2024年辽宁省铁岭市开原九年级中考一模后数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案．
【详解】解：，，，，且．
离标准最近．
故选：D．
【点睛】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层左边一个小正方形，即：
故选：D．
【点睛】本题考查了小立方块堆砌图形的三视图，熟知从正面看得到的图形是主视图是解答本题的关键．
3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算法则计算并判断．
【详解】A.，所以A选项错误；
B.，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式运算，解题的关键是掌握合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．
5. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根
C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系判断即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴一元二次方程没有实数根，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. y随x的增大而增大C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象，能直观观察到函数值的变化、经过的象限；根据一次函数图象与系数的关系确定出k的值，即可进行判断，解题的关键由图象在一、三、四象限得出的系数来解答．
【详解】A、从图象经过一、三、四象限，所以，故A选项不符合题意；
B、从函数图象得到y随x的增大而增大，故B选项符合题意；
C、从函数图象得到图象没经过原点，故C选项不符合题意；
D、从函数图象得到图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意；
故选：B．
7. 如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等求得，再根据三角形的外角的性质可得， 即可求出度数.
【详解】解：，
，
，，
.
故答案选：B .
【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，解题的关键在于是否能熟练掌握同弧所对圆周角相等.
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
10. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝4，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A. B. C. D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，交AC于点E，得DA＝DC，根据∠C＝30°，可以证明△ABD是等边三角形，进而可求△ACD的面积．
【详解】由作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，交AC于点E，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵AB＝BD＝4，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD＝4，
在Rt△DCE中，DC＝4，∠C＝30°，
∴DE＝2，CE＝2，
∴AC＝2CE＝4，
∴S△ADC＝•AC•DE＝×4×2＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是综合运用线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积．
二．填空题（共5小题）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式乘除法运算，根据法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“我”“爱”“南”“开”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据列出表格，利用抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的情形数除以总的情况数即可求解．本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的步骤是解题的关键．
【详解】解：列表如下，
共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的情形有2种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，
故答案为：．
13. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数平移的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移的性质是解题的关键．
14. 如图，直线与反比例函数交于点B，与x轴和y轴分别交于点A和点D，于点C，若点D是线段的中点，，，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质．证明，利用点D是线段的中点，求得点B的坐标，利用待定系数法可得结论．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵于点C，
∴，
∴，
∴，
∵点D是线段的中点，
∴，，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
15. 如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接， 在 的右侧作正方形 ， 连接，交射线于E，当长为2时，的长为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，由题可分两种情况，当交点E在线段上时，或当交点在线段延长线上时，分别将绕点A顺时针旋转，可判定全等三角形，用勾股定理求出对应边的长度即可．根据勾股定理和相似图形求出对应线段的长度是解题的关键，本题难点在于利用旋转构造全等三角形．
【详解】解：由题意，分两种情况：
①当交点E在线段上时，将绕点顺时针旋转，如图：
∴，，
∴，
∴三点共线，
四边形是正方形，
∴，
，
，
，
连接，
在和中，
，
，
，
设，
四边形为正方形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴
②当交点在线段延长线上时，
同理旋转到，如图：
则，
同理可证，
，
设，
四边形为正方形，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，
，
，
即：，
解得：，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法，零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式乘法，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
17. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元
（2）购买吊兰的数量最多为17盆
【解析】
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解．
【小问1详解】
解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买吊兰数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．
18. “光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜桹食、吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，成为十大新闻热词、网络热度词汇，最知名公益品牌之一．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有______名；
（2）把条形统计图补充完整；并求出扇形统计图中，“剩少量”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【答案】（1）1000
（2）补全图形见解析，
（3）估算该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据“没有剩”的条形统计图和扇形统计图信息即可得；
（2）先求出“剩少量”的同学的人数，再补全条形统计图即可得；利用乘以“剩少量”的同学所在百分比即可得；
（3）利用18000乘以200人在这次被调查的所有学生中所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：这次被调查的学生数为（名），
【小问2详解】
剩少量的人数有：（人），
则补全条形统计图如下：
“剩少量”对应的扇形的圆心角是，
【小问3详解】
（人），
答：估算该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
19. 如图①，部队、学校、仓库、基地在同一条直线上学校开展国防教育活动，师生乘坐校车从学校出发前往基地，与此同时，教官们乘坐客车从部队出发，到仓库领取装备后再前往基地；到达基地后，他们需要10min整理装备．客车和校车离部队的距离与所用时间的函数图象如图②所示，其中，点C在线段上．

（1）求校车离部队的距离y与t的函数表达式（不用写自变量取值范围）以及教官们领取装备所用的时间．
（2）为确保师生到达基地时装备刚好整理完毕，则客车第二次出发时的速度需是多少？
【答案】（1），教官们领取装备所用时间0.5h
（2）客车第二次出发时的速度是60
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出解析式，令，求出的值，进而求出客车到达仓库前的速度和时间，进一步求解即可；
（2）求出校车到达基地所需的时间，进而求出客车到达基地的时间，再用速度等于路程除以时间进行求解即可．
【小问1详解】
解：校车离部队的距离y与t的函数表达式为，
把，代入解析式得：，
解得，
∴校车离部队的距离y与t的函数表达式为；
把代入得，，
解得，
∵客车到达仓库前的速度为：，
∴客车到达仓库的时间为，
，
∴教官们领取装备所用时间0.5h；
【小问2详解】
把代入得，，
解得，
∴校车2小时到达营地，
为确保师生到达基地时装备已经整理完毕，客车到达基地的时间，
∴客车第二次出发时的速度．
∴客车第二次出发时的速度是60．
20. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）
（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
【答案】（1）水平横管到水平线的距离约为1.6米
（2）水平横管的长度约为0.5米
【解析】
【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，
（1）作于F，在中，即可得；
（2）根据矩形判定和性质求出，再在Rt中，根据在中，求出，可求出的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差．
【小问1详解】
解：过作于，
在中，，
米，，
米．
答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；
【小问2详解】
，
四边形为矩形，
，米，
米，
米，
在中，，
米，
又在中，，
米，，
米．
米．
米，
答：水平横管的长度约为0.5米．
21. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，进而证明结论；
（2）过点C作，先用勾股定理求出，进而求出，再根据对顶角相等和同弧所对的圆周角相等可得，从而利用即可求解．
【小问1详解】
证明：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵ 所对的圆周角为和，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点C作，垂足为G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．
22. 某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】（1）
（2）
（3）光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【小问1详解】
根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
【小问2详解】
根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
【小问3详解】
作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
23. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在中，，，是上一点，连接，过点作，垂足为．求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点在的延长线上，连接，过点作，交于点．猜想与的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合，过点作，交于点时，若给出的边长，则图3中所有已经同字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若点与点重合，过点作，交于点，，求的长．”
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义及直角三角形的性质求解即可；
（2）如图，过点作于点，结合独立思考推出，根据全等三角形的性质得出，，由旋转的性质及平行线的性质得，，进而得到，根据线段的和差等量代换即可得解；
（3）如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，由实践探究知，是等腰直角三角形，，进而推出，，，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，等量代换得到，根据，，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．理由：
如图，过点作于点，
又∵，
∴，
由独立思考知：，
在和中，
，
∴，
∴，，
由旋转的性质得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
即；
（3）如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
由实践探究知，是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数并作出合理的辅助线是解题的关键．我
爱
南
开
我
我我
我爱
我南
我开
爱
爱我
爱爱
爱南
爱开
南
南我
南爱
南南
南开
开
开我
开爱
开南
开开