专题11四点共圆模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（教师版含解析）(1)

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模型1：定点定长共圆模型
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．
模型2：对角互补共圆模型
2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．
模型3：定弦定角共圆模型
若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆
如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．
经典例题
【例1】（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm?
(2)如图2，在点E、F运动过程中，
①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．
【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．
【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；
②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；
③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．
【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，
∴ EC=12-t，
∵ EF的长等于45cm，
∴在Rt△CEF中，EF2=EC2+CF2，即452=12−t2+t2
解得t1=4,t2=8；
（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠CDF=∠DAE，
∵∠CDF+∠PDA=90°，
∴∠DAE+∠PDA=90°，
∴∠ADP=∠APF=90°，
∴∠APF+∠B=180°，
由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，
∴点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；
a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：
由题意可得AB为⊙O的直径，
∴t=12；
b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：
∴OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，
∴四边形OMBH、GOHC是矩形，
∴OH=BM=GC，OG=HC，
∵AB=BC=12cm，
∴OH=6，
∵CF=t，BF=12-t，
∴ HF=12−t2=6−t2,CH=OG=OF=t+6−t2=6+t2，
在Rt△FOH中，OF2=OH2+FH2，即6+t22=62+6−t22，
解得：t=3；
综上所述：当t=3或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；
③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：
∴OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．
故答案为6cm．
【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．
【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）
②如图③，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？
【答案】（1）180；（2）①70°；②AB//CD，理由见解析.
【分析】（1）结合三角形三角和为1800，利用题目已知条件，计算结果，即可.
（2）①利用第一问的结果，计算，即可.
②利用四边形四角和为1800，计算得出∠DAO+∠ADO的度数，结合角平分线定理，得到∠DAB+∠ADC的和，利用平行直线的判定，证明，即可得出.
【详解】（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠AOB+∠DOC=3600,可得∠AOB+∠DOC=1800；
（2）①结合∠AOB+∠DOC=1800,∠AOB=1100,可得∠COD= 70°；
②AB//CD，
理由是：因为AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
所以∠OAB=12∠DAB，∠OBA=12∠CBA，∠OCD=12∠BCD，∠ODC=12∠ADC.
所以∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=12（∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC）
在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC=360°.
所以∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=12×360°=180°
在△OAB中，∠OAB+∠OBA=180°−∠AOB.
在△OCD中，∠OCD+∠ODC=180°−∠COD.
所以180°−∠AOB+180°−∠COD=180°.
所以∠A0B+∠COD=180°
所以∠ADO+∠BOD=360°−（∠AOB+∠COD）=360°−180°=180°.
因为∠AOD=∠BOC，
所以∠AOD=∠BOC=90°
在∠AOD中，∠DAO+∠ADO=180°−∠AOD=180°−90°=90°.
因为∠DAO=12∠DAB，∠ADO=12∠ADC，
所以12∠DAB+12∠ADC=90°.
所以∠DAB+∠ADC=180°.
所以AB//CD
【点睛】考查三角形内角和及平行线的判定，得到∠DAB和∠ADC的关系是解题的关键.
【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，于是BCAB=2BDAB=3；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5,CE=2，求BF的长．
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：CD=3AD+BD；拓展延伸：①详见解析；②33
【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；
②结论：CD=3AD+BD．由ΔDAB≅ΔEAC，可知BD=CE，在RtΔADH中，DH=AD·cs30°=32AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出ΔEFC是等边三角形；
②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在RtΔBHF中，由∠BFH=30°，可得HFBF=cs30°，由此即可解决问题．
【详解】迁移应用：①证明：如图2
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAB和△EAC中，
{DA=EA∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
②解：结论：CD=3AD+BD．
理由：如图2−1中，作AH⊥CD于H．
∵ΔDAB≅ΔEAC，
∴BD=CE，
在RtΔADH中，DH=AD·cs30°=32AD，
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，
∴CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD；
拓展延伸：①证明：如图3中，连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD,△BDC是等边三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC=BE=BD=BA,FE=FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC=∠AEC=120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形；
②解：作BH⊥AE于H，∵AE=5,EC=EF=2，
∴AH=HE=2.5,FH=4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，
∴HFBF=cs30°，
∴BF=4.532=33．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．

