2024年湖北省襄阳市老河口市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省襄阳市老河口市中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面四个有理数中，最小的是（ ）
A．﹣1B．﹣0.1C．0.1D．0
2．（3分）以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）组成不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图所示，这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤3B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜3D．﹣1＜x≤3
4．（3分）如图是由三个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．（2a2）3＝6a6D．a2•a3＝a5
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．检查某种LED灯的使用寿命用全面调查
B．为了解近十年我市初中毕业生的近视人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
C．“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件
D．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
7．（3分）如图MN∥PQ，直角三角板的直角顶点C在MN上，30°角的顶点A在PQ上，AC平分∠BAP，则图中∠1等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．（3分）如图，为测量某建筑物AB的高度，在D处测得建筑物顶部A的仰角为30°，向建筑物AB方向前进20米，到达C处，再次测得建筑物顶部A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为（ ）米．
A．B．10C．D．
9．（3分）如图，AB，CD是⊙O的直径，E是的中点，DE⊥AB，∠CDE的度数是（ ）
A．20°B．30°C．45°D．60°
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，经过点（﹣1，0），且0＜c＜3，下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．b2﹣4ac＞0C．9a+3b+c＞0D．a＜﹣1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上。
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）任意写一个小于2的正无理数 ．
13．（3分）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 ．
14．（3分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头．正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？
答：大和尚有 人，小和尚有 人．
15．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为BE，折叠后，点D的对应点落在BC延长线上的点F处，点A的对应点为点G．若AB＝3，CF＝1，则折痕BE的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
16．（6分）计算：．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD，E，F分别为AB，CD的中点．求证：四边形BEDF是菱形．
18．（6分）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
19．（8分）为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）．
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图：
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生300人，估计该校男生该项目成绩良好的约有 人；
（4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
20．（8分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于A（1，a），B（b，﹣1）两点．
（1）求a，b，k的值；
（2）点P（m，n1）在一次函数y＝x+1的图象上，点Q（m，n2）在反比例函数的图象上，当n1＜n2时，直接写出m的取值范围．
21．（8分）AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，CD⊥AD，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BC，延长DA交⊙O于点E，连接EO并延长交BC于点F，若点F是BC的中点，EF＝3，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．
（1）分别求出y与x，W与x的函数解析式；
（2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；
（3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？
23．（11分）四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形．
（1）如图1，当点F在BD上时，点E，F分别在AB，BC上．求证：；
（2）如图2，将图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转（旋转角小于180°），连接DF，CG，判断DF与CG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当（2）中的正方形BEFG旋转到点F落在线段CG上时，连接DE．若点F是CG的中点，BE＝1，求DE的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
（1）直接写出b，c的值；
（2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，若点P在直线l左侧的抛物线上，当PD⊥AD，PD＝AD时，求m的值；
（3）直线OP与直线AC相交于点M，的值记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
2024年湖北省襄阳市老河口市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答。
1．（3分）下面四个有理数中，最小的是（ ）
A．﹣1B．﹣0.1C．0.1D．0
【分析】将选项中的四个数进行大小比较即可得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜﹣0.1＜0.1＜1，
