江苏省淮安市开发区开明中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学复习试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可．
【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段，
∴，
∵，，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解．
2. 若sinα＝，则锐角α＝（ ）
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】根据30°角的正弦值等于解答．
【详解】解：∵sinα＝，
∵锐角α＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，需熟记特殊角的三角函数值是解答此类试题的关键．
3. 已知且,则为（ ）
A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：1
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
考点：三角形相似的应用．
4. 圆锥的母线是2，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积．
【详解】由题意得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于母圆锥的母线长是解题的关键．
5. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】积的乘方就是将乘积的每一项进行乘方运算，再求积，即，根据性质进行运算即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的知识，掌握积的乘方的性质准确计算是做出本题的关键．
6. 一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等实数根；
方程没有实数根．
7. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一次函数图象过（3，0）知x＞3时，y=kx+b＜0，从而得出答案．
【详解】解：由函数图像可得一次函数y=kx+b经过点（3，0），
∴当x＞3时，y=kx+b＜0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质及解一元一次不等式的能力．
8. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ③④D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案．
【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
则48名同学视力的众数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据众数的定义即可求解．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：根据表格可知：名同学视力的众数是
故答案为：．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是解题的关键．
10. 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______
【答案】
【解析】
【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，勾股定理与勾股定理的逆定理，正确理解题意得到所求的概率即为阴影分别面积与网格长方形面积的比值是解题的关键．
11. 把因式分解的结果是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12. 请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案．
【详解】解：，，设常数为，
故答案：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13. 已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为_____．

