2022-2023学年宁夏银川十五中八年级（下）期中数学试卷-普通用卷

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这是一份2022-2023学年宁夏银川十五中八年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若mA. m−3>n−3B. 3m>3nC. −3m>−3nD. m3−1>n3−1
2.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9B. x2+x−5=x(x+1)−5
C. x2+1=x(x+1x)D. x2+4x+4=(x+2)2
3.不等式组x≤2x>−1的解表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中( )
A. 至少有两个内角是直角B. 没有一个内角是直角
C. 至少有一个内角是直角D. 每一个内角都不是直角
5.下列式子：1x，x2+12，x+yπ，3x+1y，aa2−1，中，是分式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
6.若把分式x+y2xy中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的3倍B. 不变C. 缩小为原来的13D. 缩小为原来的16
7.下列命题中正确的有( )
①两直角边对应相等的两直角三角形全等；
②两锐角对应相等的两直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个
8.观察函数y=−2x+4的图象，下列说法中不正确的是( )
A. 当y=4时，x=2
B. x>2时，y<0
C. 当x=2时，y=0
D. 当x<2时，y>0
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式1x−4有意义，则实数x的取值范围是______．
10.等腰三角形的顶角为40°，则其底角为______度.
11.若2a−b=0，且b≠0，则分式a+ba−b的值为______．
12.若多项式x2−mx+16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值应为______．
13.若关于x的分式方程x−2x+4=mx+4有增根，则m= ______．
14.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b15.已知x2+y2−4x+6y+13=0，则x= ______，y= ______．
16.如图，在△ABC中，∠C=84°，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A=______度．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.解方程：2x+2+1=xx−1．
18.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元(x>300)．
(1)请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
因式分解：
(1)−4x2y+4xy2−y3；
(2)9(x−y)2−(x+y)2．
20.(本小题6分)
解不等式组5−3x≥x+12x+13−1>x−22，并把解集在数轴上表示出来．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(1a+1−a−3a2−1)÷2a+1，其中a= 2+1．
22.(本小题6分)
先因式分解，后求值：x(y+x)(y−x)−x(x−y)2，其中x=2，y= 3+2．
23.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F.求证：△AEF是等腰三角形．

