福建省莆田擢英中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间：150分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.
【详解】因为，，且，所以，
解得，所以D正确.
故选：D.
2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数z的模为B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z，再逐项判断.
【详解】因为，所以，
A.复数z的模为，故错误；
B.复数z的共轭复数为，故错误；
C.复数z的虚部为，故错误；
D.复数z在复平面内对应的点为，所以在第一象限，故正确；
故选：D
3. 已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为S，，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理及三角形面积公式得和，结合条件，可得，求得角，再由正弦定理即求得结果．
【详解】由余弦定理得，，
所以，
又，，
所以有，即，
又，所以，
由正弦定理得，，得.
所以外接圆的面积为．
故选：D．
【点睛】思路点睛：
解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路．
5. 是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定是（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形
C 等腰三角形D. 斜三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的加法和减法可得，，根据向量加法的平行四边形法则结合已知，即可得出结论.
【详解】解：设点为的中点，连接，
则，
则，
所以，
又因点为的中点，
所以三角形ABC为等腰三角形.
故选：C.
6. “”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
而成立推不出成立，，
所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.
【详解】由条件等式可知，，
整理为，则，
又，，
所以，，
所以
.
故选：D
8. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可设，然后利用向量的数量积公式以及余弦定理得出、、，最后通过求出、、即可得出结果.
【详解】设，
则，，，
即，，，
结合余弦定理易知，
，，，
联立，解得，，，
则，
故选：B.
二、多选题（共3题，每题6分，共18分，全对得6分，部分对得部分分，选错不得分）
9. 若z满足，则（ ）
A. z的实部为3B. z的虚部为1
C. D. z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3
【答案】AB
【解析】
【分析】通过待定系数，结合复数加法、模运算得，由此可判断AB，进一步由复数除法、乘法可判断C，由复数几何意义以及三角函数定义即可判断D.
【详解】设，因为，所以，所以．
，解得，所以，所以A，B正确；
，所以C错误；
因为z对应的向量坐标为，所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为，所以D错误．
故选：AB．
10. 已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影为
【答案】BCD
【解析】
【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，根据条件写出所有点的坐标求解即可.
【详解】由题意可知：E为中点，则，
以E为原点，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，
设，，
所以，解得，即O是中点，，所以B正确；
，所以C正确；
因为，所以，所以A错误；
易知，则在方向上的投影为，所以D正确.
故选：BCD
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据余弦定理，根据三角形的性质进行求解判断即可.
【详解】由，及，
得.若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，
即或，解得或.
故选：ABC
三、填空题（共3题，一题5分，共15分）
12. 若复数满足，则的虚部为___________.
【答案】
【解析】
【分析】化简复数，由虚部定义可得结果.
【详解】，
的虚部为.
故答案为：.
13. 若平面向量满足，，则____.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出与，再根据向量的数量积求得即可.
【详解】平面向量，满足，，
，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题.
14. 在中，，，，则BC边上的高为________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先求出，再利用正弦定理和余弦定理即可求出答案.
【详解】因，，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理，得，
解得（负值舍）
设BC边上的高为h，则．
故答案为：.
四、解答题（共5题，共77分）
15. 已知：复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【小问1详解】
，则
【小问2详解】
由（1）得：，
，解得：.
16. 已知向量.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.
（2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于方程，完成本题.
【详解】（1）法一:设，
则，
所以
解得
所以或
法二:设，
因为，，所以，
因为，所以
解得或，
所以或
（2）因为向量与互相垂直
所以，即
而，，所以，
因此，
解得
【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.
17. 已知函数的部分图象如图．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
（3）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）先通过图象求出，再代入最大值点求即可；
（2）利用正弦函数的性质求最值；
（3）利用（1）的结论，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调递减区间.
【小问1详解】
由图可得，，
又，得,
又当时取得最大值，
所以，得，
又，得，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以，
即函数在区间上的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
的图象向左平移个单位后，得到，
横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到，
所以，
令，
得
所以的单调递减区间为．
18. 由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在月日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（为长度单位）．陈某准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．
【答案】（1）
（2）当时，三角形区域面积取最小值
【解析】
【分析】（1）连接、，计算出，利用余弦定理可求得的长；计算出，可得出，利用正弦定理可求得的长，再利用勾股定理可求得的长；
（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面积的最小值.
【小问1详解】
解：连接、，在中，因为，，则，
由余弦定理可得：，所以，.
在中，由余弦定理可得，．
在中，，
由正弦定理可得，解得．
在直角中，，所以，.
【小问2详解】
解：因为，
．
因为，所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，．
19. 在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，．
（1）求的值；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，再利用三角恒等变换得到，从而利用余弦定理列出关系式即可得解.
（2）在中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函数的关系求.
【小问1详解】
如图，在中，由正弦定理知，
所以，所以，
因为，所以，则①，
由，
则，
因为，所以，则，
在中，由余弦定理知，则②，
由①②得，．
【小问2详解】
因为，所以，，
在中，由余弦定理知
同理在中，，
因为，所以，
则，
由（1）知，，所以，
在中，由余弦定理知
，
所以．