【答案】56°
【解析】
【分析】由圆的切线的性质，得，结合得．由切线长定理得到，得是等腰三角形，从而可得．
【详解】∵是的切线，为的直径，
∴，即．
∵，
∴．
又∵切于点A、C，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质定理和切线长定理．
14. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】找到格点，连接、，可知为直角三角形，根据三角函数定义求解即可．
【详解】解：找到格点，连接、，如图
由题意可得为直角三角形，，
则
，
故答案为：
【点睛】此题考查了三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义．
15. 河面上有两座桥：一座抛物型拱桥，一座圆弧型拱桥．受降雨影响，河水的水位持续上涨．上午8:00，两座桥的水面宽均为，1小时后，水面上涨了，此时水面宽都变为．假设水位上涨的速度保持不变，先被淹没的桥是_________，比另一座桥被淹没早__________小时．
【答案】 ①. 圆弧型拱桥 ②.
【解析】
【分析】根据题意，分别求出两拱桥最高点到水平面的距离即可判断；
【详解】解：以抛物型拱桥中间为y轴，上午8:00时水平面为x轴建立直角坐标系；
设抛物型拱桥所对应的表达式为：，
由题可得点（-4，0）、（4，0）、（1，3），
将其代入得，
解得：
∴抛物型拱桥最高点到上午8:00时水平面的距离为m，
∵1小时后，水面上涨了，
∴水位上涨的速度为1m/h，
∴抛物型拱桥淹没需要h，
由题意知，作圆弧型拱桥的几何图如下，
，O为圆心，
由圆的性质可知，
∵
∴
即
解得：
∴
∴圆弧型拱桥最高点到上午8:00时水平面的距离为2m，
∴圆弧型拱桥淹没需要2h，
∴圆弧型拱桥先被淹没，比抛物型拱桥被淹没早了-2=h；
故答案为：圆弧型拱桥；．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、圆的性质，掌握相关知识，正确理解题意是解题的关键．
16. 如图，反比例函数的图象在第一象限，反比例函数的图象在第四象限，把一个含角的直角三角板如图放置，三个顶点分别落在原点O和这两个函数图象上的A，B点处，若点B的横坐标为2，则k的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】过点作轴于，过点作于，是等腰直角三角形，可证得，得，，由于点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，可设，可得，最后由点在反比例函数的图象上，代入即可求得值．
【详解】如图所示，过点作轴于，过点作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，,
∴，
∴
∴，，
∵点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，
∴可设
∴，，
∴
∵点在反比例函数的图象上，
∴
解得，（舍去）
∴的值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查反比例函数的的定义及求解析式，熟练掌握用待定系数法求反比例函数的解析式是解此题的关键．
三、解答题（共11小题，102分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式根据立方根、零指数幂、算术平方根和绝对值的意义化简各式后再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，能正确根据运算法则进行计算是解答本题的关键．
18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
数轴表示如下所示：
19.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
20. 某校九年级的800名学生参加兴趣社团活动；现有以下5个兴趣社团：A．篮球社团，B．书香社团，C．舞蹈社团，D．编程社团，E．合唱社团，要求：每位学生都从中选择一个社团参加，为了了解同学们选择这5个社团的情况，现随机对九年级中的部分同学选择的兴趣社团进行了调查，收集、整理、统计、描述数据；
选择各兴趣社团的人数统计表：
选择各兴趣社团的人数统计图：
根据以上信息：
（1）请补全统计表和统计图___________，____________°．
（2）扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是___________°；
（3）根据样本数据估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有多少人？
【答案】（1）12，20
（2）36； （3）320人
【解析】
【分析】（1）根据A社团的人数和百分比求得调查学生总数即可解答；
（2）根据扇形圆心角=所占百分比×360°计算求值；
（3）根据调查学生中篮球社团和合唱社团的人数占调查人数的百分比估算总体中的人数即可；
【小问1详解】
解：由A社团的人数和百分比可得：调查学生总数=10÷25%=40人；
C社团人数=40-10-8-4-6=12人；
B社团百分比=；
故答案为：12，20
【小问2详解】
解：D部分对应的圆心角=10%×360°=36°；
【小问3详解】
解：A、E社团一共有10+6=16人，
∴估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有：800×=320人；
【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图的联合求值，用样本估计总体；读懂图表所表达的数据信息是解题关键．
21. 阅读下列材料，并回答问题.
事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________；
（2）如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）.
【答案】（1）10； （2），画图见解析
【解析】
【分析】(1)根据题目中的数据和勾股定理，可以求得这个直角三角形斜边的长；
(2)先根据图形和勾股定理写出点A表示的数，然后仿照点A表示的方法，可以在数轴上表示出点B
【小问1详解】
解：一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，
∴这个直角三角形斜边长为：，
故答案为：10；
【小问2详解】
解：由图可得，点A表示的数为：，
，
如下图所示，点B即为所求，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识和数形结合的思想解答．
22. 体育理化考试在即，某学校教务处为了调研学生的体育理化真实水平，随机抽检了部分学生进行模拟测试（体育70，理化30，满分 100）．
【收集数据】
85，95，88，68，88，86，95，93，87，93，98，99，88，100，97，80，85，92，94，84，80，78，90，98，85，96，98，86，93，80，86，100，82，78，98，88，100，76，88，99（单位：分）
【整理数据】
【分析数据】
（1）本次抽查学生人数共________名；
（2）填空：________________，补充完整频数分布直方图；
（3）若分数在的为优秀，估计全校九年级1200名学生中优秀的人数；
【答案】（1）40 （2）3；17
（3）估计全校九年级1200名学生中优秀的人数有570人．
【解析】
【分析】（1）统计数据个数；
（2）统计与范围内数据个数，画出频数分布直方图；
（3）用1200乘范围内的人数占抽查总人数的比率．
【小问1详解】
解：本次抽查的学生人数共40名；
故答案为：40；
【小问2详解】
解：统计数据：
：68，
：78，78，76，
：85，88，88，86，87，88，80，85，84，80，86，80，86，82，88，88，85，
：95，95，93，93，98，99，100，97，92，94，90，98，96，98，93，100，98，100，99，
则，
补充频数分布直方图如下：
故答案为：3；17；
【小问3详解】
解：（人），
估计全校九年级1200名学生中优秀的人数有570人．
【点睛】本题考查了数据的统计频率分布直方图，熟练掌握数据统计整理方法，频率分布直方图的意义，是解决此类问题的关键．
23. 在某文具用品商店购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元．
（1）求购买1个篮球和1个足球各需多少元？
（2）若计划用不超过900元购买篮球和足球共20个，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元
（2）10个
【解析】
【分析】（1）设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据“购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m个篮球，则购买个足球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过900元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，
根据题意得：,
解得：，
答：购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元；
【小问2详解】
设可以购买m个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为10．
答：最多可以购买10个篮球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24. 如图，直线过x轴上的点，与y轴交于D点，与抛物线交于B，C两点，点B坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结，求出的面积．
（3）当时，请观察图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）把点代入抛物线解析式，即可求解；
（2）联立两函数解析式可得点C的坐标为，再求出D点坐标． 然后根据，即可求解；
（3）直接观察图象可得当时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在抛物线上，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由题可知，直线的解析式为．
联立得：，，
解得：或，
∴点C的坐标为．
对于，
当时，，
∴D点坐标．
∴；
【小问3详解】
解：由图象得：当时，直线在抛物线的上方，
∴当时，x的取值范围．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
25. 如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个等式，这个等式是我们学过的一个完全平方公式．
请你结合以上知识，解答下列问题：
（1）图1中得到的完全平方公式是：
（2）写出图2所示的长方形所表示的数学恒等式 ．
（3）根据图3得到的结论，解决问题：若，，求代数式的的值．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的面积等于各个矩形的面积之和求解即可；
（2）根据大矩形的面积等于各个矩形的面积之和求解即可；
（3）根据图3对应得出结论，再整体代入数据进行求解即可．
【小问1详解】
解：图1，
拼成的正方形面积为，
各个小图形面积之和为，
∴图1所表示的数学等式是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：图2，
拼成的大矩形面积之和，
各个小图形面积之和，
∴图2所表示的数学等式是．
故答案为：；
【小问3详解】
解：由图3，
拼成的大长方形的面积为，
各个小的长方形的面积为，
则图3所示的长方形所表示的数学恒等式为，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查多项式乘多项式和完全平方公式的几何背景．解决本题的关键是能结合图形得出多项式乘多项式的结果，并利用整体思想求解．
26. 根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，
（1）问题解决：如图①，中，，，点E是线段上任意一点，连接，将沿翻折得，若点F落在上，则______；

