2024年山东省济宁市高新区九年级一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1．本科目试卷分试题卷和答题卡两部分，共100分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必在答题卡的密封区内填写校名、姓名和准考证号．
3．所有答案都务必做在答题卡标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
4．考试结束后，只需上交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是，
故选：．
2. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则，积的乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A．，计算正确，但不符合题意；
B．，计算正确，但不符合题意；
C．，计算正确，但不符合题意；
D．，计算错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘法则，积乘方法则，合并同类二次根式法则，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此判断即可；
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
4. 长城的总长用科学记数法表示约为米，则它的原数为（ ）
A. 670000米B. 6700000米C. 67000000米D. 670000000米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．本题根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可．
【详解】解：米对应的原数为6700000米，
故选B
5. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）

A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥
【答案】C
【解析】
【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
7. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
8. 如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，

∴，，
∴，
∴扇形与扇形重合，
∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
9. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
10. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：
若n=13，则第2018次“F”运算结果是（ ）
A. 1B. 4C. 2018D. 42018
【答案】A
【解析】
【分析】计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【详解】若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：，
第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：=1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A．
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共34分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知，，则的值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：8
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
12. 如图，直线于点．若，则的度数是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，延长交于点，由可得，由可得，利用三角形内角和定理即可求出的度数，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．
【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
14. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设木条长尺，绳子长尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设木条长尺，绳子长尺，
依题意，得： ，
故答案为．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15. 已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，交于点O，，，
∵四边形是矩形，
.∴，，
，
根据折叠的性质得，，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
即∠BDE的正切值是；
如图，交于点O，，，
同理得，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
即的正切值是；
综上，的正切值是或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
17. 读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：、、、，整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据：，，，，，，，，，，，，，，．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的______，______；
（2）组数据的众数是______，中位数是______；
（3）扇形统计图中组对应扇形的圆心角为______度，______；
（4）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【解析】
【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可得答案；
（2）根据众数和中位数的定义可得答案；
（3）用乘以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可知，，．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：小时内的数据中，出现的次数最多，
组数据的众数是．
将小时内的数据按从小到大排列，排在第个的是，
组数据的中位数是．
故答案为：；．
【小问3详解】
解：扇形统计图中组对应扇形圆心角为．
，
．
故答案为：；．
【小问4详解】
解：设名男生记为，名女生记为，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，，，，共种，
恰好选中“男女”的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键．
18. 2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）甲种树苗每棵40元；（2）至少要购买乙种树苗34棵．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可.
【详解】（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：
，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙中树苗y棵，根据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，
解得：y≥33，
∵y是正整数，
∴y最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
19. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接，且平分，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图，

∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴设，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键．
20. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图像于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（）用待定系数法即可求解；
（）分点在下方和在点上方两种情况解答即可求解；
本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：将点的坐标代入直线的表达式得，，
解得，
∴一次函数的表达式为，
当时，，
∴，
∴，
将代入反比例函数表达式得，，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当点在下方时，
若的面积是面积的倍， 则，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴；
当在点上方时，
若的面积是面积的倍，则，
∴为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴；
∴点的坐标为或．
21. 已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E．
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）
（2）函数关系式为，定义域为
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行关系可得，由，则可得，由面积关系可求得，进而由勾股定理求得结果；
（2）由已知易得，由相似三角形的性质及，可得，由相似三角形的性质即可得函数关系式；再由点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合，即可确定自变量的取值范围；
（3）由（2）得，则可得，进而得；由面积关系求得的长；由勾股定理可求得；由平行可得，由相似三角形的性质即可求得的值．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∴；
∴；
由勾股定理得：，
∵，
∴，
由勾股定理得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合，
∴自变量x的取值范围为；
【小问3详解】
解：由（2）知，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴,
∴为等腰三角形时，只能是；
∴，；
∵，
∴，
设，由勾股定理得，
∴，
∵，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，面积关系的应用，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是关键．
22. 如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为.
（1）求顶点C的坐标.
（2）①若，求MB的值.
②当时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化成顶点式即可解答；
（2）①当时，令，，解得，，即点横坐标为，即可求得，再根据可得，最后根据即可解答；②由题意可得，即，然后再根据二次函数的性质求得最大值和最小值即可解答.
【小问1详解】
解：，
顶点的坐标为.
【小问2详解】
解：①当时，令，，解得，，即点的横坐标为
∴，
∵
∴
∴.
②，
.
当时，的最小值为.
当时，的最大值为6.
.
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键.
等级
阅读时间（小时）
频数
合计