2024年天津市河西区南开翔宇学校中考数学一模试卷(含解析)
展开1.计算−3×2−8÷(−2)的结果是( )
A. 2B. −2C. −10D. 7
2.估算2 3× 2−2的值在( )
A. 0到1之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3到4之间
3.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.华为Mate60系列的上市代表着国产芯片的突破.华为Mate60搭载的芯片麒麟9000S是华为自家研发的,采用了5nm制程工艺,拥有更高的性能和更低的功耗.5nm=0.000000005m,则数字0.000000005用科学记数法表示为( )
A. 5×10−8B. 0.5×10−8C. 5×10−9D. 5×10−10
6.sin30°+tan60°cs45°的值是( )
A. 1+ 32B. 3+ 66C. 1+ 62D. 3 3+ 66
7.计算:9a2−3a−aa−3的结果是( )
A. a+3aB. −a+3aC. a−3aD. −a−3a
8.在反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,若x1
A. 4B. −3C. 0D. 1
10.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,大于12BC的长为半径画弧,两弧相交于E,F两点,EF和BC交于点O;②以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D;③分别以点D,C为圆心,大于12CD的长为半径画弧,两弧相交于点M,连接AM,AM和CD相交于点N,连接ON.若AB=11,AC=6,则ON的长为( )
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
11.如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为斜边AB上一点,将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE,则下列说法不一定正确的是( )
A. ∠EAC=∠B
B. △EDC是等腰三角形
C. ∠AED=∠EAC
D. BD2+AD2=ED2
12.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;有下列结论:①降价8元时,数量为36件;②若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价10元;③商场平均每天盈利最多为1250元.正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
13.有四张背面完全相同正面分别写有数字1,2,3,4的卡片.将其背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率是______.
14.(a3)2÷(a⋅a3)+a2= ______.
15.计算:( 3+ 2)( 3− 2)2= ______.
16.已知直线y=kx+b与y=2x+1平行,且经过点(−3,4),则b= ______.
17.在等边△ABC中,点F为CB延长线上一点,点D是AC的中点,连接DF交AB于点M,以DF为边向下作等边△DFE,连接CE、ME,若ME⊥DF,BM+BF=6,则CE的长为______.
18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△OAB的顶点A,B,O均落在格点上,以点O为圆心OA长为半径的圆交OB于点C.
(Ⅰ)线段BC的长等于______;
(Ⅱ)若BD切⊙O于点D,P为OA上的动点,当BP+DP取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点D,P,并简要说明点D,P的位置是如何找到的(不要求证明) ______.
三、计算题:本大题共1小题,共6分。
19.桃园大桥是随州城区第二座景观桥,远远望去,桥身的红色立柱像四根大火炬.如图,小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN.在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°,测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°,向立柱方向走40米到达观测点B处,测得同一根立柱顶端M的仰角为60°.已知点A,B,C,M,N在同一平面内,桥面与水面平行,且MN垂直于桥面.
(1)求大桥立柱在桥面以上的高度MC(结果保留根号);
(2)求大桥立柱在水面以上的高度MN(结果精确到1米).
(参考数据:sin15°≈0.26,cs15°≈0.96,tan15°≈0.27, 3≈1.73)
四、解答题:本题共6小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解不等式组2(x−1)≤3x−1①x+13>x−22+1②,请按下列步骤完成解答:
(1)解不等式①,得______;
(2)解不等式②,得______;
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为______.
21.(本小题8分)
某学校为了解学生某一周参加家务劳动的情况,从各年级共1200名学生中随机抽取了部分学生,对其参加家务劳动的次数进行了统计,绘制出如下的统计图①和图②.根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______,图①中m的值为______;
(2)求统计的这组参加家务劳动次数数据的众数、中位数和平均数;
(3)根据统计的这组参加家务劳动次数数据,估计该校学生中这周参加家务劳动次数大于3的学生人数.
