浙江省91联盟2024届高三下学期3月模拟预测数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；
4．选择题一律使用2B铅笔填涂答案，非选择题一律用0.5毫米黑色字迹中性笔写在答题纸上相应区域内；
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数的实部大于0，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
4. 已知数列满足：，且数列为等差数列，则（ ）
A. 10B. 40C. 100D. 103
5. 如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A. 2025种B. 4050种C. 8100种D. 16200种
8. 设函数．若实数使得对任意恒成立，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
10. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A. B.
C. D.
11 对于，满足，且对于，恒有．则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12. 已知．若，则________．
13. 应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为________．

14. 函数的最小值是________．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角正弦值．
16. 今年《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
17. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
（2）过的直线与相交于点三点，求证：．
18. 已知函数．
（1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求值．
19. 已知实数，定义数列如下：如果，，则．
（1）求和（用表示）；
（2）令，证明：；
（3）若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．