∴最小的数为﹣1．
故选：A．
2．（3分）以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．（3分）组成不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图所示，这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤3B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜3D．﹣1＜x≤3
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由数轴知，此不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：D．
4．（3分）如图是由三个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的正方形．
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．（2a2）3＝6a6D．a2•a3＝a5
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的除法，减法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、÷2＝2÷2＝，故A不符合题意；
B、4﹣2＝2，故B不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故C不符合题意；
D、a2•a3＝a5，故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．检查某种LED灯的使用寿命用全面调查
B．为了解近十年我市初中毕业生的近视人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
C．“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件
D．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、检查某种LED灯的使用寿命用抽样调查，故该项不正确，不符合题意；
B、为了解近十年我市初中毕业生的近视人数变化趋势，采用扇形统计图不合适，故该项不正确，不符合题意；
C、“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件，故该项正确，符合题意；
D、煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图MN∥PQ，直角三角板的直角顶点C在MN上，30°角的顶点A在PQ上，AC平分∠BAP，则图中∠1等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】先利用角平分线的定义可得∠BAC＝∠CAP＝30°，然后利用平行线的性质可得∠ACN＝∠CAP＝30°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC平分∠BAP，
∴∠BAC＝∠CAP＝30°，
∵MN∥PQ，
∴∠ACN＝∠CAP＝30°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠1＝∠BCA﹣∠ACN＝60°，
故选：C．
8．（3分）如图，为测量某建筑物AB的高度，在D处测得建筑物顶部A的仰角为30°，向建筑物AB方向前进20米，到达C处，再次测得建筑物顶部A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为（ ）米．
A．B．10C．D．
【分析】设AB＝x，在Rt△ABC中，根据三角函数的定义得到BC＝AB÷tan30°＝x；在Rt△ABD中，根据三角函数的定义得到BD＝AB÷tan60°＝x；根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意可得：设AB＝x，
在Rt△ABC中，∵BC＝AB÷tan30°＝x；
同理，在Rt△ABD中，∵BD＝AB÷tan60°＝x；
∵DC＝BD﹣BC＝20米，
∴x﹣x＝20，
解得：x＝10．
答；建筑物AB的高为10米．
故答案为：A．
9．（3分）如图，AB，CD是⊙O的直径，E是的中点，DE⊥AB，∠CDE的度数是（ ）
A．20°B．30°C．45°D．60°
【分析】根据垂径定理及圆的性质求出的度数为60°，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴＝，
∵E是劣弧的中点，
∴＝＝，
∵CD是⊙O的直径，
∴的度数为60°，
由圆周角定理得：∠CDE＝×60°＝30°，
故选：B．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，经过点（﹣1，0），且0＜c＜3，下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．b2﹣4ac＞0C．9a+3b+c＞0D．a＜﹣1
【分析】根据题意，结合二次函数的图象和性质与系数的关系并对四个选项依次进行判断即可．
【解答】解：根据题意得，a＜0，b＞0，0＜c＜3，所以abc＜0，故A错误；
抛物线与x轴有两个不同交点，所以b2﹣4ac＞0，故B正确；
因为对称轴是直线x＝1，经过点（﹣1，0），所以也经过（3，0），所以9a+3b+c＝0，故C错误；
由题意对称轴是直线x＝1，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，所以3a+c＝0，c＝﹣3a，所以0＜﹣3a＜3，解得a＞﹣1，故D错误．
故答案为：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上。
11．（3分）计算的结果是 1 ．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故答案为：1．
12．（3分）任意写一个小于2的正无理数 （答案不唯一） ．
【分析】设符合题意的无理数为a，只要满足0＜a＜2即可，例如，，，等等，只要符合题意即可．
【解答】解：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（3分）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 ．
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“第2张数字大于第1张数字”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中“第2张数字大于第1张数字”的有3种，
∴P（出现）＝＝．
故答案为：．
14．（3分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头．正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？
答：大和尚有 25 人，小和尚有 75 人．
【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数＝100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程组即可．
