：(1)抛物线的顶点坐标为(8,8)，
则其表达式为：y=a(x−8)2+8，
将点O(0,0)代入上式得：0=64a+8，解得：a=−18，
故函数的表达式为：y=−18(x−8)2+8，(0≤x≤16)；
(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5−3.5=4，
当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米，
因为5.8<6，故该车辆能通行；
(3)点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，
则点A(8−m,y)，则AB=y=−18(x−8)2+8=−18m2+8，
设：w=AB+AD+DC=2m+2AB=−14m2+2m+16=−14m−42+20，
∵−14<0，故w有最大值，
当m=4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【解析】【分析】
(1)抛物线的顶点坐标为(8,8)，则其表达式为：y=a(x−8)2+8，将点O(0,0)代入上式，即可求解；
(2)双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5−3.5=4，即可求解；
(3)点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，则AB=y=−18(x−8)2+8=8−18m2，w=AB+AD+DC=2m+2AB=−14m2+2m+16，即可求解．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．正确理解题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴ABAC=ADAB，
∴AB2=AD⋅AC．
(2)解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG//BF．
∵ABBC=BDDC=1，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=12EG．
由(1)可得：AB2=AD⋅AE，BD2=DE⋅AD，
∴AEDE=AB2BD2=(2BD)2BD2=4，
∴AE=4DE，
∴AEEG=4DE2DE=2．
∵CG//BF，
∴AFFC=AEEG=2．
方法二：
如图③，过点D作DG//BF，交AC于点G，
∵ABBC=BDDC=1，
∴BD=DC=12BC，AB=BC．
∵DG//BF，
∴FGFC=BDBC=12，FC=2FG．
由(1)可得：AB2=AC⋅AD，BD2=DE⋅AD，
∴AEDE=AB2BD2=(2BD)2BD2=4，
∵DG//BF，
∴AFFG=AEDE=4，
∴AFFC=AF2FG=2．
(3)解：点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，有三种情况：
(I)当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG//BF，交AC边于点G．
∵ABBC=BDDC=n，
∴BD=nDC，BC=(n+1)DC，AB=n(n+1)DC．
∵DG//BF，
∴FGGC=BDDC=n，
∴FG=nGC，FG=nn+1FC．
由(1)可得：AB2=AE⋅AD，BD2=DE⋅AD，
∴AEDE=AB2BD2=[n(n+1)DC]2(nDC)2=(n+1)2；
∵DG//BF，
∴AFFG=AEDE=(n+1)2，
即AFnn+1FC=(n+1)2，化简得：AFFC=n2+n；
(II)当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG//BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：AFFC=n2−n；
(III)当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG//BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：AFFC=n−n2．
【解析】(1)本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD⋅AC；
(2)构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用(1)中的结论；
(3)本问是将(2)中的结论推广到一般情形，解题方法与(2)相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
本题考查了射影定理的证明及应用．第(2)问中，利用了第(1)问中所证明的射影定理；在第(3)问中，将第(2)问的结论推广到一般情形，体现了从特殊到一般的数学思想．题中涉及线段较多，比例关系比较复杂，注意认真计算不要出错．第(2)问中提供了两种解题方法，可以开拓思路；第(3)问中采用了第(2)问中的解法二，有兴趣的同学可以探究应用方法一解决．第一次
第二次
A
B
C
D
E
A
B A
C A
DA
EA
B
A B
CB
DB
EB
C
AC
BC
DC
EC
D
AD
BD
CD
ED
E
AE
BE
CE
DE
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