22.(本小题8分)
已知:在⊙O中,AB为直径,P为射线AB上一点,过点P作⊙O的切线,切点为点C,D为AC上一点,连接BD、BC、DC.
(Ⅰ)如图1,若∠D=28°,求∠P的度数.
(Ⅱ)如图2,若四边形CDBP为平行四边形,BC=5,求CP的长.
23.(本小题8分)
甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,甲车离开A城的距离y1km与甲车离开A城的时间xh的对应关系如图所示,乙车比甲车晚出发12h,以60km/h的速度匀速行驶.
(Ⅰ)填空:
①A、B两城相距______km;
②当0≤x≤2时,甲车的速度为______km/h;
③乙车比甲车晚______h到达B城;
④甲车出发4h时,距离A城______km;
⑤甲,乙两车在行程中相遇时,甲车离开A城的时间为______h;
(Ⅱ)当0≤x≤5<“m“:mathxmlns:dsi=′http:′dsi:zmscale=′150′dsi:_mathzmed=′1′style=′CURSOR:pinter;DISPLAY:inline−blck′>2323时,请直接写出y1关于x的函数解析式.
(Ⅲ)当312≤x≤5时,两车所在位置的距离最多相差多少km?
24.(本小题8分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上,点C的坐标为(5,3).将矩形AOBC绕点B顺时针旋得到矩形DEBF,点O的对应点E恰好落在AC上.将矩形DEBF沿射线EB平移,当点D到达x轴上时,运动停止,设平移的距离为m,平移后的图形在x轴下方部分的面积为S.
(1)求AE的长;
(2)求S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围.
25.(本小题8分)
如图,抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C;点P是第四象限抛物线上一点,过点P作PD⊥x轴,交x轴于点D,交BC与点E,
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P作PF⊥BC交BC于点F,求EF的最大值及此时点E的坐标;
(3)如图②点Q是线段OC上一点,且CQ=CF,连接QB,OF,点P在运动过程中,是否存在OF+BQ的值最小,若存在,请直接写出OF+BQ的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:−3×2−8÷(−2)
=−6+4
=−2,
故选:B.
先算乘除,后算加减,即可解答.
本题考查了有理数的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键.
2.【答案】C
【解析】解:2 3× 2−2=2 6−2= 24−2,
∵ 16< 24< 25,
∴4< 24<5,
∴2< 24−2<3
∴2 3× 2−2的值在2到3之间,
故选:C.
先根据二次根式的乘法运算法则进行计算,然后利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案.
本题考查了估算无理数的大小,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:从左边看,底层是三个小正方形,上层的左边是一个小正方形.
故选:B.
根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图.
4.【答案】C
【解析】解:A.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意;
D.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可.
本题考查了轴对称图形和中心对称图形,掌握相关定义是解答本题的关键.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
5.【答案】C
【解析】解:0.000000005=5×10−9,
故选:C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要确定a的值以及n的值.
6.【答案】B
【解析】解:sin30°+tan60°cs45°
=12+ 33× 22
=12+ 66
=3+ 66.
故选:B.
先用特殊角的三角函数值化简,然后再运用二次根式混合运算法则计算即可.
本题主要考查了特殊角的三角函数值混合运算,牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键.
7.【答案】B
【解析】解:原式=9a(a−3)−aa−3
=9a(a−3)−a2a(a−3)
=9−a2a(a−3)
=(3+a)(3−a)a(a−3)
=−3+aa
=−a+3a,
故选:B.
先把被减数的分母分解因式,然后进行通分,再按照同分母分式相加减,最后把分子分解因式,再进行约分即可.
本题主要考查了分式的加减运算,解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法.
8.【答案】C
【解析】解:∵−a2−1<0,
∴反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,
∵x1
由−a2−1<0得出反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,结合x1
9.【答案】C
【解析】解:∵x1,x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根,
∴x1x2=−2,x1+x2=−1,
∴x_1,
=(x1x2)2+4(x1+x2),
=(−2)2+4×(−1),
=4−4,
=0.
