江苏省苏州市2024年九年级数学中考模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 计算的结果为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘法，根据法则计算即可．
【详解】解：
故选：C
2. 某种细菌细胞整的厚度为0.00000015m，数字0.00000015用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同即可解答．
【详解】数字0.00000015用科学记数法表示为．
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 某初中男子篮球队队员的身高数据是：186，175，187，186，184．这组数据的众数是（ ）
A. 175B. 186C. 184D. 187
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，在一组数据中，众数可能不止一个．根据众数的定义求解即可．
【详解】解：由题意可得186出现的次数最多，所以该组数据的众数是186；
故选B．
4. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可解答．
【详解】解：由得：，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义得条件，熟知分式分母不为0及二次根式根号里面需要大于等于0是解题的关键．
5. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设该圆锥母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设该圆锥母线长为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥母线长为2．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6. 关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 有一正一负两个不相等实数根B. 有两个正的不相等实数根
C. 至多有一个正的实数根D. 至少有一个正的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】先化为一般形式，然后根据一元二次方程根的判别式进行判断有2个不等实数根，根据根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：方程可化为，
∴方程有两个不等实数根，
又∵，
∴至少有一个正的实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式以及根与系数的关系，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7. 如图，直线分别交坐标轴于点C、D，x轴上一点A关于直线的对称点坐标为，则k的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，交于点，连接、、，与、的坐标可知，即可得到，，，与对称的性质得到，，垂直平分，证得，即可证得四边形是菱形，得到，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，利用待定系数法即可求得的值．
【详解】解：连接，交于点，连接、、，

直线分别交坐标轴于点、，
，
点坐标为，
∵，
，，，
由题意可知，，，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
直线分别交坐标轴于点、，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
8. 数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用折叠的性质得到，，，，，再利用勾股定理得到．
【详解】解：由题意可知：，，，，，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卷相应位置上．
9. ﹣3的相反数是__________．
【答案】3
【解析】
【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
所以﹣（﹣3）=3，
故答案为：3．
10. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【详解】原式=
11. 下列一组数据，，，，，的平均数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题的关键．求出这组数据的和，再除以6即可．
【详解】解：这组数据的平均数为．
故答案为：．
12. 方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加减消元法求解二元一次方程组，将的左右两边分别乘2，再与相加消去y，求得x的值，将x的值代入中可求出y的值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
则方程组的解为，
故答案为：．
13. 请填写一个常数，使得一元二次方程____________没有实数根．
【答案】7（答案不唯一）
【解析】
【分析】设这个常数为a，根据根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∴方程没有实数根，
∴，
∴，
∴满足题意，
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
14. 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的面积为____________．
【答案】或4
【解析】
【分析】分情况讨论，当是（或）2倍时，为等腰直角三角形；当或时，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：当时，则，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积为；
同理，当时，的面积为；
当时，
∵，
则，，
∵，
∴，，
∴的面积为；
当时，
∵，
则，，
∵，
∴，，
∴的面积为；
综上，的面积为或4；
故答案为：或4．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解“倍角三角形”的概念，分类讨论是解题的关键．
15. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得二次函数对称轴为直线，且开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，推出当时，，据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式，
∴二次函数对称轴为直线，且开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵当时，的最小值为，，
∴当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数开口向下时，离对称轴越远函数值越小是解题的关键．
16. 如图，在矩形ABCD中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为_________．

