2024年甘肃省武威市部分学校中考数学一模试题（原卷版+解析版）

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1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6B. ﹣C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图进行判断即可．
【详解】它的俯视图如下图所示：
故选：C．
【点睛】考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
3. 2021年5月15日7时18分，执行我国首次火星探测任务的“天问一号”探测器在火星着落，在火星上首次留下中国印迹．火星是太阳系九大行星之一，火星的半径约为3395000米，用科学记数法表示“3395000”为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3395000＝，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
4. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．
【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为，
则这个正多边形的边数是：，
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
6. 下列计算中，正确的是（）
A. （2a）3=2a3B. a3+a2=a5C. a8÷a4=a2D. （a2）3=a6
【答案】D
【解析】
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】A. 原式=8a3，错误；
B. 原式不能合并，错误；
C. 原式错误，
D. 原式 正确；
故选:D.
【点睛】考查同底数幂除法，合并同类项，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.
7. 如图，BC为直径，，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直径所对圆周角等于，得到，进而得到的度数，根据同弧所对圆周角相等，即可求解，
本题考查了，直径所对圆周角等于，圆周角定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【详解】解：∵CB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设有辆车，人数为人，依题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
9. 如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质，
由平行四边形性质证明利用三角形相似判定与性质得出MN：AN=MD：AB=1：2，进一步得出进行求解即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵M为的中点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
故选：A．
10. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 0
【答案】D
【解析】
【详解】∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b-c+（c-a-b）
=0．
故选：D．
【点睛】考点：三角形三边关系．
11. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键.
12. 如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，到点停止．过点作，与边或边，的长度与点的运动时间秒的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据运动速度乘以时间，可得的长，根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：点运动秒时点运动了，
，
因为四边形是正方形，
所以，
因为平行于
所以
在在，由勾股定理，得
，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分．）
13. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k≤5且k≠1
【解析】
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1.
故答案为：k≤5且k≠1.
14. 已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是_________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据位似图形周长比等于位似比，知道其中一个周长，就可以求出另外一个周长.
【详解】解：与的位似比是1:4，
所以周长比是1:4，
∵△ABC的周长是6，
则△DEF的周长是24
故答案为：:24
【点睛】此题重点考查学生对位似图形周长的计算，抓住周长比等于位似比是解题的关键.
15. 分解因式：=__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
16. 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若，AE=，则BD=_______．
【答案】4或
【解析】
【详解】如图（一）所示，
AB是矩形较短边时，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=BD；
∵OE：ED=1：3，
∴可设OE=x，ED=3x，则OD=2x
∵AE⊥BD，AE=，
∴在Rt△OEA中，x2+（）2=（2x）2，
∴x=1
∴BD=4．
当AB是矩形较长边时，如图（二）所示，
∵OE：ED=1：3，
∴设OE=x，则ED=3x，
∵OA=OD，
∴OA=4x，
在Rt△AOE中，x2+（）2=（4x）2，
∴x=，
∴BD=8x=8×=．
故答案为：4或．
17. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长．
【详解】∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，
∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形是直角三角形．
∴三角形的周长：3+4+5=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握．
18. 如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于___________cm．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB==10cm，
由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，
∴△ACB∽△AGH，
∴，
∴，
∴GH=cm，
故答案为：．
19. 已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2．
【答案】
【解析】
【详解】由已知得到圆锥的母线为，
所以圆锥侧面积：
20. 观察下图，则第n个图形中三角形的个数是 ________．
【答案】4n．
【解析】
【详解】试题分析：根据图形的变化可观察出，第一个图中有4个三角形，第二个图中有8个三角形，第3个图中有12个三角形，还可以得出4=4×1，8=4×2，12=4×3，…，那么第n个图里有4n个三角形．故答案为4n．
考点：规律型：图形的变化类．
三、解答题（本大题共5小题，共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程，或演算步骤．）
21. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
先算特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的化简，再根据实数的混合运算即可求解．
【详解】解：
．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法．
先化简小括号内的分式，再将除法化为乘法，最后再代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，
．
23. 如图，在中，是边上一点，且，
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
【答案】（1）如图，①作图见详解；②作图见详解
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线，垂直平分线的画法，中位线定义和性质的运用，掌握尺规作角平分线及线段垂直平分线，三角形中位线的性质是解题的关键．
（1）①根据角平分线的尺规作图方法即可求解；
②根据垂直平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据三角形“三线合一”，中位线的定义和性质即可求解．
【小问1详解】
解：①如图，即为所求；
②如图，线段的垂直平分线交于点．
【小问2详解】
解：∵，平分，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∴线段和的数量关系为： ，位置关系为：．
24. 为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为__________人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为__________度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
【答案】（1）50；（2）答案见解析；（3）144；（4）．
【解析】
【分析】（1）由非常满意的有18人，占36%，即可求得此次调查中接受调查的人数．
（2）用总人数减去不满意人数、一般人数、非常满意人数，即可求得此次调查中结果为满意的人数．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）(人)，
故答案为：50；
（2）
补全图形如下：
（3），
故答案为：144；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中是“一男一女”的有8种情况，
∴一男一女的概率为：P（一男一女）=．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25. “金娃娃”雕塑是金昌的城市主雕，矗立在甘肃省河西走廊东段的金昌市人民文化广场上（图1），顶端的“金娃娃”是雕塑的主体，神情并茂．某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离为，雕塑垂直于地面（点均在同一平面内，），在地面上选取一点测得和的度数．
数据收集：实地测量底座的高度为，．
问题解决：求雕塑主体“金娃娃”AC的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
根据题意，在中，根据角的正切值可求出的长，在中，根据角的正切值可求出的值，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，且，
∴，
在中，，且，
∴，
∴，
∴雕塑主体“金娃娃”的高度约为．
四、解答题（本大题共4小题，共30分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
26. 如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，中位线，直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识，掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键．
（1）根据点分别为的中点，可得是中位线，，根据可得，根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求证；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据平行四边形的性质可得，，由此即可求证．
【小问1详解】
证明：∵点分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
证明：在中，为的中点，
∴，
∴,
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数（k≠0）的图象与直线y＝mx（m≠0）交于点A，点B在函数（x>0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值；
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积；
（3）直接写出不等式>mx的解集．
【答案】（1）8 （2）10
（3）或
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果；
（3）先求出直线y＝mx解析式为，然后求出直线y＝mx与反比例函数的另一个交点坐标，再根据图象法解不等式即可．
【小问1详解】
解：将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
【小问2详解】
解：的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【小问3详解】
解：∵直线y＝mx（m≠0）经过点A，
∴，
∴m=2，
∴直线y＝mx的解析式为，
联立，
解得或，
∴直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的另一个交点的坐标为（-2，-4），
∴不等式>mx的解集为或
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，图象法解不等式，图形围成的面积等等，熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
28. 如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交于点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）直线与相切，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查圆的知识，掌握切线的判定和性质，扇形面积的计算方法，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）连接，证明，可得，即可证明；
（2）根据题意，设，则，在直角中运用勾股定理可求出圆的半径，根据不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：直线与相切，理由如下：
连接，如图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵为的半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标；
（3）连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）则点P的坐标为：）或
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解；
（3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列式求解即可．
【小问1详解】
解：由抛物线的表达式可知，，
∴，
∴，
∴，，，
设抛物线的表达式为：，
∴，
∴，
故抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：由（1）可知，抛物线的表达式为：，
∴对称轴为，
∴点关于抛物线对称轴得对称点为点，
∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小，
已知，，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
则点；
【小问3详解】
解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为，
∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴当时，，即；
当时，，即
∴点的坐标为：）或．