故选:C.
根据题意得到x1x2=−2,x1+x2=−1,再将其代入式子x_1的变形式中计算,即可解题.
本题考查了根与系数的关系,牢记x1x2=ca,x1+x2=−ba是解题的关键.
10.【答案】A
【解析】解:由作图可知,直线EF为线段BC的垂直平分线,AD=AC,AM为∠BAC的平分线,
∴点O为BC的中点,AD=AC=6,△ACD为等腰三角形,
∴AN为△ACD的中线,
∴点N为CD的中点,
∴ON为△BCD的中位线,
∴ON=12BD.
∵AB=11,
∴BD=AB−AD=5,
∴ON=2.5.
故选:A.
由作图可知,直线EF为线段BC的垂直平分线,AD=AC,AM为∠BAC的平分线,可知△ACD为等腰三角形,则AN为△ACD的中线,即点N为CD的中点,则ON为△BCD的中位线,根据三角形中位线定理可得答案.
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
11.【答案】C
【解析】解:∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠BAC=45°.
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°,EC=DC,∠ECD=90°,故A正确,不符合题意;
∴△EDC是等腰直角三角形,故B正确,不符合题意;
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°,DE2=2CD2,
∴AE2+AD2=DE2,
∴AE2+AD2=2CD2,
∵AE=BD,
∴BD2+AD2=2CD2,故D正确,不符合题意;
不能证明∠AED=∠EDC,故C错误,符合题意;
故选:C.
由AC=BC,∠ACB=90°,可得∠ABC=∠BAC=45°,由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°,EC=DC,∠ECD=90°,可判定A正确,B正确;根据∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°,可得AE2+AD2=DE2,即可得BD2+AD2=2CD2,判断D正确;不能证明∠AED=∠EDC,可判断C错误.
本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键.
12.【答案】C
【解析】解:∵20+8×2=36(件),
∴降价8元时,每天卖出数量为36件,故①正确;
设商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价x元,
∴(40−x)(20+2x)=1200,
解得x=10或x=20,
∵要尽快减少库存,则x=20.
∴商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价20元,故②不正确;
设商场平均每天盈利w元,每件衬衫应降价x元,
根据题意得:w=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250,
∵−2<0,
∴当x=15时,y的最大值为1250,
∴当每件衬衫降价15元时,商场每天获得的最大利润是1250元.故③正确.
故选:C.
根据每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,得出每件衬衫每降价8元,商场平均每天可多售出16件可判断①;根据每天获得利润=每件的利润×销售量列出方程,根据题意要尽快减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快.据此可判断②;根据每天获得利润=每件的利润×销售量列出函数解析式,根据函数的性质求最值可判断③.
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用,关键是列出函数解析式.
13.【答案】16
【解析】解:由题意可得:
一共有12种等可能的结果,抽取的两张卡片上的数字之和等于6的2种,
∴抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率为212=16,
故答案为:16.
画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的数字之和等于6的结果数,再利用概率公式可得出答案.
本题考查列表法与树状图法,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
14.【答案】2a2
【解析】解:(a3)2÷(a⋅a3)+a2
=a6÷a4+a2
=a2+a2
=2a2.
故答案为:2a2.
先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算,再根据同底数幂的除法进行计算,最后合并同类项即可.
本题考查了整式的混合运算,能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键,注意运算顺序.
15.【答案】 3− 2
【解析】解:原式=( 3+ 2)×( 3− 2)×( 3− 2)
=(3−2)×( 3− 2)
= 3− 2.
故答案为: 3− 2.
利用平方差公式计算.
本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键.
16.【答案】10
【解析】解:∵直线y=kx+b与y=2x+1平行,
∴k=2,
∴y=2x+b
将点(−3,4)代入得4=2×(−3)+b,解得b=10.