（2）问题探究：
如图②，中，，，点E是线段上任意一点，连接，将沿翻折得，若，则的度数_____，此时______；

（3）问题运用：
如图③，在中，，，．点E是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．当最小时，______；

（4）拓展延伸：
如图④，在（3）的条件下，连接，当为直角三角形，并求出所有的值．

【答案】（1）1；（2），；（3）；（4）当为直角三角形，的值为：或或或．
【解析】
【分析】（1）可推出，进一步得出结果；
（2）可推出，进而得出是等腰三角形，进一步得出结果；
（3）可推出点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，作于G，先求得和，进而求得及，进一步得出结果．
（4）如图，记与交于H，过作于，由对折可得：，，当时，则，求解，可得，同理可得：，从而可得答案；如图，当时，过作于，求解，，，，设，由勾股定理可得：，解方程即可；如图，当，过作于，同理可得：，，，可得，，同理可得：，，设，由勾股定理可得：，解方程即可；如图，当时，过作于，，同理可得：，，证明是等腰直角三角形即可．
【详解】解：∵点A和点F关于对称，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴由折叠可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，

由翻折得：，
∴点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动， 连接，交于F，则最小，
作于G，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）如图，记与交于H，过作于，
由对折可得：，，
当时，则，

∴，
∴，而，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，；
如图，当时，过作于，

∵，，
∴，
∴，，而，
∴，，
设，
∴由勾股定理可得：，
解得：，即，
如图，当，过作于，

同理可得：，，，
∴，，
同理可得：，，
设，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
如图，当时，过作于，
∴，

同理可得：，，
由对折可得：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
综上：当为直角三角形，的值为：或或或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，圆的基本性质等知识，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
27. 如图，抛物线经过点，点；直线：与轴、轴分别相交于、两点．点在线段上运动，过点作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点．

（1）写出抛物线的解析式_______；
（2）如图1，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值，并写出此时点的坐标；
（3）如图2，在的条件下，将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度即的度数)；
（4）如图，当直线是抛物线的对称轴，点在直线上，若为钝角，请直接写出点纵坐标的取值范围_______．
【答案】（1）
（2），最大值为，
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）连接，根据题意可得，根据，然后根据面积关系将△BCQ的面积进行转化，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）由（2）可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值,从而得到的坐标，然后将求最大值转化为求的最大值，当与重合时，则点与重合，此时，进而等面积法求得，勾股定理求得，根据特殊角的余弦值，即可求解；
（4）勾股定理求得，进而根据当时，，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，点；
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，

∵点在线段上运动，，
∴
∴
，
∴当时，取得最大值为，
此时，，
【小问3详解】
解：∵，
∴，

根据题意知：，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴当与重合时，则点与重合，此时，
∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即旋转角为，
【小问4详解】
解：∵为抛物线的对称轴，
∴，，
∴，
∴，
，，
当时，，
则，
解得：．
∴当为钝角时，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，面积问题，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
兴趣社团
人数
A．篮球社团
10
B．书香社团
8
C．舞蹈社团
a
D．编程社团
4
E．合唱社团
6
成绩（单位：分）
频数（人数）
1

19