24.(本小题8分)
在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
25.(本小题10分)
如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．
26.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=4 3cm，∠ABC的平分线BD交AC于点D.动点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿BD方向匀速向点D运动.已知点P、Q的运动速度都是1cm/s，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t(s)(0(1)求BD长；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点D在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)当t=52时，求四边形PABQ的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、若mn−3不正确；
B、等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，所以3m>3n不正确；
C、不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，故−3m>−3n正确；
D、不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，所以m3>n3不正确，故m3−1>n3−1也不正确．
故选：C．
根据不等式的性质分析判断．
本题考查了不等式的性质，能够熟练的运用不等式的性质是解题的关键．
不等式的性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】D
【解析】解：A和B都不是积的形式，应排除；
C中，结果中的因式都应是整式，应排除．
D、x2+4x+4=(x+2)2，正确．
故选：D．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
3.【答案】D
【解析】解：解不等式组得−1故选D．
先解不等式组求得解集，再在数轴上表示出来．
不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】B
【解析】解：x2+12,x+yπ是整式，1x,3x+1y,aa2−1是分式，共3个，
故选：B．
根据分式的定义：分母中含有未知数的式子叫分式，对各个式子进行判断，然后解答即可．
本题主要考查了分式的定义，解题关键是熟练掌握分式定义：分母中含有未知数的式子是分式．
6.【答案】C
【解析】解：x和y都扩大为原来的3倍分别为3x和3y。
把原式中的x、y分别换成3x、3y，则：
3x+3y2⋅3x⋅3y=3(x+y)3·3·2xy= 13⋅x+y2xy，
∴把分式x+y2xy中的x和y都扩大为原来的3倍，分式的值缩小为原来的13，
故选：C．
把原式中的x、y分别换成3x、3y进行计算，再与原分式比较即可．
本题考查了分式的基本性质．解题关键是熟练掌握分式的基本性质．
7.【答案】B
【解析】解：①两直角边对应相等的两直角三角形全等，是真命题，符合“边角边”；
②两锐角对应相等的两直角三角形全等，是假命题；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等，是真命题，符合“HL”；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等，是真命题，符合“角角边”或“角边角”；
综上所述，命题正确的是①③④共3个．
故选：B．
根据三角形全等的判定方法对各小题分析判断即可得解．
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A.观察函数图象，可知：当y=4时，x=0，选项A符合题意；
B.观察函数图象，可知：当x>2时，y<0，选项B不符合题意；
C.观察函数图象，可知：当x=2时，y=0，选项C不符合题意；
D.观察函数图象，可知：当x<2时，y>0，选项D不符合题意．
故选：A．
仔细观察函数图象，对照四个选项，即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
9.【答案】x≠4
【解析】解：因为分式有意义的条件是分母不能等于0，
所以x−4≠0，
所以x≠4．
故答案为：x≠4．
根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．
10.【答案】70
【解析】解：由题意，得
(180°−40°)÷2=70°
故此等腰三角形的底角为70°．
故填70．
由已知等腰三角形的顶角为40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
此题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．利用等边对等角式解答本题的关键．
11.【答案】−3
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值，正确将已知代入是解题关键．直接利用已知代入分式化简得出答案．
【解答】
解：∵2a−b=0，且b≠0，
∴b=2a，
则分式a+ba−b=a+2aa−2a=3a−a=−3．
故答案为：−3．
12.【答案】±8
【解析】【分析】
此题主要考查了运用公式法分解因式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍，据此求出m的值是多少即可．
【解答】
解：x2−mx+16=x2−mx+42，
∵x2−mx+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m=2×4=8或m=−(2×4)=−8，
∴m的值应为±8．
故答案为：±8．
13.【答案】−6
【解析】解：去分母，得：x−2=m，
由分式方程有增根，得到x+4=0，即x=−4，
把x=−4代入整式方程，可得：m=−6．
故答案为：−6．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x+4=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】x<1
【解析】解：∵一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，
根据图象可知，不等式x+b故答案为：x<1．
根据一次函数图象即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
15.【答案】2；−3
【解析】解：∵x2+y2−4x+6y+13=0，
∴(x−2)2+(y+3)2=0，
∴x=2，y=−3，
故答案为：2、−3．
把已知条件转化为(x−2)2+(y+3)2=0的形式，根据非负数的性质求得x、y的值．
此题主要考查完全平方公式，两个非负数相加为0，则都等于0．
16.【答案】32
【解析】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A=∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠C=84°，
∴∠A+2∠ABD=180°−∠C，
即3∠A=180°−84°，
∴∠A=32°．
故答案为：32．
由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．
本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
17.【答案】解：2x+2+1=xx−1，
方程两边同时乘以(x+2)(x−1)，得
2(x−1)+(x+2)(x−1)=x(x+2)，
2x−2+x2+x−2=x2+2x，
∴x=4，
经检验x=4是方程的解；
∴方程的解为x=4；
【解析】本题考查解分式方程；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
方程两边同时乘以(x+2)(x−1)，得x=4；经检验即可得出答案．
18.【答案】解：(1)在甲超市购物所付的费用是：300+0.8(x−300)=(0.8x+60)元，
在乙超市购物所付的费用是：200+0.85(x−200)=(0.85x+30)元；
(2)①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
②当0.8x+60>0.85x+30时，
解得x<600，而x>300，
∴300即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；
③当0.8x+60<0.85x+30时，解得x>600，
即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
【解析】(1)根据超市的销售方式可列式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用；
(2)购物所需费用需分情况讨论，一般分为①两家超市购物所付费用相同，②到乙超市更优惠，③到甲超市更优惠，三种情况，分别计算即可．
此题的关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物所需的费用，(2)用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
19.【答案】解：(1)原式=−y(4x2−4xy+y2)
=−y(2x−y)2；
(2)原式=[3(x−y)+(x+y)][3(x−y)−(x+y)]
=(3x−3y+x+y)(3x−3y−x−y)
=(4x−2y)(2x−4y)
=4(2x−y)(x−2y)．
【解析】(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：由5−3x≥x+1得：x≤1，
由2x+13−1>x−22得：x>−2，
则不等式组的解集为−2将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：原式=[a−1(a+1)(a−1)−a−3(a+1)(a−1)]⋅a+12
=2(a+1)(a−1)⋅a+12
=1a−1，
当a= 2+1时，
原式=1 2+1−1
=1 2
= 22．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22.【答案】解：原式=(x−y)[−x(x+y)−x(x−y)]
=(x−y)(−x2−xy−x2+xy)
=−2x2(x−y)，
将x=2，y= 3+2代入计算，
原式=−2×22×(2− 3−2)
=8 3．
【解析】运用运算法则先将原式进行化简，然后再将x=2，y= 3+2代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练运用运算法则先将原式进行化简然后再代入计算是解题的关键．
23.【答案】证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
【解析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠BFP=∠AFE，再利用等量代换得到∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
24.【答案】解：(1)设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得：60x+45y=114045x+30y=840，
解得：x=16y=4．
答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．
(2)设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品(600−m)件，
依题意，得：16m+4(600−m)≤7000，
解得：m≤38313，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为383．
答：A种防疫物品最多购买383件．
【解析】(1)设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品(600−m)件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】证明：(1)∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
解：(2)AG=3DG．
理由：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，
∴∠DEG=30°
∴DE=2DG，
∴AD=4DG，
∴AG=3DG．
【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是(1)证AE=AF和DE=DF；(2)证AD=2DE和DE=2DG.题目比较典型，综合性强．
(1)由AD为△ABC的角平分线，得到DE=DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论；(2)由已知推出∠EAD=30°，得到AD=2DE，在△DEG中，由∠DEG=30°推出DE=2DG，即可推出结论．
26.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=4 3cm，
∴∠ABC=60°，sin30°=BCAB，
∴BC4 3=12，
∴BC=2 3，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，cs∠CBD=BCBD，
∴2 3BD= 32，
∴BD=4；
(2)∵点P、Q的运动速度都是1cm/s，
∴BQ=t cm，DP=t cm，则DQ=(4−t)cm，
∵点D在线段PQ的垂直平分线上，
∴DP=DQ，
∴t=4−t，
解得t=2，
∴当t=2时，点D在线段PQ的垂直平分线上；
(3)当t=52时，DP=52，DQ=32，
∵BD=AD=4，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ADB=120°，
∴△DPQ的边DQ上的高为54 3，
∴S四边形PABQ=S△ABD−S△DPQ
=12×4 3×2−12×32×5 34
=49 316，
∴当t=52时，四边形PABQ的面积为49 316．
【解析】(1)由直角三角形的性质求出BC=2 3，解直角三角形可得出答案；
(2)由题意得出BQ=t cm，DP=t cm，则DQ=(4−t)cm，根据线段垂直平分线的性质得出DP=DQ，得出t=4−t，则可求出答案；
(3)根据三角形面积公式可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了角平分的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的面积、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．

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