（1）求美角∠A的度数；
（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；
（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．
【答案】（1）60°；（2）53；（3）见解析
【分析】（1）根据美角的定义可得∠A=12∠C，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；
（2）连接DO并延长，交⊙O与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；
（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出△ABD为等边三角形，然后利用SAS证出△ABF≌△ADC，从而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再证出△ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论．
【详解】解：（1）根据题意可得：∠A=12∠C，而∠A＋∠C=180°
∴∠A=60°
（2）连接DO并延长，交⊙O与点E，连接BE
∴∠E=∠A=60°
∵DE为⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠DBE=90°，DE=10
在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×32=53；
（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD
由（1）可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120°
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA=12∠BCD=60°
∴∠ABD=∠DCA=60°
∴∠ADB=180°－∠ABD－∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=AD
根据圆内接四边形的性质可得∠ABF=∠ADC
在△ABF和△ADC中
BF=DC∠ABF=∠ADCAB=AD
∴△ABF≌△ADC
∴AF=AC，∠F=∠DCA=60°
∴∠FAC=180°－∠F－∠ACF=60°
∴△ACF为等边三角形
∴CF=AC
∴BC＋BF=AC
∴BC＋CD=AC
【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
培优训练
一、解答题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB于点H．
(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．
【答案】(1)HG=32EG；
(2)GH=32AE−EF，证明见解析；
(3)32或332
【分析】（1）先证明△GAF是等边三角形得∠AGF=60°，再证明点A、E、G、F四点共圆，得∠GEF=∠GAF=60°，从而计算得到∠GEH=180°−∠AED−∠GEF=60°，最后在直角三角形GEH中，求出HGEG=tan∠GEH=tan60°=32即可得到答案；
（2）在射线ED上截取EN=AE，连接AN，如图3，先证△AEN是等边三角形，得AE=AN，∠EAN=60°，再证∠GAE=∠FAN，从而得到△GAE≌△FAN，进而得sin60°=GHGE=32，从而求得结论；
（3）分两种情况讨论求解GH的长，①当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4；②当点F和点G都在射线AB的左侧时，在线段GE上取一点N，使得NE=EF，如图5，通过构造三角形全等，利用三角函数求解即可．
(1)
解：∵ 线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，
∴ ∠GAF=60°，AG=AF，
∴ △GAF是等边三角形，
∴ ∠AGF=∠AFG=60°，AG=AF=GF，
∵∠AED＝60°，
∴ ∠AGF=∠AED，
∴点A、E、G、F四点共圆，
∴ ∠GEF=∠GAF=60°，
∴ ∠GEH=180°−∠AED−∠GEF=60°，
∵ GH⊥AB，
∴ HGEG=tan∠GEH=tan60°=32，
∴ HG=32EG，
故答案为：HG=32EG；
(2)
解：在射线ED上截取EN=AE，连接AN，如图3，
∵∠AED=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴AE=AN，∠EAN=60°
∵AF=AG，∠FAG=60°，
∴∠GAE=∠FAN
∴△GAE≌△FAN，
∴∠GEA=∠FNA=60°，GE=FN
AE−EF=FN=GE，
∵GH⊥AB
∴sin60°=GHGE=32，
∴GH=32GE，
∴GH=32AE−EF；
(3)
①当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4，
∵ 线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，
∴ ∠GAF=60°，AG=AF，
∴ △GAF是等边三角形，
∴ ∠AGF=∠AFG=∠FAG=60°，AG=AF=GF，
∵∠AED＝60°，
∴ ∠AGF=∠AED，
∴点A、E、G、F四点共圆，
∴ ∠GEH=∠GFA=60°，∠GEF=∠GAF=60°，
∵ EM=EG，
∴ △GEM是等边三角形，
∴ EM=GM=EG,∠EGM=60° ，
∴ ∠EGM=∠EGA+∠MGA=60°=∠EGM=∠MGF+∠MGA，
∴ ∠EGA=∠MGF，
∴ △EGA≌△MGF，
∴ MF=AE=1，
∴ GE=EM=EF−MF=2−1=1 ，
∵ GH⊥AB，
∴ HG=sin∠GEH·EG=sin60°·EG=32，
②当点F和点G都在射线AB的左侧时，在线段GE上取一点N，使得NE=EF，如图5，
∵ ∠AGF=∠AED=60°，
∴点A、E、G、F四点共圆，∠AEF=180°−∠AED=120°
∴ ∠NGF=∠EAD，∠GEF=∠GAF=60°，∠AEG=∠AFG=60°，
∵NE=EF，
∴ △NEF是等边三角形，
∴ NE=EF=NF=1，∠ENF=60°，
∴ ∠GNF=180°−∠ENF=120° ，
∴ ∠GNF=∠AEF，
∴ △GNF≌△AEF，
∴ GN=AE=2，
∴ GE=GN+NE=2+1=3，
∵ GH⊥AB，∠AEG=60°，
∴ GH=GE·sin60°=323，
综上所述，GH的长为32或332．

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键.
2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0