甘肃省武威市凉州区凉州区松树镇九年制学校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题(每题3分，共30分)
1. 在式子、、、、中，是二次根式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
【详解】解：、、、、都是二次根式，
当，，则无意义，
综上，是二次根式的有个，
故选：C．
2. 如果和都是有意义的，那么应该满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可
【详解】解：∵和都有意义，
∴a⩾0且−a⩾0，
∴a⩾0且a⩽0，
∴a=0，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0是解题的关键．
3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，1，B. 2，3，4C. 0.3，0.4，0.5D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】欲判断是否为勾股数，首先判断是否为正整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
【详解】解：A、∵不是正整数，∴1，1，不是勾股数，故该选项不符合题意；
B、∵，∴2，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意；
C、∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，故该选项不符合题意；
D、∵，∴5，12，13是勾股数，故该选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股数，解答本题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足，则△ABC是直角三角形．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. ﹣C. ﹣2D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【详解】﹣＝﹣3＝﹣2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，二次根式加减法实质是合并同类二次根式，关键是把二次根式化成最简二次根式.
5. 在中，，的平分线交于点，，，则到的距离是( )

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，勾股定理；勾股定理求得，过作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得．
【详解】解：中，，，，
∴，
过作，

是的平分线，，
，
到的距离是，
故选：A．
6. 若，则的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，由题意中，根据绝对值的性质以及二次根式的性质化简即可，掌握以上性质是解题的关键．
【详解】解：∵
∴，，
∴
，
故选：A．
7. 下列各式的计算中，正确的是（ ）.
A.
B. =3+4=7
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．A、、没有意义，故本选项错误；B、=5，运算错误，故本选项错误；C、，故本选项正确；D、，运算错误，故本选项错误．
故选C．
考点：二次根式乘除法．
8. 如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC与点D，点E为AC边的中点，BC=8；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为（ ）
A. 4B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先根据等边三角形的性质得出AC=8，，连接BE，则线段BE的长即为QE+QC最小值，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AC=8，
连接BE，
∵AD平分∠BAC，
∴AD是BC的中垂线，即QB=QC，
∴线段BE的长即为QE+QC最小值，
∵点E是边AC的中点，
∴CE=AE=4，BE⊥AC，
∴，
∴QE+QC的最小值是，
故选A．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9. 如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab的值．
【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：，又小正方形的面积为
即
∴
∴ab=6
故选：B．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示大小正方形的面积．
10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本作图可判断A；根据角平分线的性质可判断B；根据勾股定理求出的长可判断C；根据勾股定理求出，可判断D．
【详解】解：由作图可得，平分，
∴，故选项A不符合题意；
∵，
∴，故选项B不符合题意；
∵
∴
∴
中，，
∴，
设，则
在中，
∴
解得，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∴，
在中，
∴选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质的运用，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
二、填空题(每题3分，共30分)
11. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】x≥1且x≠3
【解析】
【分析】根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出x−1≥0且x−3≠0，再求出答案即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x−1≥0且x−3≠0，
解得：x≥1且x≠3，
故答案为：x≥1且x≠3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，注意：①式子中a≥0，②分式的分母B≠0．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简两个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的化简与合并同类二次根式”是解本题的关键．
13. 用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是_____．
【答案】（答案不唯一，只要负数即可）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据求解即可得到答案；
【详解】解：∵“”是错误的，
∴，
故答案为：（答案不唯一，只要负数即可）．
14. 若，都是实数，，则的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】由二次根式的非负性可得的值，进而可求出的值，即可求解．
【详解】解：由题意得：且
∴
解得：，则，
故．
故答案为：8．
【点睛】本题考查二次根式的非负性．掌握相关性质是解题关键．
15. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___．
【答案】10
【解析】
【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得：
A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解决此题的关键熟练运用勾股定理的发现的来源．
16. 最简二次根式与是同类二次根式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据最简二次根式定义、同类二次根式定义可得，且，解出，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，解得，
．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及最简二次根式定义、同类二次根式定义、解二元一次方程组等知识，熟记最简二次根式定义、同类二次根式定义，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键．
17. ，的值为____．
【答案】6
【解析】
【分析】先把化为 再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴原式＝
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式求代数式的值，同时考查二次根式的乘方运算，掌握完全平方公式是解题的关键．
18. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，
∵点C是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
19. 如图，在中，，的平分线交于点D，且，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识点，作可证得，；设，则
，根据即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵平分，，
∴
∵，
∴
∴
设，则
∴
∵
∴，
解得：
∴
故答案为：
20. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在中，已知，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求得三角形周长的一半的值，然后代入公式，化简即可求解．
【详解】解：∵为三角形周长的一半，，，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
三、解答题(共7题；共60分)
21. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，实数的运算：
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可得到答案；
（2）根据完全平方公式求解即可；
（3）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案；
（4）先计算立方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解；
；
【小问3详解】
解：

；
【小问4详解】
解：
．
22. 在中，，，．试判断形状．
【答案】是直角三角形，理由见详解．
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，即可得到结论．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
即AC2+BC2=AB2
∴是直角三角形．
【点睛】本题主要考查判断三角形的形状，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
23. 学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【答案】9米
【解析】
【分析】设，则，，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．
【详解】解：设
依题意可知：在中，，，，，
根据勾股定理得：，即：，
解得：
答：旗杆AB的高度是9米．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．
24. 如图，在和中，，，点依次在同一直线上，且．

（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）25
【解析】
【分析】（1）由可知；
（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
，
在中，，
，
∴，
∴的长为25．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
25. 如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．
（1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；
（2）当BD=8m，且AB=CD时，AC的长是多少米；
（3）如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？

【答案】（1）米；（2）米；（3）米．
【解析】
【分析】（1）由， 利用勾股定理求出OB的长即可；
（2）由 利用勾股定理可求出OC的长，进而可求出AC的长；
（3）首先根据题意画出图形，利用勾股定理求出的长，再利用，从而可得答案．
【详解】解：（1）由，

这个梯子的底端距墙的垂直距离有米．
（2）



所以AC的长是米．
（3）如图，由题意得：梯子侧移到，

,

所以梯子的顶端向上滑动的距离是米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解以及熟练运用勾股定理是解题的关键．
26. 先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋
解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________
②根据上述思路，试将下列各式化简：
(1)； (2)
【答案】①，，3+；②(1)5-；(2) .
【解析】
【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形，计算即可得到结果；
②仿照以上方法将各式化简即可．
【详解】①===3+，
故答案为，，3+；
②(1)
=
=
=
=
=5-；
(2)
=
=
=
=
=.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．