北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题及答案

这是一份北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则的共轭复数是
A．B．C．D．
3．已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A．B．
C．D．
9．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
10．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）

A．6B．7C．8D．9
二、填空题
11．已知，则 .
12．已知，线段是过点的弦，则的最小值为 .
13．若，则 ； .
14．已知函数，则 ；函数的图象的一个对称中心的坐标为 .
15．已知函数，给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根；
③已知是曲线上任意一点，，则；
④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．在中，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，为的中点，平面.
(1)求证：；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.
（i）求证：平面；
（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
(1)当时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.
19．已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
20．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若函数存在最大值，求的取值范围.
21．已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.
(1)若，写出的值；
(2)若存在满足：，求的最小值；
(3)当时，证明：对所有.
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2
参考答案：
1．D
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集，集合，
所以.
故选：D
2．B
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果．
【详解】解：复数满足，所以．
所以的共轭复数是．
故选：B．
3．B
【分析】利用等差数列的通项公式求出和的关系，代入计算可得m的值.
【详解】由已知，得，
又，又，
所以，解得或（舍去）
故选：B.
4．C
【分析】将两边同时平方，将条件带入计算即可.
【详解】由已知，
所以，
得，又，
所以.
故选：C.
5．D
【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果.
【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，
所以，得到，所以双曲线的方程为，
故选：D.
6．A
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，
如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.

7．B
【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得.
【详解】令，即时，，解得，
时，，无解，故，
设过点与曲线相切的直线的切点为，
当时，，则有，
有，整理可得，即，
即当时，有一条切线，
当时，，则有，
有，整理可得，
令，
则，
令，可得，
故当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
由，
，故在上没有零点，
又，
故在上必有唯一零点，
即当时，亦可有一条切线符合要求，
故.
故选：B.
8．C
【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【详解】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
故选：C.
9．D
【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.
【详解】由，且为偶函数，故，
由导数性质结合图象可得当时，，
当时，，当时，即，
则由，有，解得，
亦可得，或，或，或，
由可得或，即，
由可得，即，
由，可得，即或（舍去，不在定义域内），
由，可得，
综上所述，关于x的不等式的解集为.
故选：D.
10．C
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.
【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，
则，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即，
综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
11．
【分析】直接利于对数的运算性质求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
12．
【分析】借助直径与弦垂直时，有最小，计算即可得.
【详解】由，故点在圆的内部，
且该圆圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得，即，
故当取最大值时，有最小值，
又，
故.
故答案为：.
13．
【分析】借助赋值法，分别令、、计算即可得.
【详解】令，可得，即，
令，可得，即，
令，可得，即，
则，
即，则，
故.
故答案为：；.
14． （答案不唯一）
【分析】根据函数表达式，代入即可求出 的函数值，根据条件，先求出使的一个取值，再证明是的一个对称中心即可.
【详解】因为，所以，
因为定义域为，当时，，
下证是的一个对称中心，
在上任取点，其关于对称的点为，
又，
所以函数的图象的一个对称中心的坐标为，
故答案为：；（答案不唯一）
15．②③④
【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对与分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.
【详解】对①：令，即有，即，故函数不是奇函数，故①错误；
对②：，即，
当时，有，故是该方程的一个根；
当，时，由，故，结合定义域可得，
有，即，
令，，有或（负值舍去），则，
故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根；
当，时，由，故，结合定义域有，
有，即，
令，， 有或（正值舍去），
令，即，则，
即，故在定义域内亦必有一根，
综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确；
对③：令，则有，，
令，，，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
又，，故恒成立，即，故，故③正确；
对④：当时，由，，故，
此时，，则，
当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或，、
当时，由，有，故成立；
当时，即有，即有、关于点对称，
由③知，点到的距离，同理点，故；
综上所述，恒成立，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；
（2）根据（1）中及条件，由余弦定理得到，再结合，即可求出，再利用三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又，所以，得到，即，
所以，又因为，所以，得到.
（2）由（1）知，所以，又，得到①，
又，得到代入①式，得到，
所以的面积为.
17．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；
（2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；
（2）（i）取的中点，连接，
由（1）知，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以，
所以，即，
选条件①：，
因为，所以与全等，
所以，因为，所以，
所以，即，又因为，
、平面，所以平面；
（ⅱ）由（i）知平面，而平面，
所以，因为，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为, 则，即，
令，则，于是，
因为为平面的法向量, 且,
所以二面角的余弦值为.
选条件③：，
(i) 因为，所以，
因为，所以与全等，
所以，即，
因为，又因为，、平面，
所以平面；
(ii) 同选条件①.
不可选条件②，理由如下：
由（i）可得，又，
，、平面，
所以平面，又因为平面，
所以，即是由已知条件可推出的条件，
故不可选条件②.
18．(1)（i）；（ⅱ）；
(2)7.
【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.
（2）求出的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为.
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，
的所有可能值为6，7，8，
，，，
所以的数学期望.
（2）由表知，，则，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，
100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，则，解得，
所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）借助离心率计算即可得；
（2）设，表示出与点坐标后，可得、，借助作差法计算即可得.
【详解】（1）由，即，
由题意可得，故，解得，
故，则，故；
（2）设，，，有，
由，则有，即，
由，故有，
即有
，
由可得、，
则，
，
则，
由，故，
即.
20．(1)的减区间为，增区间为
(2)
【分析】（1）对函数求导，得到，再求出和对应的取值，即可求出结果；
（2）令，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出在上取值范围，从而将问题转化成成立，构造函数，再利用的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）易知定义域为，因为，所以，
由，得到，当时，，当时，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则，
由（1）知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在时取得最大值，
所以当时，，当时，，
即当时，，
所以函数在存在最大值的充要条件是，
即，
令，则恒成立，
所以是增函数，又因为，
所以的充要条件是，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数，利用函数单调性得到时，，从而将问题转化成，构造函数，再利用的单调性来解决问题.
21．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）结合定义逐个计算出、、即可得；
（2）当时，可得，故，找到时符合要求的数列即可得；
（3）结合题意，分两段证明，先证，定义，再证得，即可得证,
【详解】（1）由，，则，故，
则，故，
则，故；
（2）由题意可知，，当时，由，，
故，则，
由题意可得，故、总有一个大于，即或，
，由，故、、总有一个大于，
故，故当时，，不符，故，
当时，取数列，
有，，，即，符合要求，故的最小值为；
（3）因为，所以，
(i)若，则当时，至少以下情况之一成立：
①，这样的至少有个，
②存在，这样的至多有个，
所以小于的至多有个，
所以，
令，解得，
所以，
(ii)对，若，且，
因为，所以当时，
至少以下情况之一成立：
①，这样的至多有个；
②存在且，这样的至多有个，
所以，
令，解得，即，
其中表示不大于的最大整数，
所以当时，；
综上所述，定义，则，
依次可得：，
，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.