江苏省梅村高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】得，故选A．
或．
2. 如图，长方体中被截去一部分，其中，剩下的几何体是（ ）
A. 直五棱柱B. 四棱台C. 正五棱柱D. 五棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】
长方体是一个特殊的四棱柱，截去的部分和剩余的部分是什么几何体看其具有什么结构特征.
【详解】剩余的几何体中，面与面平行，其余个面都是平行四边形，并且相邻平行四边形的公共边平行，所以是一个棱柱，又因为侧棱垂直于底面，底面是五边形，所以剩下的几何体是直五棱柱，
故选：A
【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，有两个面互相平行。其余个面都是平行四边形，每相邻两个平行四边形的公共边互相平行，三者缺一不可，属于基础题.
3. 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件，根据余弦定理求解即可.
【详解】在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，．
设，，
则．
故选：B
4. 平行四边形中，为边上的中点，连接交于点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量运算得到，得到答案.
【详解】，故，.
故选：D.
5. 在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案.
【详解】如图，
若有两解，则，即，得.
故的值可以是.
故选：B.
6. 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为
A. 6B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可．
【详解】因为
，
所以的大小为，
故选：D.
【点睛】本题主要考查平面向量在物理中的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.
7. 已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.
【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，
所以，且，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
8. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.
【详解】因，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解.
二、多选题
9. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则△ABC一定是等边三角形
B. 若，则△ABC一定是等腰三角形
C. 是成立的充要条件
D. 若，则△ABC一定是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正选定理和余弦定理在三角形中的应用对四个选项进行判断即可.
【详解】根据正弦定理可知，，
即，所以在三角形中，△ABC一定是等边三角形，A正确；
，
故或，在三角形中
故，或，故三角形是等腰三角形或者直角三角形，B错误；
三角形中等价于，根据正弦定理可知，充分性成立，
根据正弦定理可知，故，必要性成立，故C正确；
，可得角C为锐角，但不可证明A、B两角大小，不可判断△ABC一定是锐角三角形，D错误.
故选：AC.
10. 下列关于向量的命题正确的是（ ）
A. 非零向量满足，则
B. 向量共线的充要条件是存在实数λ，使得成立
C. 与向量同向的单位向量为
D. 若为锐角，则实数m的范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量的概念判断，通过，且不共线求解判断D.
【详解】对于A：非零向量满足，则，正确；
对于B：当时，不存在存在实数λ，使得成立，错误；
对于C：与向量同向的单位向量为，正确；
对于D：为锐角，
则，且不共线，
对于得，
当共线时，存在实数使，即，
所以，解得，
所以实数m的范围是，错误.
故选：AC.
11. 点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，且，则
C. 若，，则的取值范围为
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点的位置，即可判断A；B.根据条件，确定的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示，根据三角函数的性质，即可判断C；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式，即可求解.
【详解】A.由，可知，点共线，
又可知，点在的角平分线上，
所以为角平分线，与不一定相等，故A错误；
B.若，则点是中点，点又是的外心，
所以，，故B正确；
C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，

设，，，
因为，所以，
得，，
，，
，，则，故C正确；
D.因为，所以，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，即，
则，
，，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式的应用.
三、填空题
12. 如图所示，水平放置的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】画出原图可计算面积.
【详解】由已知得的原图如下：
其中，
所以.
故答案为：.
13. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值.
【详解】如下图，，
若为中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
14. 如图所示，四边形ABCD中，，，，则的面积为________，________.
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】先根据正弦定理,求得,再由余弦定理求得,进而利用三角形面积公式求得;在中,应用余弦和角公式求得,即可由余弦定理求得的值.
【详解】在中, ,,
由正弦定理,代入得
解得,而
由余弦定理可得
代入可得
解方程可求得
则
因为,
且
所以
则
由余弦定理可知
代入可得
所以
故答案为: ;
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用,三角形面积公式及同角三角函数关系式的应用,正弦与余弦和角公式的用法,综合性强,属于难题.
四、解答题
15. 已知．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接将展开计算即可；
（2）利用展开计算即可；
（3）存在实数使，列方程求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，又，
所以与的夹角为；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为，
所以存在实数使，所以，
解得.
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A的平分线交BC于点D，且．
（1）求A：
（2）若，的周长为15，求AD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）由余弦定理得，再利用等面积结合角分线性质得.
【小问1详解】
因为，利用正弦定理可得：
，
即．
因为，所以，即，
又，可得．
【小问2详解】
因为，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
又因为为角A的平分线，所以，
所以，
即，所以．
17. 在①，②， ③向量与，且，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，分别是内角所对的边，且___________.
（1）求角的大小;
（2）若是钝角三角形，且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择第一个条件利用角化边，利用余弦定理解决，选择后两个条件都会边化角，用正弦定理解决；（2）利用正弦定理，将用只含有一个角的三角函数表示即可.
【小问1详解】
若选条件①，根据正弦定理得，， 由余弦定理可得， ，又，则；
若选条件②，由正弦定理得，，则 ，化简得，，则，于是，则，结合可得；
若选条件③，，则，由正弦定理得，，，则，于是，则，结合可得.
【小问2详解】
由正弦定理，，则，又是钝角三角形，不妨设是钝角，又，于是，则有，，于是
即.
18. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
（1）求A，C两处景点之间的距离；
（2）栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
【答案】（1）
（2）不垂直，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可；
（2）在和中利用正弦余弦定理求解，然后计算是否为零即可.
【小问1详解】
由已知在中，，，，
所以，则为等腰三角形，
则，
在中，，，，
则，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，
由余弦定理，
即A，C两处景点之间的距离为；
【小问2详解】
在中，，
在中，因为，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.
19. 如图，在中，已知，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P．
（1）求；
（2）求的余弦值；
（3）过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将分成上下两部分图形的面积之比的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）建立平面直角坐标系，利用向量的夹角的坐标运算求解；
（3）设出线段的比例关系，用向量共线的条件转化，消去变量求范围即可.
【小问1详解】
在中，，
由余弦定理得，
解得，（负值舍去）
故；
【小问2详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，得，设，
由两点距离公式得，，
解得，（负根舍去），
所以，又BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，则，，
所以，
则；
【小问3详解】
由已知得为的重心，则，设，
则，又点在直线上，
所以，即，又，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
所以上下两部分图形的面积之比，
因为，
所以，即上下两部分图形的面积之比的取值范围为.
【点睛】关键点点晴:本题解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，进而得到所要求的范围.