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2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区第四十九中学中考一模数学(五四制)试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A x4＋x4＝2x8B. x3·x2＝x6
C. (x2y)3＝x6y3D. (x－y)(y－x)＝x2－y2
3. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 反比例函数的图像上有两个点，当时，，则k的取值为（ ）
A. B. C. D.
5. 由几个大小不同的正方体组成的几何图形如图，则它的左视图是（ ）
A. B.
C D.
6. 如图，在中，点在边上，的延长线交于点，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. 22x=16（27﹣x）B. 16x=22（27﹣x）C. 2×16x=22（27﹣x）D. 2×22x=16（27﹣x）
9. 如图，与相切，切点为点A，交于点C，点D在上，若的度数是，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（ ）千米到达甲地．
A. 70B. 80C. 90D. 100
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学计数法表示为______．
12. 函数中，自变量x的取值范围是___________．
13. 计算__________．
14. 把多项式分解因式的结果是______．
15. 不等式组的解集为___________．
16. 如图，与中，，，，，的长为______．
17. 在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球（除所标数字外，其余均相同），从中随机摸两次（第一次摸出球后记下数字，再放回摇匀），两次数字之和为奇数的概率是___________．
18. 若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为_______．
19. 在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若是直角三角形，则的长为______．
20. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线段的长为 __．
三、解答题（21题、22题每题各7分，23题、24题每题各8分，25题-27题每题各10分，共60分）
21. 先化简，再求值的值，其中．
22. 在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中，找一点D，使点D在线段上，且；
（2）在图2中，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段．点B的对应点为点M，点C的对应点为点N．
（3）填空：的值为___________．
23. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图
请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 的人数
24. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的长．
25. 端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3600元购进A、B两类粽子1000个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同，已知A粽子的单价是B粽子单价的倍．
（1）求A、B两类粽子单价各是多少？
（2）若计划用不超过8100元的资金再次购买A、B两类粽子共1900个，已知A、B两类粽子的进价不变，求A粽子最多能购进多少个？
26 请阅读下面材料，并完成相关任务：
定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”．
例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”；
（2）如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值；
（3）如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：．
27. 已知：与x轴交于A、B两点，与y的轴交点，对称轴为直线．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，连接，且，过D作于点G，连接，试判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在抛物线上，点Q在延长线上，，在线段上取点M，交于N，当时，求P点坐标．组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A x4＋x4＝2x8B. x3·x2＝x6
C. (x2y)3＝x6y3D. (x－y)(y－x)＝x2－y2
3. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 反比例函数的图像上有两个点，当时，，则k的取值为（ ）
A. B. C. D.
5. 由几个大小不同的正方体组成的几何图形如图，则它的左视图是（ ）
A. B.
C D.
6. 如图，在中，点在边上，的延长线交于点，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. 22x=16（27﹣x）B. 16x=22（27﹣x）C. 2×16x=22（27﹣x）D. 2×22x=16（27﹣x）
9. 如图，与相切，切点为点A，交于点C，点D在上，若的度数是，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（ ）千米到达甲地．
A. 70B. 80C. 90D. 100
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学计数法表示为______．
12. 函数中，自变量x的取值范围是___________．
13. 计算__________．
14. 把多项式分解因式的结果是______．
15. 不等式组的解集为___________．
16. 如图，与中，，，，，的长为______．
17. 在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球（除所标数字外，其余均相同），从中随机摸两次（第一次摸出球后记下数字，再放回摇匀），两次数字之和为奇数的概率是___________．
18. 若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为_______．
19. 在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若是直角三角形，则的长为______．
20. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线段的长为 __．
三、解答题（21题、22题每题各7分，23题、24题每题各8分，25题-27题每题各10分，共60分）
21. 先化简，再求值的值，其中．
22. 在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中，找一点D，使点D在线段上，且；
（2）在图2中，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段．点B的对应点为点M，点C的对应点为点N．
（3）填空：的值为___________．
23. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图
请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 的人数
24. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的长．
25. 端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3600元购进A、B两类粽子1000个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同，已知A粽子的单价是B粽子单价的倍．
（1）求A、B两类粽子单价各是多少？
（2）若计划用不超过8100元的资金再次购买A、B两类粽子共1900个，已知A、B两类粽子的进价不变，求A粽子最多能购进多少个？
26 请阅读下面材料，并完成相关任务：
定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”．
例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”；
（2）如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值；
（3）如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：．
27. 已知：与x轴交于A、B两点，与y的轴交点，对称轴为直线．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，连接，且，过D作于点G，连接，试判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在抛物线上，点Q在延长线上，，在线段上取点M，交于N，当时，求P点坐标．组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
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