故答案为:10.
根据两平行直线的解析式的k值相等求出k,再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b,从而得解.
本题考查的一次函数的解析式以及两直线平行的问题,熟记两直线平行的解析式的k值相等是解题的关键.
17.【答案】8
【解析】解:∵等边△ABC,
∴AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°,
如图,记AB、BC的中点为P、Q,连接DP、DQ,
又∵D是AC的中点,
∴DP、DQ是△ABC的中位线,
∴DP=12BC=12AB=DQ,DP//BC,DQ//AB,
∴四边形BPDQ是菱形,△CDQ,△APD是等边三角形,
∴DP=BQ=12BC=12AB,DQ=CD,∠QDC=60°,
∵等边△DFE,
∴DF=DE,∠EDF=60°,
∴∠EDF−∠QDE=∠QDC−∠QDE,即∠FDQ=∠EDC,
∵DF=DE,∠FDQ=∠EDC,DQ=CD,
∴△FDQ≌△EDC(SAS),
∴CE=FQ,
∵等边△DFE,ME⊥DF,
∴FM=DM,
∵DP//BC,
∴∠FBM=∠DPM,∠BFM=∠PDM,
又∵FM=DM,
∴△BFM≌△PDM(AAS),
∴BF=DP=12AB,BM=PM=12BP=14AB,
∵BM+BF=6,
∴12AB+14AB=6,
解得,AB=8,
∴CE=FQ=BF+BQ=8,
故答案为:8.
如图,记AB、BC的中点为P、Q,连接DP、DQ,则DP、DQ是△ABC的中位线,DP=12BC=12AB=DQ,DP//BC,DQ//AB,证明四边形BPDQ是菱形,△CDQ,△APD是等边三角形,证明△FDQ≌△EDC(SAS),则CE=FQ,证明△BFM≌△PDM(AAS),则BF=DP=12AB,BM=PM=12BP=14AB,由BM+BF=6,即12AB+14AB=6,可得AB=8,根据CE=FQ=BF+BQ,计算求解即可.
本题考查了中位线,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定等知识.熟练掌握中位线,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质是解题的关键.
18.【答案】 13−3 以B为圆心,BA为半径画弧交⊙O于D,以A为圆心,AD为半径画弧交⊙O于D′,连接BD′交OA于P,点D,P即为所求.
【解析】解:(Ⅰ)∵OA=3,AB=2,OA⊥AB,
∴OB= OA2+AB2= 32+22= 13,
∴BC=OB−OC=OB−OA= 13−3,
故答案为 13−3;
(Ⅱ)如图,以B为圆心,BA为半径画弧交⊙O于D,以A为圆心,AD为半径画弧交⊙O于D′,连接BD′交OA于P,点D,P即为所求.
在△OBD和△OBA中,
OD=OAOB=OBBD=BA,
∴△OBD≌△OBA(SSS),
∴∠ODB=∠OAB=90°,OD⊥OB,
∴BD是⊙O的切线,
由垂径定理可知:D′是D关于OA的对称点,
∴DP=D′P,
当B,P,D′三点共线时,BP+DP=BP+D′P取得最小值,
∵BA是⊙O的切线,题中未指明D与A重合,
∴当D与A重合时,若P也与A重合,则BP+DP=BA也取得最小值.
故答案为:以B为圆心,BA为半径画弧交⊙O于D,以A为圆心,AD为半径画弧交⊙O于D′,连接BD′交OA于P,点D,P即为所求.
(Ⅰ)利用网格根据勾股定理求出OB的长,再用OB−OC即可求解BC的长;
(Ⅱ)以B为圆心,BA为半径画弧交⊙O于D,以A为圆心,AD为半径画弧交⊙O于D′,证明△OBD≌△OBA,得出BD是⊙O的切线,通过垂径定理可得点D,D′关于OA对称,有最短路径,可得当B,P,D′三点共线时,BP+DP=BP+D′P取得最小值,而题中未指明D与A重合,当D与A重合时,若P也与A重合,则BP+DP=BA也取得最小值.