【解答】解：设大和尚x人，小和尚y人，由题意可得
．
∴，
故答案为：25；75．
15．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为BE，折叠后，点D的对应点落在BC延长线上的点F处，点A的对应点为点G．若AB＝3，CF＝1，则折痕BE的长为 ．
【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝3，∠A＝∠BCD＝90°，AB∥CD，则∠FCE＝90°，由折叠得GB＝AB＝3，FE＝DE＝3﹣CE，BG∥EF，∠G＝∠A＝90°，由勾股定理得CE2+12＝（3﹣CE）2，求得CE＝，而∠FBG＝∠EFC，则＝tan∠FBG＝tan∠EFC＝＝，求得GF＝GB＝4，则BC＝AD＝GF＝4，所以BE＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴CD＝AB＝3，∠A＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠FCE＝90°，
由折叠得GB＝AB＝3，FE＝DE＝3﹣CE，BG∥EF，∠G＝∠A＝90°，
∵CE2+CF2＝FE2，且CF＝1，
∴CE2+12＝（3﹣CE）2，
解得CE＝，
∵∠FBG＝∠EFC，
∴＝tan∠FBG＝tan∠EFC＝＝＝，
∴GF＝GB＝×3＝4，
∴BC＝AD＝GF＝4，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
16．（6分）计算：．
【分析】利用零指数幂，立方根的定义，二次根式的运算法则及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3+2﹣+2+1
＝（﹣3+2+1）+（2﹣）
＝．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD，E，F分别为AB，CD的中点．求证：四边形BEDF是菱形．
【分析】根据平行四边形的性质得出BE＝DF，BE∥DF，进而利用菱形的判定解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝BE，DF＝CF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵AD⊥BD，
∴DE＝BE．
∴四边形BEDF是菱形．
18．（6分）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
【分析】设现在平均每天生产x个零件，根据现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同得：＝，解方程并检验，即可得答案．
【解答】解：设现在平均每天生产x个零件，
根据题意得：＝，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x＝80，
答：现在平均每天生产80个零件．
19．（8分）为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）．
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图：
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 6 ，b＝ 5 ；
（2）补全条形统计图；
（3）如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生300人，估计该校男生该项目成绩良好的约有 165 人；
（4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
【分析】（1）先计算出男生引体向上8次的有4人，将调查数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6，男生引体向上5次的人数最多，即可得出结果；
（2）男生引体向上5次的人数：40﹣6﹣12﹣10﹣8＝4（人），补图见解析；
（3）该校男生该项目成绩良好的约有：300×，计算即可；
（4）任选一个填写，意思正确即可．
【解答】解：（1）男生引体向上8次的有：40﹣6﹣12﹣10﹣8＝4（人），
∵将调查数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6，
∴a＝6；
∵调查的数据中，男生引体向上5次的人数最多，
∴b＝5，
故答案为：6，5．
（2）男生引体向上5次的人数：40﹣6﹣12﹣10﹣8＝4（人），补图如图所示：

（3）300×＝165（人），
故答案为：165．
（4）任选一个填写，意思正确即可．
从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8；
从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次；
从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多．
20．（8分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交于A（1，a），B（b，﹣1）两点．
（1）求a，b，k的值；
（2）点P（m，n1）在一次函数y＝x+1的图象上，点Q（m，n2）在反比例函数的图象上，当n1＜n2时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用点A、B在y＝x+1上求a、b，进而代入反比例函数（k为常数，k≠0）求得k；
（2）观察图象即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象过A （1，a），B（b，﹣1）两点，
∴a＝1+1，﹣1＝b+1，
解得a＝2，b＝﹣2，
∴A（1，2），（﹣2，﹣1），
把A的坐标代入（k为常数，k≠0），得2＝，
∴k＝2；
（2）点P（m，n1）在一次函数y＝x+1的图象上，点Q（m，n2）在反比例函数的图象上，当n1＜n2时，m＜﹣2或0＜m＜1．
21．（8分）AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，CD⊥AD，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BC，延长DA交⊙O于点E，连接EO并延长交BC于点F，若点F是BC的中点，EF＝3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠OAC，而∠DAC＝∠OAC，所以∠OCA＝∠DAC，则OC∥AD，所以∠OCD＝180°﹣∠D＝90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接OC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，根据三角形的中位线定理得OF∥AC，OF＝AC，可证明四边形AEOC是平行四边形，则AC＝OE＝OA＝OC，所以OF＝OE，∠AOC＝∠ACO＝60°，求得∠ACD＝30°，由EF＝OE＝3，得AC＝OC＝OE＝2，AB＝4，所以AD＝AC＝1，求得S扇形AOC＝，CD＝，BC＝2，则S△ADC＝，S△ABC＝2，所以S△AOC＝，求得阴影部分的面积是﹣．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：如图2，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点O，F分别是AB，BC的中点，