【答案】##
【解析】
【分析】取的中点F，连接，作于H，作于T，设，分别表示出，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，作于H，作于T，设，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵E是的中点，
∴，
∴，
，
在中，
，
∴当时，的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值以及化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及化简绝对值，负整数指数幂，熟悉相关运算法则是正确的计算的关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
19. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式，求解代数式的值，掌握整体代入进行求值是解题关键．
20. 2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“．紫薇”、“．黄杨”、 “．柳树”、“．樟树”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．
（1）小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是 ___________；
（2）小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可得共16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是；
故答案为：；
小问2详解】
解：根据题意，列出表格如下：
共16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的有4种，
所以两人选出卡片图案相同的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率，明确题意，准确列出表格或画出树状图是解题的关键．
21. 随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A，B，C，D．
（1）一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是___；
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据概率公式即可求得；
(2)首先画出树状图，再根据概率公式即可求得．
【小问1详解】
解：共有4出入闸口，
选择B闸口通过的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图得：
由树状图可知，有16种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的有12种结果，
∴两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【点睛】本题考查了概率公式及利用画树状图法求概率，熟练掌握和运用利用画树状图法或列表法求概率的方法是解决本题的关键．
22. “微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机抽取部分教师某日微信运动中的步数情况并进行统计整理，将他们的日步行步数（步数单位：万步）进行统计后分为A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图所示不完整的统计图表，请根据信息，解答下列问题：
教师日行走步数频数表
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；在扇形统计图中，D组所对应的扇形圆心角度数为 ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该市约有40000名教师，估计日行走步数超过1.2万步（包含1.2万步）的教师约有多少名？
【答案】（1）50；72°；（2）见解析；（3）12000名．
【解析】
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以D组人数占被调查人数的比例即可得；
（2）根据各组人数之和等于样本容量求出E组人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可得．
【详解】解：（1）这次调查的样本容量为15÷30%＝50，
在扇形统计图中，D组所对应的扇形圆心角度数为360°×＝72°，
故答案为：50，72°；
（2）E组对应频数为50﹣（8+15+12+10）＝5，
补全频数分布直方图如下：
（3）40000×＝12000，
答：估计日行走步数超过1.2万步（包含1.2万步）的教师约有12000名．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的数据分析、频数、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23. 综合与实践．
【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．

【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据：
【探索发现】（1）请你根据表中的数据在图（b）中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定与之间的函数表达式；
【结论应用】（2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱容器液面高度达到时是几点？
【答案】（1）图象见解析，；（2）当圆柱容器液面高度达到时是
【解析】
【分析】（1）根据表格得描点，连线，即可得函数的图象，由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为，根据点在该函数图象上得，进行计算即可得；
（2）根据题意得，当时，，进行计算即可得．
【详解】解：（1）描出各点，并连接，如图所示，

由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴与之间的函数表达式为；
（2）当时，，
，
，
，
即当圆柱容器液面高度达到时是．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质．
24. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，的面积为；
（2）求四边形面积的最小值．
【答案】（1）或时，的面积为；
（2）四边形面积的最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论；
（2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
；
由题意得：，
解得或，
∴或时，的面积为；
【小问2详解】
解：∵且，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值是．
此时，四边形面积取得最小值，最小值为．
【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键．
25. 已知：为的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作的切线交的延长线于点F，点C为上一点，且，连接交于点E．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点H为内部一点，连接，．若，的半径为10，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理可得，即，再根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质得到，再利用等量代换即可得出结论；
（2）连接，根据平行线的判定与性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，，再由相似三角形的性质得到，再利用勾股定理进行计算即可．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，的半径为10，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质及勾股定理，正确识别图形是解题的关键．
26. 如图1，抛物线经过， 且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接，直线l过点B、C．
（1）填空： ； 直线l的函数表达式为： ．
（2）已知直线平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G．当时（如图2），直线与线段分别相交于E、F两点，试证明线段总能组成等腰三角形．
（3）在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是的2倍，请求出此时t的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先将点代入求得a的值，进而求得点C的坐标以及对称轴，再确定点B的坐标，然后运用待定系数法即可求得直线l的解析式；
（2）先用待定系数法求得直线的解析式为，则点、点、点，进而得到、，然后再根据三角形三边关系列不等式即可证明；
（3）由、C可得、；如图线段组成等腰三角形,与（2）中的相等，H为边上的高，再结合（2）可得；由等腰三角形的顶角是的2倍，即可得，然后再根据正弦的定义方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，解得：；
∴抛物线解析式为：，
令，得：，即点C的坐标为；
∵点，对称轴为直线，
∴，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为：,
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，即直线l的解析式为．
故答案为，．
【小问2详解】
解：设直线的解析式为,
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
∴点，点，点，
∴，
∴．
，
∴，
∴当时，线段总能组成等腰三角形．
【小问3详解】
解：∵，C
∴
∴
如图：线段组成等腰三角形,与（2）中的相等，H为边上的高
由（2）可得：，
∴
∵等腰三角形的顶角是的2倍
∴
∴，
∴,即，解得：．
【点睛】本题主要考查了正弦函数、求二次函数解析式、二次函数的性质、用待定系数法求一次函数解析、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确求得各函数的解析式是解答本题的关键．A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D
组别
步数（万步）
频数
A
0≤x＜0.4
8
B
0.4≤x＜0.8
15
C
0.8≤x＜1.2
12
D
12≤x＜1.6
10
E
x≥1.6
b
时间
1
2
3
4
5
圆柱容器液面高度
6
10
14
18
22