本题主要考查作图−复杂作图,勾股定理,圆周角定理,轴对称−最短路径问题及垂径定理等知识,解决本题的关键是掌握轴对称的性质.
19.【答案】解:(1)∵∠BAM=30°,∠CBM=60°,
∴∠AMB=30°,
∴BM=AB=40(米),
在Rt△BCM中,MC=BM⋅sin∠CBM=20 3(米),
答:大桥立柱在桥面以上的高度MC为20 3米;
(2)在Rt△BCM中,BC=12BM=20米,
∴AC=AB+BC=60(米),
在Rt△ACN中,CN=AC⋅tan∠CAN≈60×0.27≈16.2(米),
∴MN=MC+NC≈20 3+16.2≈51(米),
答:大桥立柱在水面以上的高度MN约为51米.
【解析】(1)根据正弦的定义求出MC;
(2)根据正切的定义求出CN,结合图形计算即可.
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
20.【答案】x≥−1 x<2 −1≤x<2
【解析】解:(1)解不等式①,得x≥−1;
(2)解不等式②,得x<2;
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为−1≤x<2.
故答案为:(1)x≥−1;(2)x<2;(4)−1≤x<2.
(1)解不等式①即可;
(2)解不等式②即可;
(3)把不等式组解集表示在数轴上即可;
(4)写出不等式组解集即可.
本题考查解一元一次不等式组,解题的关键是掌握取公共解集的方法.
21.【答案】解:(1)40,25;
(2)∵在这组数据中,3出现了15次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数为3,
∵将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是3,有3+32=3,
∴这组数据的中位数为3.
观察条形统计图,x−=1×4+2×8+3×15+4×10+5×340=3,
∴这组数据的平均数是3.
(3)∵在40名学生中,这周参加家务劳动次数大于3的人数比例为25%+7.5%=32.5%,
∴估计该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数比例的为32.5%,于是,有1200×32.5%=390.
∴该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数约为390人.
【解析】解:(1)由扇形图可知样本中劳动1次的占10%,由条形图可知劳动1次的学生有4人,
所以接受抽样调查的学生人数为4÷10%=40,
由条形图可知劳动4次的学生有10人,故所占比例为10÷40=25%,
故答案为:40,25;
(2)见答案;
(3)见答案.
(1)根据劳动1次的人数及所占百分比可得调查的学生人数,将劳动4次的人数除以总人数可得m的值;
(2)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可;
(3)将样本中家务劳动4次和5次的学生人数所占比例的和乘以总人数1200即可.
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识.找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
22.【答案】(Ⅰ)证明:如图1,连接OC,
∵∠D=28°,
∴∠COP=2×28°=56°,
∵过点P作⊙O的切线,切点为点C,
∴∠OCP=90°,
∴∠P=90°−56°=34°;
(Ⅱ)解:如图2,连接AC,OC,
∵四边形CDBP为平行四边形,
∴∠D=∠CPB,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
由(1)得∠OCP=90°,
∴∠ACB=∠OCP,
∵∠D=∠A=∠CPB,
∴∠D=∠A=∠CPB=∠PCB,
在△ACP中,∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB=180°,
∴∠A+∠BCP+∠CPB=90°,
∴∠A=∠CPB=∠PCB=30°,
∴∠OBC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC=5,
∴PC= 3OB=5 3.
【解析】(Ⅰ)利用切线的性质和圆周角定理即可证明;
(Ⅱ)利用平行四边形的性质,三角形内角和定理,结合(Ⅰ)的结论,证明△OBC是等边三角形,即可求出结论.
本题考查了切线的性质,平行四边形的性质,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是正确作出辅助线.