∴OF∥AC，OF＝AC，
由（1）得OC∥AD，
∴OC∥AE，OE∥AC，
∴四边形AEOC是平行四边形，
∴AC＝OE＝OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，OF＝OE，
∴∠AOC＝∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ACO＝30°，
∴EF＝OE+OF＝OE+OE＝OE＝3，
∴AC＝OC＝OE＝2，AB＝2×2＝4，
∴AD＝AC＝1，S扇形AOC＝＝，
∴CD＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴S△ADC＝×1×＝，S△ABC＝×2×2＝2，
∵OA＝AB，
∴S△AOC＝S△ABC＝×2＝，
∴S阴影＝S△ADC+S△AOC﹣S扇形AOC＝+﹣＝﹣，
∴阴影部分的面积是﹣．
22．（10分）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．
（1）分别求出y与x，W与x的函数解析式；
（2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；
（3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？
【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），把（15，500），（35，100）代入后可得k和b的值，即可得到y与x的关系式；每月销售该商品获得的利润＝每件商品的利润×销售量，把相关数值代入后化简可得W与x的函数解析式；
（2）取W＝4000，代入（1）中得到的W与x的函数解析式，即可求得利润为4000元时该商品的定价；
（3）根据W与x的函数解析式中的二次项的系数为负数可得二次函数的图象的开口方向向下，那么x＝﹣时，W有最大值，代入函数解析式求解即可得到最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
∴．
解得：．
∴y与x的函数解析式为：y＝﹣20x+800；
W＝（﹣20x+800）（x﹣10）＝﹣20x2+1000x﹣8000；
答：y与x的函数解析式为：y＝﹣20x+800；W＝﹣20x2+1000x﹣8000；
（2）当w＝4000时，
4000＝﹣20x2+1000x﹣8000．
x2﹣50x+60＝0．
（x﹣20）（x﹣30）＝0．
解得：x1＝20，x2＝30．
答：当商场每月销售该商品的利润为4000元时，该商品的定价为20元/件或30元/件；
（3）∵﹣20＜0，
∴二次函数的开口方向是向下．
∴x＝﹣＝25时，w最大，最大值为：（﹣20×25+800）（25﹣10）＝4500（元）．
答：为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为25元/件，最大利润是4500元．
23．（11分）四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形．
（1）如图1，当点F在BD上时，点E，F分别在AB，BC上．求证：；
（2）如图2，将图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转（旋转角小于180°），连接DF，CG，判断DF与CG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当（2）中的正方形BEFG旋转到点F落在线段CG上时，连接DE．若点F是CG的中点，BE＝1，求DE的长．
【分析】（1）如图1，延长EF交CD于H，证明四边形CHFG是矩形，然后利用45度角的三角函数值即可解决问题；
（2）证明△BDF∽△BCG，即可解决问题；
（3）结合（2）证明△BDF∽△BCG，然后证明△DEF≌△DCF（SAS），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，延长EF交CD于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠C＝90°，∠FDH＝45°，
∴∠HFG＝∠CGF＝∠C＝90°，
∴四边形CHFG是矩形，
∴FH＝CG，∠DHF＝∠FHC＝90°，
∴sin∠FDH＝＝sin45°＝，
∴＝；
（2）解：＝，证明如下：
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠DBC＝∠FBG＝45°，∠BCD＝∠BGF＝90°，
∴∠DBC﹣∠FBC＝∠FBG﹣∠FBC，
即∠DBF＝∠CBG，
∵＝cs∠DBC＝，＝cs∠FBG＝，
∴＝，
∴△BDF∽△BCG，
∴＝＝；
（3）解：如图3，连接BD，
∵四边形BEFG是正方形，点F是CG的中点，
∴CF＝FG＝BG＝EF＝BE＝1，∠G＝90°，∠BFG＝∠BFE＝45°，
∴CD＝BC＝＝，
∵∠DBC＝∠FBG，
∴∠DBF＝∠CBG，
由（2）知＝，
∴△BDF∽△BCG，
∴∠BFD＝∠G＝90°，
∴∠DFC＝180°﹣∠BFD﹣∠BFG＝45°，∠DFE＝∠BFD﹣∠BFE＝45°，
∴∠DFC＝∠DFE，
∵EF＝CF，DF＝DF，
∴△DEF≌△DCF（SAS），
∴DE＝DC＝．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
（1）直接写出b，c的值；
（2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，若点P在直线l左侧的抛物线上，当PD⊥AD，PD＝AD时，求m的值；
（3）直线OP与直线AC相交于点M，的值记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG垂直直线x＝﹣1交于点G，可证明△PDG≌△DAO（AAS），求出OG＝2﹣m，得到2﹣m＝﹣m2﹣m+4，求得符合条件的m值即可；
（3）①过点P作PH∥y轴交AC于点H，＝d＝﹣m2﹣m；
②由①可知，当m＝﹣2时，d的最大值为，当0＜d＜时，点P有3个，当d＝时，点P有2个，当＜d＜时，点P有1个．
【解答】解：（1）将点于A（﹣4，0），B（2，0）代入，
∴，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点P作PG垂直直线x＝﹣1交于点G，
∵PD⊥AD，
∴∠PDG+∠ADO＝90°，
∵∠PDG+∠DPG＝90°，
∴∠ADO＝∠DPG，
∵PD＝AD，
∴△PDG≌△DAO（AAS），
∴PG＝DO＝﹣1﹣m，GD＝AO＝3，
∴OG＝2﹣m，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2﹣m+4），
∴2﹣m＝﹣m2﹣m+4，解得m＝2或m＝﹣2，
∵0＜m＜﹣1，
∴m＝﹣2；
（3）①过点P作PH∥y轴交AC于点H，
∵PH∥CO，
∴＝，
∵直线AC的解析式为y＝x+4，
∴H（m，m+4），
∴＝d＝﹣m2﹣m；
②∵0＜d＜，d＝﹣m2﹣m＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，d的最大值为，
当0＜d＜时，点P有3个，
当d＝时，点P有2个，
当＜d＜时，点P有1个．
平均数
中位数
众数
5.8
a
b
平均数
中位数
众数
5.8
a
b