2024年上海市嘉定区高三下学期高考二模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市嘉定区高三下学期高考二模数学试卷含详解，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1.设集合，，则_____
2.抛物线的准线方程为_______
3.已知圆锥母线长为，高为，则其体积为______
4.二项式的展开式中，项的系数是______
5.已知是虚数单位，则_______
6.函数的值域为_______
7.数据的方差为，数据的方差为，则____
8.已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为_______
9.小张，小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______
10.已知，则函数最小值为______
11.在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点满足且，若恒成立，则实数的取值范围为_____
12.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第个子集是______
二、选择题
13.双曲线和双曲线具有相同的（ ）
焦点 顶点 渐近线 离心率
14.已知，，且不共线，则的面积为( )

15.嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动。太阳高度角是指某时刻太阳光线和地面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为米.在时刻c，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为米、米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（ ）

16.已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；
命题乙：若函数的最小正周期是，则.下列选项正确的是（ ）
甲和乙均为真命题 甲和乙均为假命题
甲为真命题且乙为假命题 甲为假命题且乙为真命题
三、解答题
17.如图，在三棱柱中，平面，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与的所成角的大小.
18.在中，角的对边分别为，.
（1）求角，并计算的值；
（2）若，且是锐角三角形，求的最大值.
19. 据文化和旅游部发布的数据显示，年国内出游人次达次，总花费万亿元.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团走.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于岁，小于岁）和中老年组（大于等于岁）.现在市随机抽取名成年市民进行调查，得到如下表的数据：
（1）请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取个人，再从个人中随机抽取个人，用随机变量表示这个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望.
20.如图，已知三点都在椭圆上.
（1）若点都是椭圆的顶点，求的面积；
（2）若直线的斜率为，求弦中点的轨迹方程；
（3）若直线的斜率为，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由.
21.已知常数，设，
（1）若，求函数的最小值；
（2）是否存在，且依次成等比数列，使得依次成等差数列？请说明理由.
（3）求证：“”是对“任意，，都有”的充要条件
嘉定区2023学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学试卷
一、填空题
1.设集合，，则_____
【答案】
2.抛物线的准线方程为_______
【答案】
3.已知圆锥母线长为，高为，则其体积为______
【答案】
4.二项式的展开式中，项的系数是______
【答案】，令，故项的系数是
5.已知是虚数单位，则_______
【答案】根据，，
6.函数的值域为_______
【答案】
7.数据的方差为，数据的方差为，则____
【答案】
8.已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为_______
【答案】，故斜率
9.小张，小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______
【答案】
10.已知，则函数最小值为______
【答案】，令，
，当时取得最小值
11.在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点满足且，若恒成立，则实数的取值范围为_____
【答案】以为原点建立直角坐标系，，，，则
，故
12.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第个子集是______
【答案】
，而的第个子集包含，此时，，而，的第个子集包含，此时，，而，的第个子集包含，此时，，而，的第个子集包含，此时，.综上所述的第个子集是
二、选择题
13.双曲线和双曲线具有相同的（ ）
焦点 顶点 渐近线 离心率
【答案】
14.已知，，且不共线，则的面积为( )

【答案】
直线方程为，点到直线的距离，故
15.嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动。太阳高度角是指某时刻太阳光线和地面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为米.在时刻c，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为米、米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（ ）

【答案】
16.已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；
命题乙：若函数的最小正周期是，则.下列选项正确的是（ ）
甲和乙均为真命题 甲和乙均为假命题
甲为真命题且乙为假命题 甲为假命题且乙为真命题
【答案】
三、解答题
17.如图，在三棱柱中，平面，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与的所成角的大小.
【答案】（1）连结交于点，连结，为的中位线，故，又因为在平面上，所以平面
（2）在中，，,,直线与的所成角就是，，故直线与的所成角的大小为
18.在中，角的对边分别为，.
（1）求角，并计算的值；
（2）若，且是锐角三角形，求的最大值.
【答案】（1），因为，所以或，
当时，；当时，；
（2）因为是锐角三角形，所以，由正弦定理：，故
，其中，因为得，故当时，取得最大值
19. 据文化和旅游部发布的数据显示，年国内出游人次达次，总花费万亿元.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团走.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于岁，小于岁）和中老年组（大于等于岁）.现在市随机抽取名成年市民进行调查，得到如下表的数据：
（1）请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取个人，再从个人中随机抽取个人，用随机变量表示这个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望.
【答案】（1）
,所以有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
（2）按照分层抽样从跟团游中抽取的个人中，青壮年有人，中老年有人，的分布如下：
，
20.如图，已知三点都在椭圆上.
（1）若点都是椭圆的顶点，求的面积；
（2）若直线的斜率为，求弦中点的轨迹方程；
（3）若直线的斜率为，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由.
【答案】（1），，，；
（2）设，，，
，①-②得：，所以弦中点的轨迹方程为（椭圆内部）
（3）设，直线，与椭圆联立得：
，，，
代入整理得：，因为对任意都成立，故，此方程组无解，故不存在这样的点
21.已知常数，设，
（1）若，求函数的最小值；
（2）是否存在，且依次成等比数列，使得依次成等差数列？请说明理由.
（3）求证：“”是对“任意，，都有”的充要条件
【答案】（1）时，，，故是极小值点，；
（2），①若，存在；②若，则，代入得：与矛盾，故此时不存在
（3）由，得，对任意，，令，则
，令，，
令，
，在上是增函数，，所以，故在上是减函数，所以，所以当时，，，，所以，综上，即当时，
青壮年
中老年
合计
自由行
60
40
跟团游
20
50
合计
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
青壮年
中老年
合计
自由行
60
40
跟团游
20
50
合计
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
青壮年
中老年
合计
自由行
60
40
100
跟团游
20
50
70
合计
80
90
170