内蒙古自治区赤峰市松山区赤峰新城红旗中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份内蒙古自治区赤峰市松山区赤峰新城红旗中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知，则的值为（ ）
A.4B.5C.6D.7
2.质点做直线运动，已知其位移与时间的关系是，则在时的瞬时速度为（ ）
A.6B.12C.18D.24
3.若，，且，，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（ ）
A.15B.12C.5D.4
4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.函数在上的最大值是（ ）
A.B.C.D.0
6.函数在处取极小值，则（ ）
A.6或2B.6或C.6D.2
7.若函数，则与的大小关系是（ ）
A.B.
D.不确定
8.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A.. B.C.D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9.下列结论中正确的有（ ）
A.若，则B.
C.若，则D.
10.已知，下列说法正确的是（ ）
A.的极大值为B.在处的切线方程为
C.的单调递减区间为B.方程有两个不同的解
11.2022年2月5日晚，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ）
A.武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B.范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C.任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D.任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
12.若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围的子集有（ ）
A.B.C.D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数的单调递减区间是______.
14.由数字0，1，2，3，4，5 可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有______个.
15.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有______种.
16.定义在上的函数满足，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为1种车票（）.
（1）该铁路的客运车票有多少种？
（2）为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值.
18.（12分）已知函数.
（1）若函数在点处的切线与直线互相垂直，求点的坐标；
（2）过点作直线的切线，求此切线的方程.
19.（12分）已知，函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
20.（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求的值；
（2）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品获得的利润最大.
21.（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，函数在区间上最大值与最小值的差为1，求的值.
22.（12分）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）证明：当时，.
赤峰新城红旗中学与赤峰元宝山区第一中学2023—2024学年
高二下学期4月联考数学参考答案
1. B 2. C 3. A 4. B 5. D 6. D 7. B 8. A
9. BD 10. AC 11. ABD 12. CD
13. 14.216 15.12 16.
17.【解析】
【分析】根据条件利用排列公式建立方程就可以解决.
【小问1详解】
铁路的客运车票有.
【小问2详解】
在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则.
所以，解得.
18.【小问1详解】，.
设，
函数在点处的切线与直线互相垂直，
，解得.
或.
【小问2详解】
过点作曲线的切线，设点为，
则，
切线方程为，
代入点得，解得或
即切线方程为或.
19.解：（1）当时，，.
令，即，注意到，所以，解得.
所以，函数的单调递增区间为.
同理可得，函数的单调递减区间为和.
（2）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.
又因为，所以，注意到，
因此在上恒成立，也就是在上恒成立.
设，则，即在上单调递增，
则，故.即实数的取值范围为.
的取值范围为.
20.提示：（1）时，，代入函数关系式，解得.
（2）由，得该商品每日的销售量为（）.接下来建立利润关于的函数模型；，.要求最大利润，研究函数的单调性，还是一样考虑求导：.令得或（舍）.当时，，是增函数；当时，，是减函数，所以当时，取到极大值，因为在上只有一个极值，所以，因为在上只有一个极值，所以为最大值.综上，当时，函数取得最大值42.因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
21.解（1），
①若，当时，；
当时，，
所以在，
②若，，在上单调递增，
③若，当时，；
当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，，
所以.
所以，故.
22.解析（1），
（2分）
当时，；当时，，
当发生变化时，，的变化情况如下表：
因此，当时，有极大值，并且极大值为，没有极小值.（6分）
（2）证明：令，
则，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减.（8分）
又，，，
所以在上存在唯一零点，设为.则，（9分）
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以当时，，（11分）
故.（12分）
＋
0
－
极大值