23.【答案】360 60 56 6803 52或196
【解析】解:(Ⅰ)①根据图像可以读出距离为360km;
②120÷2=60;
③乙车需要360÷60=6小时,6+12−523=56;
④360−1203×(4−223)+120=6803;
⑤第一次相遇:120÷60+12=52;
第二次相遇:360−1203x+2803=60(x−12),解得x=196.
(Ⅱ)当0≤x≤2时,y1=60x;
当2
由题意,可知甲车在乙车前面,设两车所在位置的距离相差ykm,
则y=(80x−2803)−(60x−30)=20x−1903,
∵20>0,∴y随X的增大而增大,
∴当x=5时,y取得最大值1103.
答:两车所在位置的距商最多相差1103km.
(Ⅰ)根据图表信息,即可求出相应结果.
(Ⅱ)根据图像可知0≤x≤523,被分为三部分,分别是0≤x≤2、2≤x≤223、223≤x≤523,找到对应点求出解析式即可.
(Ⅲ)当312≤x≤5时,设两车所在位置的距离相差km,则y=(80x−2803)−(60x−30)=20x−1903根据x的取值范围确定y的最大值.
本题考查了一次函数图形解决实际问题相关知识,理解数据的实际意义,并能灵活运用是解决问题的关键.
24.【答案】解:(1)∵四边形AOBC是矩形,点C的坐标为(5,3).
∴∠OBC=∠ACB=90°,AC=OB=5,BC=3,
∵矩形AOBC绕点B顺时针旋得到矩形DEBF,
∴BE=OB=5,
∴CE= BE2−BC2= 52−32=4,
∴AE=AC−CE=1;
(2)分三种情况:
①当0
∴△BB′G∽△ECB,
∴BB′EC=B′GBC,
即m4=B′G3,
解得:B′G=34m,
∴S=S△B′BG=12BB′×B′G=38m2;
即S=38m2(0
∴S=S梯形MBB′F=12(FM+BB′)×B′F=12(m−4+m)×3=3m−6;
即S=3m−6(4
∴△BE′H∽△ECB,
∴BE′EC=E′HBC,即m−54=E′H3,
解得:E′H=34(m−5),
∴S△BE′M=12BE′×E′H=12×(m−5)×34(m−5)=38(m−5)2,
∴S=S梯形MBB′F−S△BE′M=3m−6−38(m−5)2=−38m2+274m−1238;
即S=−38m2+274m−1238(5
(2)分三种情况①当0
25.【答案】解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x−x1)(x−x2),
则y=14(x+2)(x−4)=12x2−x−4;
(2)由抛物线的表达式知,点C(0,−4),
由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为:y=x−4,
设点E(x,x−4),则点P(x,12x2−x−4),
由点B、C的坐标知,∠OCB=45°=∠EPF,
则EF= 22EP= 22(x−4−12x2+x+4)= 22(−12x2+2x),
∵a=− 22×12<0,
故EF有最大值为 2,
此时,x=2,
则点E(2,−2);
(3)过点F作FT⊥y轴于点T,如下图,
设点F(x,x−4),
则FT=TC=x,CF=CQ= 2x,
则OQ=4− 2x,
则BQ= OB2+OQ2= 2× (x−2 2)2+8,
同理可得:OF= x2+(x−4)2= 2× (x−2)2+4,
则BQ+OF= 2×( (x−2 2)2+8+ (x−2)2+4),
如下图:设点M(2,−2)、点N(2 2,2 2),K(x,0),
则MK+NK= (x−2 2)2+8+ (x−2)2+4,
作点M关于x轴的对称点V(2,−2),
则MK+NK的最小值为:NV= (2 2−2)2+(2 2+2)2=2 6,
故BQ+OF的最小值为2 6× 2=4 3.
【解析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)由EF= 22EP,即可求解;
(3)求出BQ+OF= 2×( (x−2 2)2+8+ (x−2)2+4),进而求解.
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理的运用、点的对称性等,有一定的综合性,难度适中.
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